Полный текст

Введение Существует большое количество структурно-неоднородных материалов как естественного (горные породы, трабекулярная костная ткань), так и искусственного происхождения (пеностекло, газобетон, высокопористый пироуглерод), физические свойства которых во многом определяются их внутренним строением [1-3]. Методы количественной стереологии широко применяются для описания структурных особенностей зернистых и пористых материалов [1; 4-11]. Идея построения специального тензора для описания параметров структурно-неоднородных материалов возникла из целого ряда попыток количественно охарактеризовать микроструктуру упругого пористого материала. В 1978 г. Cowin обратил внимание на то, что эллипсоид структуры эквивалентен тензору второго ранга, отмечая при этом, что для пористых материалов эллипсоид структуры является наилучшей мерой описания структурного распределения материала [1; 12]. В 1980 г. Oda, Konishi и Nemat-Nasser использовали концепцию эллипсоида структуры, аргументируя это тем, что для зернистых материалов эллипсоид структуры является второй наилучшей мерой описания структуры материала после пористости [1; 12; 13]. В настоящее время признано, что одним из наиболее удачных способов описания внутренней структуры пористых материалов является симметричный, положительно определенный тензор второго ранга, названный тензором структуры (fabric tensor), обозначаемый как H [1-4; 14-23]. Тензор структуры позволяет компактно в тензорной форме описать структурную анизотропию пористых материалов, причем его главные значения характеризуют приоритетные направления распределения элементов структуры исследуемого образца. В пористых и зернистых материалах тензор структуры может быть связан с изменением модуля радиус-вектора при изменении его направления. Данный радиус-вектор можно связать с величиной, называемой средним расстоянием между порами (mean intercept length). Подобная методика измерений в том или ином виде применялась в работах Whitehouse [7; 8] и Harrigan и Mann [4] для описания пористой структуры трабекулярной кости. Другая методика измерения параметров структуры зернистых материалов описана в исследованиях Oda и Satake [1; 13]. Авторы полагали, что лучший признак структуры в зернистых материалах - это функция плотности распределения ориентации нормали в точке контакта между соседними зернами, при этом подобное распределение также может быть представлено эллипсоидом структуры. При исследовании же горных пород структуру удобно описывать путем подсчета числа трещин на поверхности образца, учета концентрации трещин и их направления, впрочем, тензор структуры и в этом случае, также может быть построен способом, аналогичным [7; 8] или [4]. В общем случае процедура измерения параметров, необходимых для построения тензора структуры, достаточно трудоемка, поэтому компьютерная автоматизация данного процесса является актуальной проблемой, способной значительно облегчить обработку изображений внутренней структуры образцов исследуемого материала. В данной работе приведено подробное описание одного из возможных алгоритмов построения тензора структуры, который был заложен в основу специализированного программного комплекса, позволяющего автоматизировать процедуру определения стереометрических параметров материала и построения тензора структуры [24]. Материалы и методы В настоящее время существует ряд методов, позволяющих описывать структуру пористого материала и определять компоненты тензора структуры. Прежде всего, к таким методам относятся: метод определения среднего расстояния между порами (mean intercept length method), метод ориентации объема (volume orientation method) и метод распределения «звезд» по объему (star volume distribution method) [1] (рис. 1). а б в Рис. 1. Двухмерная иллюстрация методов описания структуры пористого материала [1]: а - mean intercept length method; б - volume orientation method; в - star volume distribution method Согласно методу определения среднего расстояния между порами, для построения тензора структуры необходимо определить ряд вспомогательных стереометрических величин. Все стереологические измерения производятся на плоском шлифе или изображении шлифа исследуемого пористого материала. В первую очередь определяется относительная площадь твердого матрикса, обозначаемая как AAb (рис. 2). Другая измеряемая величина - это число пересечений между линиями специальной тестовой сетки