ОБ ОДНОМ УРАВНЕНИИ СОБОЛЕВСКОГО ТИПА ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА

Аннотация


Рассматривается математическая модель колебаний термоупругой пластины при некоторых допущениях. В ее основе лежит неклассическое уравнение математической физики, кроме того, уравнение является уравнением соболевского типа. Как известно, задача Коши для уравнения соболевского типа не является разрешимой припроизвольных начальных значениях. В статье рассматривается задача Шоуолтера-Сидорова, которая разрешима при произвольных начальных значениях и более «подходяща» для уравнений соболевского типа. Исследуемая математическая модель в подходящим образом выбранных функциональных пространствах может быть редуцирована к абстрактному уравнению соболевского типа третьего порядка с относительно ( n , p )-секториальным оператором в правой части. Основным подходом к исследованию является метод построения разрешающих полугрупп.

Полный текст

Введение В наше время методы математического моделирования широко применяются в исследованиях динамического поведения пластин. Они играют важную роль в современном строительстве различных зданий, автомобильных дорог, мостов. Вместе с тем элементы некоторых конструкций, таких как двигатели машин, самолетов, ракет, элементы различных ядерных и атомных станций, в процессе эксплуатации подвергаются различным воздействиям температуры. При проектировании такого рода конструкций их динамическое поведение описывается теорией термоупругости. Результаты о доказательстве существования единственного решения являются основой для дальнейшего исследования задач управления. В дальнейшем для рассмотрения модели колебаний термоупругой пластины будем рассматривать уравнение вида . (1) Функция u характеризует отклонение пластины от положения покоя. Коэффициенты k и γ - положительные, характеризующие свойства материала термоупругой пластины; f(x, y, t) - это внешнее воздействие. Под термоупругостью понимается тепловое расширение, полностью обратимое или термически упругое, т.е. эффекты деформации при нагревании и охлаждении по абсолютной величине равны. 1. Постановка задачи Будем рассматривать уравнение, моделирующее колебание термоупругой пластины [1]: . (2) Если предположить, что в процессе нагревания пластина не подвержена диффузии или диффузия незначительно влияет на физические свойства и процесс колебания, то параметр k можно положить равным нулю. Таким образом, уравнение (2) упрощается до уравнения вида . (3) Дополним уравнение (3) краевыми условиями Бенара [2] (4) и начальными условиями . (5) Проинтегрировав уравнение (3) с учетом начальных условий (5), получим . (6) , (7) . (8) Здесь - ограниченная область с достаточно гладкой границей 2. Задача Шоуолтера-Сидорова для уравнения математической модели колебаний термоупругой пластины Рассмотрим задачу Коши (9) для уравнения . (10) Уравнение (10) редуцируется к системе , (11) для уравнения . (12) Рассмотрим задачу Шоуолтера-Сидорова (13) для уравнения соболевского типа [3] , (14) Теорема 1. Для любой вектор-функции f, такой что и и произвольных начальных значениях u0, u1

Об авторах

Е. В Бычков

Южно-Уральский государственный университет

Email: bychkovev@susu.ru

К. Ю Котлованов

Южно-Уральский государственный университет

Email: kotlovanovki@susu.ru

Список литературы

  1. Фалалеев М.В., Красник А.В., Орлов С.С. Вырожденные дифференциальные уравнения высоких порядков специального вида в банаховых пространствах и их приложения // Сибирский журнал индустриальной математики. - 2010. - Т. XIII, № 3 (43). - С. 126-139.
  2. Замышляева А.А. Об аналитическом исследовании математической модели Бенни-Люка // Математические заметки СВФУ. - 2013. - Т. 20, № 2. - С. 57-65.
  3. Sviridyuk G.A. Linear Sobolev type equations and degenerate semigroups of operator. - Utrecht, Boston, Koln: VSP, 2003.
  4. Замышляева А.А. Фазовое пространство уравнения соболевского типа высокого порядка // Изв. Иркут. гос. ун-та. - 2011. - Т. 4, № 4. - С. 45-57.
  5. Свиридюк Г.А. Фазовые пространства полулинейных уравнений типа Соболева с относительно сильно секториальным оператором // Алгебра и анализ. - 1994. - Т. 6, № 5. - С. 252-272.
  6. Свиридюк Г.А. К общей теории полугрупп операторов // Успехи мат. наук. - 1994. - Т. 49, № 4. - С. 47-74.

Статистика

Просмотры

Аннотация - 48

PDF (Russian) - 28

Ссылки

  • Ссылки не определены.

Данный сайт использует cookie-файлы

Продолжая использовать наш сайт, вы даете согласие на обработку файлов cookie, которые обеспечивают правильную работу сайта.

О куки-файлах