Аннотация

Аннотация

В рамках конечных деформаций построена модель поведения ферромагнитных материалов, испытывающих аустенитно-мартенситный фазовый переход в процессе деформирования в температурных и магнитных полях. Сформулирована вариационная постановка связанной магнитоупругой краевой задачи. Полученные соотношения использованы для численного решения задачи методом конечных элементов.

Полный текст

Ферромагнитные сплавы с памятью формы являются функциональными материалами. Под функциональными, или интеллектуальными, обычно понимаются такие материалы, которые изменяют свою форму и/или размеры при воздействии внешних полей: температурного, магнитного, электрического. Известны два различных физических механизма эффекта больших (до 10 %) деформаций, индуцированных магнитным полем, которые наблюдаются в ферромагнетиках. Первый связан с перестройкой структурных доменов в мартенситной фазе и наблюдается только в монокристаллах [1]. Второй возникает при фазовом (мартенситном) превращении в магнитном поле и проявляется как в моно-, так и в поликристаллах [2], которые являются более дешевыми и технологичными. Большой интерес представляют Mn-содержащие сплавы Гейслера Ni-Mn-Ga, в которых наблюдается редкое сочетание ферромагнитных свойств и структурного (мартенситного) фазового перехода из кубической высокотемпературной фазы (аустенит) в тетрагональную низкотемпературную фазу (мартенсит) [3]. Мартенситный переход в Ni-Mn-Ga имеет термоупругий характер, возникает за счет смещения температуры мартенситного превращения под действием магнитного поля и сопровождается одно- и двусторонним эффектами памяти формы (ЭПФ). Управляемый магнитным полем ЭПФ способен восстанавливать любой вид деформации - сжатие, растяжение, изгиб, кручение и т.д. [2]. В работе [4] приведены теоретические соотношения, описывающие влияние магнитного поля на мартенситные переходы в сплавах гейслеровского типа. В статье [5] с помощью термодинамического подхода построена модель, позволяющая описывать эффект памяти формы в ферромагнетиках. Однако в обоих случаях соотношения записываются в рамках малых деформаций. Настоящая работа посвящена описанию эффекта памяти формы в ферромагнитных сплавах, испытывающих большие деформации, с помощью подхода, позволяющего строить модели, описывающие поведение сложных сред при конечных деформациях и структурных изменениях в материалах, и удовлетворяющих принципам термодинамики и объективности [6-8]. Рассматриваются только фазовые превращения в поликристаллах, вызванные смещением температуры мартенситного перехода под действием магнитного поля. 1. Основные соотношения Для описания поведения среды при конечных деформациях вводятся, согласно [9, 10], начальная недеформированная ?0 и текущая деформированная ? конфигурации. Радиус-вектор в начальной конфигурации в текущей - где - вектор перемещений из начальной конфигурации в текущую. Записывается фундаментальная кинематическая величина - градиент места где - метрический тензор, - оператор Гамильтона в начальной конфигурации; вводится мера деформации Коши-Грина Из эквивалентных форм определяющих соотношений для простого материала, удовлетворяющих принципу объективности [10], используем форму (1) Здесь - тензор истинных напряжений, - функция отклика материала (тензор второго ранга), - мера Коши-Грина упругих деформаций, - упругий градиент места, - третий инвариант (якобиан, определяющий относительное изменение объема), - температура, - скалярный параметр процесса (доля мартенситной фазы в объеме материала; изменяется от 0, когда материал находится полностью в аустенитном состоянии, до 1 - в мартенситном). В магнитном поле при отсутствии токов вектор напряженности магнитного поля можно представить в виде градиента скалярной функции: , где - приложенное внешнее поле, - оператор Гамильтона в текущей конфигурации. Векторы магнитной индукции , напряженности магнитного поля и намагниченности связаны соотношением где - магнитная постоянная. Из условия соленоидальности магнитного поля Общий вид закона намагничивания для изотропного по магнитным свойствам материала может быть записан в виде где - магнитная восприимчивость, . При действии магнитного поля уравнение равновесия имеет вид на поверхности тела возникают силы где - внешняя единичная нормаль к поверхности тела в текущей конфигурации. Пусть тело, ограниченное поверхностью , занимает в пространстве область а - окружающее пространство. Вариационная постановка краевой задачи в форме Лагранжа в текущей конфигурации имеет следующий известный вид: (2) где - вектор сил, заданных в текущей конфигурации на поверхности ограничивающей объем - плотность массы в актуальной конфигурации; - вектор массовых сил; - символ вариации. Для задачи магнитостатики вариационное уравнение запишется следующим образом [11]: (3) Поскольку поверхность и объем в текущей конфигурации неизвестны до решения задачи, уравнения (2)-(3) приводятся к какой-либо известной конфигурации, и, в частности, в начальной они будут иметь следующий вид: (4) (5) Здесь - внешняя единичная нормаль к поверхности тела в начальной конфигурации; - тензор напряжений Пиолы-Кирхгофа второго рода. Согласно [6], кроме начальной и текущей конфигураций вводится промежуточная ?