ориентированной под углом θ относительно локальной ортогональной системы координат и границами «материал - пора», обозначаемое как I(θ). Шаг сетки зависит от характерного размера структурных элементов исследуемого материала. Еще одна необходимая стереометрическая величина - среднее расстояние между порами L - позволяет описать степень структурной анизотропии материала. Согласно определению Underwood, среднее расстояние между порами - это «среднее расстояние между двумя границами «материал - пора», измеряемое вдоль определенного направления» [6], то есть L является функцией угла направления линии сетки, вдоль которой производится измерение (рис. 2). Для определения L в данном направлении на изображение исследуемого образца накладывается сетка, состоящая из параллельных тестовых линий, затем измерения повторяются в других различных направлениях. Рис. 2. Определение среднего расстояния между порами для одной тестовой линии в системе координат (eα - eβ) [3] На практике [2; 3; 9; 11] среднее расстояние между порами принято вычислять по следующей формуле: (1) где Σl - суммарная длина тестовых линий, I(θ) - число пересечений между линиями сетки и границами «материал - пора», AAb - относительная площадь твердого матрикса в исследуемом образце [1; 3]. В результате серии измерений в различных направлениях можно получить распределение Lb(θ) [9; 11]. Среднее расстояние между порами как функция направления Lb(θ) может быть аппроксимирована следующим уравнением: (2) где индексы α и β обозначают соответственно оси eα и eβ в системе координат, введенной на плоскости шлифа, в которой проводятся измерения. В результате измерений получается эллипс, соответствующий уравнению (2) и называемый эллипсом структуры [1; 3; 4]. В работе [4], основываясь на экспериментально полученных данных, авторы показали, что в трехмерном случае среднее расстояние между порами Lb(θ) следует представлять в виде эллипсоида: (3) где n - единичный вектор в направлении тестовой линии на шлифе исследуемого образца, определяемый как: (4) Следовательно, можно ввести эквивалентный симметричный, положительно определенный тензор второго ранга: тензор анизотропии М. Согласно теореме об обратном тензорном признаке [3], mαα, mββ, mαβ являются компонентами тензора анизотропии М. В работе [14] было предложено называть тензор, алгебраически связанный с тензором анизотропии, тензором структуры. Тензор структуры Н связан с тензором анизотропии М следующим образом [1; 9; 14]: (5) Следует заметить, что главные оси тензоров H и М совпадают, однако формы эллипсоидов, геометрически отображающих эти два тензора, несколько отличны друг от друга. При этом для дальнейших расчетов тензор структуры принято нормировать таким образом, чтобы [1; 16; 17]. Для плоского случая тензор анизотропии определяется следующим образом: (6) Для определения трех компонент тензора M необходимо провести три измерения Lb(θ) для трех различных равноотстоящих друг от друга [30; 32] направлений θ, а затем решить систему уравнений (2) относительно компонент тензора mαα, mββ, mαβ [9; 11]. Обозначим левую часть уравнения (2) как некоторую функцию f(θ), зависящую от измеряемых стереологических параметров, а именно: (7) В этом случае можно получить зависимость компонент тензора М от этой функции в общем виде [3; 9; 11]. Для удобства введем следующие обозначения: (8) где fl - значения введенной стереометрической функции для соответствующего направления θl. На практике наиболее распространенным случаем являются стереологические измерения для следующих направлений: θ1 = 0°, θ2 = 120° и θ3 = 240°. В таком случае компоненты тензора анизотропии mαα, mββ, mαβ могут быть определены по следующим формулам: (9) (10) (11) Учитывая выражение (5), связывающее тензор анизотропии и тензор структуры, можно перейти к общей записи и для соответствующих компонент тензора структуры [9]. Если привести тензор М к диагональному виду: , (12) то тогда его компоненты λα и λβ могут быть определены по формуле: . (13) В этом случае тензор структуры примет вид: (14) Таким образом, для поиска среднего расстояния между порами и построения тензоров анизотропии и структуры необходимо выполнить следующую последовательность действий: 1) выбрать область исследования - изображение пористого двухфазного материала (как правило, область исследования является квадратом); 2) бинаризировать изображение (преобразовать изображение в черно-белый