Full Text

Электроприводы на базе вентильных электрических машин с высококоэрцитивными постоянными магнитами постоянно совершенствуются. Эта тенденция объясняется развитием оборонных систем, дальнейшим освоением космоса, появлением интеллектуальных приводов в гражданской сфере. Создание новых, доступных по цене магнитных материалов, развитие силовой электроники ускоряют этот процесс. При этом требуются постоянное увеличение удельных энергетических показателей, повышение надежности, снижение себестоимости разрабатываемых изделий. Эти задачи невозможно решить без выбора оптимальной геометрии магнитной системы вентильной машины по заранее определенному экспертом показателю качества. В зависимости от назначения привода это может быть минимальный вес, минимальный объем, максимальный коэффициент полезного действия, минимальная масса активных материалов (меди и постоянных магнитов), максимальное быстродействие. Следует отметить, что все современные методы оптимального проектирования основаны на большом количестве итерационных циклов [1]. В зависимости от выбранного метода оптимизации и сложности математической модели, описывающей электромагнитные процессы в электрической машине, число циклов перебора независимых переменных может достигать десятков и сотен тысяч. Даже мощные вычислительные комплексы очень часто не могут в разумный временной интервал рассчитать оптимальную геометрию при таком числе анализируемых вариантов. По этой причине невозможно использовать точные, но тяжеловесные программы электромагнитного анализа, такие как Ansys, Cosmos, Nastran и другие. Кафедра теоретических основ электротехники ЮУрГУ с этой проблемой столкнулась много лет назад при разработке электроприводов для специальной техники. Все эти годы делались неоднократные попытки разработать простую, но приемлемую по точности методику расчета магнитных систем с высококоэрцитивными магнитами. Применялись методы: по кривым возврата, граничной коллокации, планирования эксперимента и другие [2-6]. Все эти попытки приводили к удовлетворительному решению конкретных узких задач, но при включении этих методов в оптимизационный цикл получался, как правило, отрицательный результат. Из-за погрешности расчета блок-оптимизатор часто выбирал нереальные для практики размеры. Например, из-за погрешности расчета потока рассеяния с боковой грани магнита программа оптимизации часто выбирала высоту магнита из материала неодим-железо-бор более 300 мм. Такие магниты на практике не изготавливают из-за невозможности их качественного промагничивания. Следует отметить, что точность расчета параметров магнитной системы очень важна, так как эти параметры в основном определяют энергетику системы (потери, тепловое состояние, КПД). Таким образом, задача разработки простой, но достаточно точной инженерной методики расчета систем с постоянными магнитами до сих пор остается острой и актуальной. Анализ литературы [2, 3] и практика оптимизации магнитоэлектрических систем на кафедре теоретических основ электротехники позволяют утверждать, что решение данной задачи представляет научную новизну. В данной статье предпринята попытка решения этой проблемы. Постановка задачи. Магнитную систему практически всех электротехнических изделий можно привести в виду, представленному на рис. 1. Магнитопровод Постоянный магнит Рис. 1. Расчетная модель магнитной системы Данная модель учитывает все особенности магнитного состояния системы: потоки в нейтральном сечении, потоки рассеяния, рабочий поток. Даже электрическую машину со сложной геометрией зубцовой зоны можно в первом приближении привести к указанной расчетной схеме. Это можно объяснить тем, что основное сопротивление магнитному потоку для ненасыщенных и слабо насыщенных магнитных систем представляет воздушный зазор. Если идти по пути дальнейшего упрощения, то можно перейти от объема к плоской задаче, которая представлена на рис. 2. На рис. 2 показаны следующие размеры: hm - высота магнита; bm - ширина магнита; hj - толщина магнитопровода; delta - расстояние между торцевой гранью магнита и магнитопроводом; δ - воздушный зазор. Как было отмечено выше, наиболее надежным и проверенным на практике методом расчета магнитных систем является метод конечных элементов [4-10]. Но применение данного метода содержит следующее противоречие: использование большого количества элементов повышает точность расчета, но делает применение этого метода громоздким и неприемлемым для формирования системы уравнений вручную при создании инженерной методики. С другой стороны, малое количество элементов недопустимо огрубляют задачу и не позволяют получить требуемую для практики точность. Магнитный поток рассеяния