Full Text

Введение В работах [1-7] и др. изучены задачи оптимального управления непрерывными и дискретными двухпараметрическими системами в предположении, что управляющая функция входит в правую часть рассматриваемого уравнения. Выведены различные необходимые условия оптимальности. Предлагаемая работа посвящена исследованию одной дискретной двухпараметрической задачи оптимального управления в случае вхождения сосредоточенного управления в начальное условие. Отдельно изучаются случаи произвольной, выпуклой и открытой области управления. Установлены необходимые условия оптимальности первого порядка. 1. Постановка задачи Допустим, что управляемый дискретный процесс описывается системой разностных уравнений (1) c начальным условием (2) где (3) Здесь f (t, x, z, y) и g(t, x, s, z) - заданные n-мерные вектор-функции, непрерывные по совокупности переменных вместе с частными производными для первой функции по z и y, для второй функции - по z, а - n-мерная дискретная вектор-функция, являющаяся решением задачи (дискретный аналог задачи Коши), t0, t1, x0, x1 - заданные числа, причем разности t1 - t0, x1 - x0 - натуральные числа. (4) (5) где - заданная n-мерная вектор-функция, непрерывная по совокупности переменных вместе с - заданный постоянный вектор, а - r-мерный дискретный вектор управляющих функций со значениями из заданного непустого, замкнутого и ограниченного множества т.е. (6) Каждую управляющую функцию с вышеприведенными свойствами назовем допустимым управлением. Задача заключается в минимизации функционала S(u) (7) определенного с помощью функций f(a(x1)) и G(x, z(t, x)) на решениях задачи (1)-(5), порожденных всевозможными допустимыми управлениями. Допустимое управление являющееся решением задачи о минимуме функционала (7) при ограничениях (1)-(6), как обычно, назовем оптимальным управлением, а соответствующий процесс - оптимальным процессом. Рассматриваемая задача является дискретным аналогом одной задачи управления динамикой популяции из работ [1-6] и исследуется впервые. Как видим, процесс управляется посредством выбора начального сосредоточенного управления, а начальная функция определяется как решение задачи Коши для нелинейного обыкновенного разностного уравнения. Сам процесс описывается двумерным нелинейным разностным уравнением. В рассматриваемой задаче в предположении существования оптимального управления установлен ряд необходимых условий оптимальности первого порядка (дискретный принцип максимума, линеаризованное условие максимума, аналог уравнения Эйлера) при различных предположениях [7-15]. 2. Аналог дискретного принципа максимума Предположим, что в рассматриваемой задаче является фиксированным допустимым процессом и при этом множество (8) выпукло при всех x. Пусть - произвольное число, а - произвольное допустимое управление. В силу предположения о выпуклости множества (8) можно записать «возмущенную» систему в виде (9) (10) (11) (12) (13) Положим (14) Учитывая условия гладкости, наложенные на правые части соотношений (1), (3), (4), из (9)-(13) получаем, что определяемые соотношениями (14), являются решениями аналогов уравнений в вариациях записанных в виде (15) (16) (17) (18) (19) При этом специальное приращение функционала цели, соответствующее допустимым управлениям и имеет вид здесь и в дальнейшем - ′ (штрих) операция транспонирования. Пусть - пока неизвестные n-мерные вектор-функции. Из соотношений (тождеств) (15), (17), (18) получаем, что (20) (21) (22) Введем обозначения вида С учетом введенных обозначений и тождеств (20)-(22) специальное приращение функционала (7), соответствующее допустимым управлением и , представляется в виде (23) Рассмотрим выражение Сделав в нем замену переменных получим Принимая во внимание (19), имеем (24) Далее, делая замену переменных с помощью рассуждений, аналогичных приведенным в [9-11], получим (25) Принимая во внимание тождества (24), (25), из формулы приращения (23) получаем специальное разложение функционала качества в виде (26) Если предполагать, что вектор-функции и удовлетворяют соотношениям (27) (28) (29) (30) (31) то разложение (26) примет вид (32) Систему (27)-(31) назовем сопряженной системой [8-15] к рассматриваемой задаче (1)-(7). Из разложения (32) следует Теорема 1. Если множество (8) выпуклое, то для оптимальности допустимого управления в задаче (1)-(7) необходимо, чтобы неравенство (33) выполнялось для всех . Таким образом, в случае граничной задачи оптимального управления имеет место необходимое условие оптимальности (33) типа дискретного принципа максимума Л.С. Понтрягина. 3. Аналог линеаризованного условия максимума В этом пункте предполагаем, что множество U выпуклое и вектор-функция F(x, a, u) имеет непрерывную производную по u. Пусть u(x) - фиксированное допустимое управление, произвольное число, а v(x) - произвольное допустимое управление. Тогда в силу сделанных предположений «возмущенное» управление u(x, μ) можно определить по формуле (34) Рассмотрим «возмущенную» систему уравнений (35) (36) (37) (38) (39) Положим (40) Принимая во внимания (40), из соотношений (35)-(39) с учетом гладкости правых частей соотношений (35), (37), (39) получаем, что и удовлетворяют соотношениям (41) (42) (43) (44) Далее запишем приращение функционала качества (7), соответствующее допустимым управлениям и Имеем: (45) Учитывая тождества (41)-(44), а также предполагая, что являются решением сопряжённой системы (27)-(31), с рассуждениями, аналогичными рассуждениям, используемым при доказательстве разложения (32), доказывается, что разложение (45) может быть представлено в виде (46) Из разложения (46) следует, что если оптимальное управление, то Из последнего неравенства в силу произвольности следует Теорема 2. Если в задаче (1)-(7) множество U выпукло, то для оптимальности допустимого управления необходимо, чтобы неравенство выполнялось для всех допустимых управлений . Таким образом, в рассматриваемой задаче доказан аналог линеаризованного условия максимума. 4. Аналог уравнения Эйлера Предположим, что в задаче (1)-(7) множество U открытое, а имеет также непрерывную частную производную по u. Пусть фиксированный, а - произвольный допустимые процессы. Допустим, что ε достаточно малое неотрицательное число, а произвольная r-мерная дискретная и ограниченная вектор-функция (допустимая вариация управления). В силу открытости области управления U специальное приращение допустимого управления можно определить по формуле (47) Пусть является решением сопряженной системы (27)-(31). Принимая во внимание, что является решением сопряженной системы (27)-(31), специальная формула приращения функционала качества представляется в виде Из этого разложения следует (см. например [7-15]), что первая вариация (в классическом смысле) критерия качества имеет вид Соответственно, вдоль оптимального управления выполняется следующее для всех Используя произвольность допустимой вариации из последнего соотношения получаем следующее утверждение. Теорема 3. Если множество U открытое, то для оптимальности допустимого управления в задаче (1)-(7) необходимо, чтобы соотношение выполнялось для всех Последнее соотношение является аналогом уравнения Эйлера для рассматриваемой задачи. Благодарность. Автор выражает свою благодарность профессору К.Б. Мансимову за постановку задачи и замечания и уважаемому рецензенту за очень полезные замечания, способствовавшие улучшению первоначального варианта статьи.

About the authors

A. I Agamaliyeva

Baku State University; Institute of Control Systems of NAS Azerbaijan

References

Statistics

Views

Abstract - 74

PDF (Russian) - 77

Refbacks

• There are currently no refbacks.