вариант) так, чтобы белым цветом отображался твердый материал, а черным - поры; 3) определить относительную площадь твердого матрикса; 4) выбрать шаг тестовой сетки (расстояние между линиями сетки) для дальнейшего поиска числа пересечений линий сетки с границей «материал - пора»; 5) наложить сетку, состоящую из параллельных линий, равностоящих друг от друга, на изображение исследуемого материала для трех направлений: под углом 0, 120 и 240°; 6) определить число пересечений между линиями сетки и границами «материал - пора»; 7) определить суммарную длину линий в сетке; 8) вычислить среднее расстояние между порами по формуле (1); 9) определить коэффициенты тензора анизотропии по формулам (9)-(11) и коэффициенты тензора структуры по формулам (13)-(14). Описанная измерительная процедура была алгоритмизирована и реализована в виде комплекса проблемно-ориентированных программ. Алгоритм работы программы представлен на рис. 3. Рис. 3. Алгоритм работы программного комплекса Для верификации разработанной программы было проведено стереологическое исследование ряда абстрактных тестовых идеализированных структур, чью степень анизотропии не представляет труда определить визуально. Затем был исследован образец трабекулярной костной ткани, для которого тензор структуры был определен ранее в полуавтоматическом режиме. Полученные результаты не противоречили природной действительности, совпадали с ранее полученными данными для аналогичных пористых структур и описывали степень анизотропии исследованных структур с высокой степенью точности. После того как результаты верификации признаны удовлетворительными, программный продукт был использован для анализа структуры образца высокопористого строительного материала - автоклавного газобетона. Результаты С помощью разработанного программного модуля был проведен анализ двух модельных пористых структур: изотропной и анизотропной (рис. 4), ранее использованных в работах [3; 9; 10; 22]. Для этих модельных структур были построены тензоры анизотропии и структуры. Для удобства визуализации поверх представленных микроструктур изображены соответствующие им эллипсы структуры. Для изотропной пористой структуры эллипс структуры показан на рис. 4, а, а для анизотропной пористой структуры - на рис. 4, б. Можно заметить совпадение главных осей эллипса структуры с направлением преимущественного распределения материала в ориентированной анизотропной структуре, окружность же свидетельствует об изотропии исследуемого образца. Проверка возможности практического применение программного комплекса для решения инженерно-лабораторных задач, заключалось в анализе изображений образца трабекулярной костной ткани [9] (рис. 5) и образца автоклавного газобетона (рис. 6). а б Рис. 4. Тестовые изотропная (а) и анизотропная (б) модельные пористые объекты с изображенными эллипсами структуры Рис. 5. Поперечный срез шейки бедренной кости человека [9] Рис. 6. Образец автоклавного газобетона Результаты цифровой обработки изображений представлены на рис. 7-8. Рис. 7. Образец трабекулярной костной ткани шейки бедренной кости человека с изображенным эллипсом структуры Рис. 8. Образец автоклавного газобетона и бинаризированное изображение представленной структуры (справа) с изображенным эллипсом структуры Из полученных результатов видно, что тензор структуры способен описывать анизотропные свойства натуральных и искусственных пористых структур, а программный комплекс позволяет автоматизировать процесс определения требуемых параметров. Заключение В представленной работе была рассмотрена процедура построения тензора структуры и его визуального образа - эллипса структуры - для различных двухфазных пористых структур. Описан алгоритм определения основных стереометрических параметров и разработан комплекс проблемно-ориентированных программ, позволяющий в интерактивном режиме строить тензор структуры. Верификация работоспособности программы проведена с помощью тестовых микроструктур и образцов ранее уже исследованной структуры трабекулярной костной ткани. С помощью разработанного программного обеспечения были успешно определены стереометрические характеристики автоклавного газобетона.

Об авторах

А. А. Киченко

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

В. М. Тверье

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Список литературы

Статистика

Просмотры

Аннотация - 36

PDF (Russian) - 36

Ссылки

• Ссылки не определены.