Full Text

Введение. Теория оптимального управления начала оформляться в самостоятельную дисциплину во второй половине прошлого столетия и продолжает активно развиваться в наше время. В работах В.М. Алексеева, В.М. Тихомирова, С.В. Фомина, А.Д. Иоффе, Ф. Хартмана, Р. Габасова, Ф.М. Кирилловой [1-4] изложены основные ее положения для сосредоточенных систем (их состояния описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями). Монографии Ж.-Л. Лионса, А.Г. Бутковского, К.А. Лурье, А.И. Егорова, В.И. Иваненко, В.С. Мельника, А.В. Фурсикова, Т.К. Сиразетдинова [5-11] и других ученых посвящены проблемам теории оптимального управления распределенными системами, состояния которых описываются дифференциальными уравнениями в частных производных. Такие системы, как известно, качественнее описывают сложные реальные процессы и объекты, но в то же время оперировать распределенными системами по сравнению с сосредоточенными на порядок сложнее. Практическое применение методов теории оптимального управления началось с задач технической направленности, в том числе с задач управления летательными аппаратами, управления технологическими процессами на производстве. Сегодня, в эпоху информатизации общества, наблюдается тенденция формализации и гуманитарных знаний. Таким образом, все более актуальными представляются прикладные исследования сложных социально-экономических процессов, ориентированные на повышение эффективности управления ими на основе использования и развития методов теории оптимального управления распределенными системами. Эта область интенсивно разрабатывается учеными по всему миру [12-15]. В рамках данного исследования рассматривается задача оптимального управления экономическим процессом, описываемым распределенной системой. Начально-краевая задача моделирует дифференциацию населения по объему денежных накоплений. Задача управления подобного рода системами актуальна, поскольку на современном этапе особую важность приобретают постановки, анализ которых позволяет регулировать процессы финансового состояния в обществе, управлять, в том числе оптимально, некоторыми параметрами исследуемых систем. Ряд ученых (Д.С. Чернявский [16], В.Т. Ерофеенко, И.С. Козловская [17], Г.А., Гюльмамедова Э.Г. Оружиев [18]) уже занимались разработкой и исследованием математических моделей спектра накоплений общества, однако в их работах вопросы управления такими системами не изучались. 1. Математическая постановка задачи оптимального управления. Рассмотрим математическую модель распределения населения по денежным накоплениям. Она описывается одномерным дифференциальным уравнением параболического типа: (1) с начальным и граничными условиями: , , , (2) где искомая функция есть плотность распределения населения по накоплениям , во времени , т.е. доля населения с накоплениями от до ; - заданная функция сноса, - заданная функция диффузии, - функция семей-мигрантов, т.е. количество семей, мигрирующих на отрезок единичной длины за единичный интервал времени в окрестностях и ; при этом положительное значение функции будет означать число прибывающих в систему мигрантов, т.е. иммигрантов, а отрицательное значение функции будем трактовать, наоборот, как число выбывающих из системы членов, т.е. эмигрантов; , , - заданные функции, характеризующие состояние системы в начальный момент времени и на границах [17]. Описав математическую модель динамики плотности распределения населения по накоплениям, перейдем к постановке задачи управления данной системой. Пусть в качестве управления выступает функция семей-мигрантов , т.е. , и доставляет минимум функционалу: (3) где - некоторое положительное число, состояние системы в финальный момент времени - желаемое распределение населения по объему накоплений, к которому необходимо приблизиться. Задача (1)-(3) называется задачей с распределенным управлением и финальным наблюдением. Оптимальное состояние системы, при котором функционал (3) будет достигать своей точной нижней грани, существует в силу его выпуклости, полунепрерывности снизу и коэрцитивности [19]. Получим теперь оптимизационную систему для задачи (1)-(3). Согласно критерию оптимальности [10, 19] значение производной по Гато целевого функционала (3) на оптимальном элементе должно обратиться в ноль: (4) Запишем исходную краевую задачу (1)-(2) для функции , которая означает производную функции состояния системы, вычисленную по функции оптимального управления на оптимальном элементе: (5) , , (6) Умножим уравнение состояния (5) проварьированной задачи на произвольную функцию и проинтегрируем по области : (7) Применим к (7) формулу Грина и, воспользовавшись краевыми условиями (6), получим: (8) Наложим условия на вспомогательную функцию , до сих пор произвольную: (9) , , (10) Тогда, учитывая необходимое условие (4) экстремума целевого функционала (3), выражение (8) преобразуем к виду: (11) Откуда находим оптимальный закон: (12) Окончательно получаем систему оптимальности в виде краевой задачи для исходного уравнения и уравнения так называемого сопряженного состояния: (13) Решая оптимизационную систему (12) относительно функций и , мы определим распределение населения по накоплениям, наиболее близкое к заданному распределению , за счет управлением мигрантами: обеспечивая приток или отток мигрантов, распределенных по оси накоплений во времени по закону (12). В следующем пункте приведем пример решения модельной оптимизационной задачи. 