Исследование устойчивости одного разностного уравнения с комплексными коэффициентами

Аннотация


Исследуется устойчивость линейного автономного разностного уравнения с двумя (вообще говоря, комплексными) коэффициентами. Отправной точкой исследования является теорема Шура-Кона о расположении корней характеристического уравнения относительно единичного круга в комплексной плоскости. Для построения области экспоненциальной устойчивости в пространстве параметров используется метод D-разбиений, состоящий в построении кривых (или поверхностей), при переходе через которые изменяется число корней характеристического уравнения, находящихся вне единичного круга; далее определяется область, которой соответствует нулевое число таких корней – она является областью устойчивости. Эта схема реализована для указанного выше разностного уравнения: найдены геометрические критерии устойчивости и описаны области экспоненциальной устойчивости в четырехмерном пространстве коэффициентов, а также их трехмерные, двумерные и одномерные сечения. Отдельно изучена устойчивость по Ляпунову, которой соответствует область экспоненциальной устойчивости, дополненная частью ее границы; для точного описания устойчивости по Ляпунову потребовалось описание «кривой кратности» - линии, все точки которой соответствуют кратным корням характеристического уравнения. Кроме того, найдена и построена область абсолютной устойчивости по одному из параметров уравнения, для которой также были сформулированы критерии экспоненциальной устойчивости и устойчивости по Ляпунову. Полученные результаты могут быть применены к исследованию процессов в физике, технике, экономике, биологии, при моделировании которых используются дискретные модели в виде разностных уравнений.

Полный текст

Развитие теории разностных уравнений [1–4] со времен появления дифференциального и интегрального исчислений долгое время проходило в тени работ, посвященных дифференциальным уравнениям, а основной областью применения разностных уравнений являлись приближенные решения дифференциальных уравнений. Ситуация изменилась в последние два десятилетия ХХ в.: количество работ, посвященных разностным уравнениям, начало резко возрастать. Причиной этого явилось стремительное развитие вычислительной техники, а вместе с ней и численных методов, где дискретные исчисления нашли применение в полном объеме [5–9], но не меньшую роль сыграло появление большого количества дискретных моделей, для описания которых тоже используются разностные уравнения [10–12]. Ныне теория разностных уравнений, оставаясь по-прежнему тесно связанной с теорией дифференциальных уравнений, представляет собой уже вполне самостоятельный раздел теории динамических систем.Теория линейных разностных уравнений подобна классической теории линейных обыкновенных дифференциальных уравнений [1–3]. В частности, для них построена теория устойчивости, аналогичная теории устойчивости дифференциальных уравнений [4; 5]. Устойчивость автономных разностных уравнений определяется расположением корней характеристического уравнения относительно единичного круга в комплексной плоскости. Важной задачей является поиск геометрических критериев устойчивости, т.е. описание областей устойчивости в пространстве коэффициентов. В данной работе рассматривается линейное автономное разностное уравнение с комплексными коэффициентами, для которого исследуется расположение на комплексной плоскости корней его характеристического уравнения, на основе чего строится область устойчивости в пространстве параметров. Обращение к разностным уравнениям с комплексными коэффициентами связано с необходимостью изучать не только скалярные, но и векторные разностные уравнения (системы). За счет преобразования координат некоторым важным классам систем удается придать треугольную форму, т.е. свести их к набору скалярных уравнений, но, вообще говоря, с комплексными коэффициентами.

Об авторах

И. А. Аксененко

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Список литературы

  1. Elaydi S. An Introduction to Difference Equations. – N.Y.: Springer, 2005. – 539 с.
  2. Гельфанд А.О. Исчисление конечных разностей. – М.: Наука, 1967. – 376 с.
  3. Самарский А.А., Карамзин Ю.Н. Разностные уравнения. – М.: Знание, 1978. – 64 с.
  4. Мартынюк Д.И. Лекции по качественной теории разностных уравнений. – Киев: Наукова думка, 1972. – 246 с.
  5. Халанай А., Векслер Д. Качественная теория импульсных систем. – М.: Мир, 1971. – 310 с.
  6. Литвинова Э.В. Применение метода конечных разностей для решения динамических задач // Международный научно-исследовательский журнал. – 2017. – Вып. 6. – С. 145–149.
  7. Радаченко В.П., Зотеев В.Е. Определение динамических характеристик механической системы на основе стохастических разностных уравнений колебаний // Известия высших учебных заведений. Машиностроение. 2007. Вып. 1. С. 3-10.
  8. Разностные схемы метода опорных операторов для уравнения теории упругости в цилиндрической геометрии / Ю.А. Повещенко, В.А. Гасилов, М.Е. Ладонкина, В.О. Под-рыга, И.С. Насекин // Препринты ИМП им. М.В. Келдыша. – 2018. – № 142. – С. 1–22. doi: 10.20948/prepr-2018-142
  9. Оптимальные вычислительные технологии в математическом моделировании нелинейных задач механики деформируемого твёрдого тела / В.Г. Дмитриев, С.И. Жаворонок, Е.К. Коровин, В.Г. Москвитин // Инженерная физика. – 2008. – № 6. – С. 2–5.
  10. Beverton R.J.H., Holt S.J. On the dynamics of exploited fish population // Fishery investigation. – 1957. – Ser. 2, № 19. – Р. 1–533.
  11. Pielou E.C. An introduction to mathematical ecology. – New York: : Wiley Interscience, 1969. – 294 p.
  12. Pielou E.C. Population and community ecology. – N.Y.: Gordon and Breach, 1974. – 424 p.
  13. Неймарк Ю.И. Устойчивость линеаризованных систем (дискретных и распределенных). – Л.: ЛКВВИА, 1949. – 140 с.
  14. Неймарк Ю.И. Динамические системы и управляемые процессы. – М.: Наука, 1978. – 336 с.

Статистика

Просмотры

Аннотация - 133

PDF (Russian) - 96

Ссылки

  • Ссылки не определены.

Данный сайт использует cookie-файлы

Продолжая использовать наш сайт, вы даете согласие на обработку файлов cookie, которые обеспечивают правильную работу сайта.

О куки-файлах