Магнитный поток в нейтральном сечении Рабочий магнитный поток Магнитопровод Воздушный зазор Постоянный магнит d hm delta hm hj Рис. 2. Плоский вариант расчетной задачи Для решения поставленной задачи было принято простое, но достаточно эффективное решение. Путем нескольких тестовых вычислений для достаточно большого количества разнообразных магнитных систем было выбрано количество элементов, обеспечивающих требуемую точность расчета и позволяющих сформировать систему уравнений вручную. Эти уравнения были первоначально заложены и проверены в программе Mathcad, а затем переведены на программный язык высокого уровня Delphi для проведения оптимизационных расчетов различных магнитных систем. Для указанных программ были сформированы инженерные методики расчета для учебного процесса и научных исследований. Использование метода конечных элементов для построения математической модели. Метод конечных элементов для расчета магнитных полей основан на аппроксимации векторного магнитного потенциала дискретной моделью, которая строится на множестве кусочно-непрерывных функций, определенных на конечном числе подобластей, называемых конечными элементами (КЭ). Плоскопараллельные краевые задачи используют декартову систему координат. Внутри каждого элемента векторный магнитный потенциал можно представить в виде интерполяционного полинома первой степени (рис. 3). Примем нумерацию узлов в элементе i, j, k против часовой стрелки. Узловые значения потенциала обозначим через Ai, Aj, Ak, а координаты узлов соответственно (Xi, Yi), (Xj, Yj), (Xk, Yk). Подстановка в интерполяционный полином приводит к системе уравнений: , , . Рис. 3. Представление векторного магнитного потенциала для одного элемента В результате решения системы уравнений можно определить коэффициенты: , , . Площадь элемента Sa можно определить из матричного соотношения: . Подставляя значения коэффициентов в интерполяционный полином, можно записать выражение для функции векторного магнитного потенциала через три функции формы, по одной для каждого узла: . Для каждого узла функция формы выглядит следующим образом: , где , , ; где , , ; , где , , . Решение краевой задачи теории поля методом конечных элементов производится на основе вариационного исчисления. С вариационной точки зрения решение дифференциального уравнения в частных производных с заданными граничными условиями эквивалентно нахождению минимума энергетического функционала: где , - составляющие вектора магнитной индукции поля, распределенного в области S по осям X и Y. Записав условие минимума функционала, являющегося функцией значений , , на каждом конечном элементе, получим систему алгебраических уравнений для определения значений векторного потенциала в узлах треугольников, которыми покрывается расчетная область: На основе полученных уравнений для каждого конечного элемента (треугольника) образуется система алгебраических уравнений, решение которой дает значения векторного магнитного потенциала A в вершинах треугольников (рис. 4). На первом этапе построения модели были определены координаты узлов через варьируемые параметры геометрии системы. Таким образом, при изменении размеров магнитной системы изменялись только размеры элементов, количество элементов и узлов при этом оставалось заданным (60 элементов, 42 узла). Далее были заданы размеры матрицы жесткости (20,20) и линейного вектора свободных членов (20), которые на начальном этапе были обнулены. Затем был составлен алгоритм для определения элементов локальной матрицы жесткости. По этому алгоритму были определены элементы всех локальных матриц жесткости. Элементы глобальной матрицы жесткости были получены путем сложения значений локальных элементов. Намагниченность постоянного магнита была учтена плотностью тока элементов 15, 25 и 35, которая рассчитывалась через коэрцитивную силу магнитного материала и высоту магнита. В общей сложности при формировании локальных матриц и глобальной матрицы необходимо было сформировать вручную 483 уравнения. Столь объемная задача оказалась не очень сложной, поскольку линейные алгебраические уравнения достаточно просты и однотипны. Для решения системы уравнений был использован метод Гаусса, который в виде стандартной процедуры заложен в Mathcad и Delphi. Воздух Магнитопровод Магнит Рис. 4. Разбиение магнитной системы на конечные элементы Фрагмент реализации инженерной методики в программе Mathcad представлен ниже. Показаны вычисления для наиболее характерного 15-го элемента, так как он содержит материал постоянного магнита. Элемент 15 Магнитная проницаемость элемента: . Нумерация узлов 15-го элемента: Обнуление локальной матрицы: Координаты узлов элемента: , , , Площадь элемента , Коэффициенты для вычисления локальной матрицы жесткости , , . Определение элементов локальной матрицы жесткости , , , , , , , , . Формирование вектора свободных членов . Сложение элементов локальной матрицы жесткости с элементами глобальной матрицы жесткости: . После формирования глобальной матрицы жесткости и глобального вектора свободных членов система уравнений составлена и может быть решена относительно магнитных потенциалов в узлах элементов: . Через значения магнитных потенциалов в узлах элементов можно определить все характеристики магнитной системы. Средняя индукция в воздушном зазоре: . Средняя индукция на поверхности магнита: . Средняя индукция в нейтральном сечении магнита: . Магнитный поток: . Для проверки точности расчета разработанной инженерной методики она сравнивалась с решением задач копий в программе AnsysElectronicsDesktop, которая осуществляет автоматическую разбивку области расчета на несколько тысяч элементов. В качестве одного из вариантов тестирования была выбрана магнитная система со следующими параметрами: - воздушный зазор, м 0,01; - толщина магнита, м 0,01; - ширина магнита, м 0,04; - толщина магнитопровода, м 0,02; - расстояние между боковой гранью магнита и магнитопроводом (для потоков рассеяния), м 0,005; - остаточная индукция магнитного материала, Тл 1,1; - коэрцитивная сила магнитного материала, А/м 890 000. На рис. 5. представлены результаты сравнительного анализа расчета основных параметров в программе Mathcad и в программе AnsysElectronicsDesktop. Рис. 5. Результаты решения задачи копии в программе AnsysElectronicsDesktop Погрешность по определению средней индукции в воздушном зазоре составила 1,5 %, что является очень хорошим результатом для инженерных расчетов. Следует отметить, что время решения всех тестовых задач составило доли секунды в отличие от работы программы AnsysElectronicsDesktop, которая занимала около 2 минут. Анализ результатов. Данная расчетная модель была использована для расчета магнитных систем в программах оптимизации вентильных машин комбинированного возбуждения, в расчетах вентильных магнитоэлектрических машин радиальных и тангенциальных систем возбуждения, при расчете магнитоэлектрических генераторов для ветроэнергетических установок [11-22]. Для блока-оптимизатора применялся метод покоординатного спуска в сочетании с методом Фибоначчи. Известно, что метод покоординатного спуска содержит очень большое число циклов, которое резко возрастает при увеличении числа варьируемых переменных [1]. При решении названных оптимизационных задач использовалось до 5 циклично изменяемых параметров. Время оптимизационных расчетов при этом не превысило 30-40 с. Предлагаемая методика использования достаточно сложного метода конечных элементов, но при небольшом, заранее определенном с точки зрения требуемой точности, фиксированном числе узлов и самих элементов, представляет собой новый подход к решению задач данного типа. Его можно рекомендовать для решения других подобных задач, для которых используется метод конечных элементов. Выводы. В основу разработанной инженерной методики расчета магнитной системы положен проверенный на практике метод конечных элементов. Существенное упрощение модели позволило сократить затраты на решение задачи. Модель можно использовать в качестве основы для проведения оптимизационных расчетов с большим количеством циклов по перебору независимых элементов. При этом точность определения основных параметров магнитной системы получилась довольно высокой и составляет около 1,5 %. Методика реализована и апробирована в программах Mathcad и Delphi. Данная расчетная модель успешно применялась для оптимизации широкого круга вентильных электрических машин с магнитоэлектрическим возбуждением. Таким образом, поставленная задача разработки простой, но точной методики расчета магнитных систем с постоянными магнитами, которую можно использовать для оптимизации с большим циклом итераций, достигнута. Этот новый подход может быть использован для решения подобных задач из других сфер научной деятельности: гидродинамики, аэродинамики, теплодинамики, динамики напряжений. Работа выполнялась в Южно-Уральском государственном университете при финансовой поддержке Российского научного фонда (проект №14-19-00327). Авторы благодарят администрацию университета, предоставившую возможность реализации данного проекта.

About the authors

S. A Gandzha

South Ural State University

D. S Aminov

South Ural State University

B. I Kosimov

South Ural State University

R. R Nimatov

Komsomolsk-on-Amur State University

References

Statistics

Views

Abstract - 31

PDF (Russian) - 18

Refbacks

• There are currently no refbacks.