2. Численное исследование задачи оптимального управления. Рассмотрим численную реализацию модели на примере данных по Пермскому краю. При определении параметров модели использовались усредненные статистические данные по региону за 2016 г. [20] и экспертные оценки [16, 21]. Вычисления проводились в системе Comsol Multiphysics. Задача решалась в области , где прожиточных минимумов (что соответствует 1 млн рублей), месяцев. Функция сноса была рассчитана по методологии Д.С. Чернавского [16, 21] и представлена на рис. 1. Коэффициент диффузии был определен как Начальное и граничные условия (2) были заданы в соответствии со стационарным решением уравнения (1): , Функция была задана как нормальное распределение: . Это означает выбор в качестве целевого такого распределения населения по накоплениям, чтобы средний уровень накоплений у большинства семей в регионе составлял 30 прожиточных минимумов. С х, накопления (прожиточных минимумов) Рис. 1. Заданная функция сноса На рис. 2 приведем решение оптимизационной системы (11). х, накопления (прожиточных минимумов) u t = 12 t = 9 t = 6 t = 3 t = 1 Рис. 2. График функции распределения населения по накоплениям по временным срезам Для наглядности совместим нормированное решение оптимизационной системы (11) в финальный момент времени, заданное целевое распределение и нормированное решение уравнения (1) в стационарном случае на одном графике (рис. 3). Судя по приведенным на рис. 3 графикам, можно констатировать, что аргумент функции распределения семей по накоплениям в точке максимума сдвинулся с 12 прожиточных минимумов (что соответствует стационарному состоянию , т.е. ситуации на начало 2016 г., без управления) до 30 прожиточных минимумов (решение системы оптимальности; при оптимальном управлении к концу 2016 г.). Таким образом, мы вплотную приблизились к заданному состоянию системы (функция имеет максимум также при прожиточных минимумов). х, накопления (прожиточных минимумов) u u(t = 12s) u* u_stationary Рис. 3. Графики функции распределения населения по накоплениям в финальный момент времени при оптимальном управлении, целевой функции распределения и функции стационарного распределения населения по накоплениям (в начальный момент времени, без управления) х, накопления (прожиточных минимумов) upropt t = 12 t = 9 t = 6 t = 3 t = 1 Рис. 4. График функции оптимального управления по временным срезам На рис. 4 приведен график функции оптимального управления - распределение семей-мигрантов по накоплениям во времени. Он показывает, по какому закону должно происходить изменение числа семей-мигрантов по оси накоплений во времени. Если в первые месяцы требуется привлечение большого количества иммигрантов и в основном с накоплениями 60-100 прожиточных минимумов, то в последний момент времени - с накоплениями 30 прожиточных минимумов. Выводы. В рамках данной работы для распределенной системы, моделирующей распределение населения по накоплениям, была сформулирована и обоснована задача оптимального управления. В качестве управления выступала функция семей-мигрантов. Получены необходимые условия разрешимости в форме системы оптимальности, представляющей собой краевую задачу в частных производных, а также формула для определения функции оптимального управления. Выполнено численное исследование модельной задачи для населения Пермского края. Приведены графики решения системы оптимальности и функции оптимального управления. Использованный в статье подход проведения подобных расчетов, учитывающих взаимозависимость миграционных процессов в регионе и финансового состояния населения в нем, может найти применение в разработке эффективных мер управления миграционными процессами, что является важной задачей как государственной, так и региональной политики.

About the authors

V. P Pervadchuk

Perm National Research Polytechnic University

D. B Vladimirova

Perm National Research Polytechnic University

P. O Derevyankina

Perm National Research Polytechnic University

References

Statistics

Views

Abstract - 20

PDF (Russian) - 11

Refbacks

• There are currently no refbacks.