*, близкая к текущей. Эта близость формализуется введением малого параметра Все величины в промежуточной конфигурации помечаются «*». Градиент места относительно конфигурации ?* запишется в виде где - оператор Гамильтона в промежуточной конфигурации, - вектор перемещений из конфигурации ?* в ?. Вводится тензор малых деформаций относительно промежуточной конфигурации При этом справедливо равенство где и - тензоры малых упругих, температурных и фазовых (неупругих) деформаций относительно промежуточной конфигурации. Кинематические тензоры определяются выражениями [7, 8]: Здесь - неупругий градиент места, связанный с фазовыми деформациями; - градиент места, связанный с температурными деформациями; - градиенты вектора малых упругих, фазовых и температурных перемещений, тензоры малых упругих, фазовых и температурных поворотов относительно промежуточной конфигурации. Соотношение (1) представляется, с точностью до линейных по слагаемых, в виде [7] , где - первый инвариант - малое приращение температуры ; - малое приращение ; - тензор четвертого ранга, определяющий отклик материала на малые упругие деформации относительно промежуточной конфигурации и имеющий вид (см. [8]) , где - упругий потенциал. Для тензора малых температурных деформаций примем закон линейного температурного расширения где - коэффициент линейного теплового расширения. Поскольку фазовые деформации возникают в процессе мартенситного перехода, воспользуемся моделью, предложенной в работах А.А. Мовчана [12] и адаптированной к конечным деформациям в [13]. Диаграмма фазового перехода может быть аппроксимирована следующими соотношениями: Здесь - температуры начала и завершения прямого и обратного мартенситных превращений в свободном от напряжений материале, - материальная константа, - интенсивность напряжений, - девиатор тензора истинных напряжений. В работе [3] показано, что температуры прямого и обратного мартенситных переходов с увеличением магнитного поля приближенно линейно возрастают, поэтому будем считать, что Приращение фазовых деформаций относительно промежуточной конфигурации определяется следующим образом [13]: (6) где - параметры материала, - текущая фазовая деформация, - значения параметра мартенситной фазы и фазовой деформации в начальной точке процесса обратного превращения. Согласно [8] для определения используется соотношение , позволяющее выразить через Поскольку определяется законом линейного температурного расширения, Для описания упругого поведения материала воспользуемся упрощенным законом Синьорини [10] Здесь и - параметры материала, имеющие смысл параметра Ламе и модуля сдвига линейной теории упругости. Упругие модули материала изменяются в процессе прямого и обратного мартенситного превращения в соответствии с соотношениями [14]: , , где - значения модуля Юнга и модуля сдвига для материала в мартенситном и аустенитном состояниях соответственно. 2. Решение краевой задачи В работе [2] представлен эксперимент, в котором в образце из сплава Ni-Mn-Fe-Ga осуществляется магнитное управление эффектом памяти формы в результате структурного фазового перехода мартенсит - аустенит, вызванного магнитным полем при постоянной температуре. В результате предварительно деформированный образец восстанавливает свою форму (выпрямляется). Для верификации представленных выше соотношений рассмотрим следующую краевую задачу, соответствующую этому эксперименту. Образец в форме стержня прямоугольного сечения и длиной закреплен с левого торца. В начальный момент времени стержень находится при комнатной температуре (ниже температуры ) с фазовыми деформациями, возникшими в образце в процессе прямого температурного мартенситного перехода из точки в точку (рис. 1) при заданном сдвиговом усилии МПа на правом торце (изгиб), отсутствии магнитного поля и последующей разгрузке. Затем происходит включение поля А/м, направленного вдоль оси стержня (путь ), и нагрев образца до температуры (путь После этого поле выключается, и в системе происходит фазовый переход в аустенитное состояние при постоянной температуре K (путь Рис. 1. Зависимость температур фазового перехода от поля Согласно [2, 15] для сплава Ni-Mn-Fe-Ga К, К, К, К, Параметры материала для соотношения (6) идентифицированы по приведенным в [2, 15] зависимостям деформации от температуры; в результате МПа-1, Будем считать, что ГПа и этот модуль не изменяется в процессе мартенситного превращения, Намагниченность определяется по формуле Фрелиха: где А/м - намагниченность насыщения, А/м - постоянная материала. Численная реализация уравнений (4)-(5), записанных в приращениях, осуществлялась методом конечных элементов в пакете FEniCS. На каждом шаге задается приращение температуры или магнитного поля, в результате решения находятся приращения перемещений. Считается, что распределение температуры однородно по образцу. В качестве внешнего объема выбран параллелепипед с размерами a b H0 Рис. 2. Конфигурации образца и распределение фазовых деформаций На рис. 2 представлены конфигурации образца с осевыми остаточными фазовыми деформациями, накопленными после прямого фазового перехода (a) и после восстановления формы при выключении магнитного поля (b) при постоянной температуре, что хорошо согласуется с экспериментом.