Full Text

Введение. Реактивные электрические машины с анизотропной магнитной проводимостью ротора в последнее время находят все большее применение в различных электроприводах технологических механизмов. В частности за рубежом серийный выпуск таких электрических машин осуществляют концерн ABB («ASEA Brown Boveri») [1-2], немецкая компания KSB («Klein, Schanzlin & Becker») [3], а также Siemens [4]. В связи с этим данному классу электрических машин уделяется очень большое внимание специалистов со всего мира, о чем свидетельствуют многочисленные статьи [5-17] и монографии [18-21]. Отличительными особенностями данного класса электрических машин являются высокий показатель энергетической эффективности, технологичность изготовления и лучшие эксплуатационные характеристики по сравнению с остальными типами электрических машин [12-14, 16]. Существуют две технологии изготовления ротора такой электрической машины: с использованием продольной шихтовки пакетов полюса ротора (ALA - Axially Laminated Anisotropic) и поперечной шихтовки пакета ротора со специальными вырезами (TLA - Transversally Laminated Anisotropic). Считается, что реактивная машина с поперечной шихтовкой пакета полюса ротора (TLA) более технологична в изготовлении, и практически все исследования в последнее время посвящены именно ей [6-10, 18-21]. Так, практически все научные труды по данному классу электрических машин посвящены оптимизации конструкции и геометрических размеров ротора реактивной машины с анизотропной магнитной проводимостью ротора с поперечной шихтовкой пакета ротора (TLA) [6-7, 18-21]. В представленных статьях и монографиях приводятся в основном результаты численного, реже физического моделирования магнитных полей с использованием специализированных программ, основанных на методах конечных элементов, таких как ELCUT, ANSYS Maxwell, Femlab. Аналитическое описание магнитных проводимостей реактивной машины с анизотропной магнитной проводимостью ротора с продольной шихтовкой пакета ротора (АLA) в научных трудах и открытой печати отсутствует. Тем не менее, отношение продольной и поперечной магнитных проводимостей реактивной машины является важным показателем, характеризующим эффективность ее работы, и проектирование электрических машин должно осуществляться с учетом данного обстоятельства. Следует отметить, что лучшими характеристиками по данному показателю и по величине энергетической эффективности обладает реактивная машина с продольной шихтовкой пакетов полюса ротора (ALA) по сравнению с реактивной машиной с поперечной шихтовкой пакета ротора (TLA) [12-17]. Далее будем рассматривать только реактивную электрическую машину с продольной шихтовкой пакетов полюса ротора (ALA). 1. Поперечная магнитная проницаемость полюса ротора. Число полюсов реактивной машины с анизотропной магнитной проводимостью ротора и их форма не оказывают существенного влияния на продольную магнитную проводимость машины. Основная продольная магнитная проводимость машины, которая принята за базовую, вычисляется с учетом числа пар полюсов р = 1, 2, … по формуле где Lб - базовая магнитная проводимость; d* - относительный расчетный воздушный зазор между статором и ротором, d* = d/R; t - угловое полюсное деление, t = p/р; р - число пар полюсов; l - длина магнитопровода. Поперечная магнитная проводимость полюсов ротора существенно зависит от формы и числа полюсов реактивной машины [15]. Для определенности полагается, что полюса ротора многополюсной реактивной машины имеют вид сектора (рис. 1). . Рис. 1. Иллюстрация к определению поперечной магнитной проводимости полюса ротора Особенностью расчета поперечной магнитной проводимости многополюсной машины является зависимость параметров схемы замещения машины (рис. 2) от угловой радиальной координаты b, отсчитываемой от поперечной оси ротора q. Магнитная цепь на полюсном делении ротора может быть представлена схемой замещения, изображенной на рис. 2. Рис. 2. Cхема замещения магнитной цепи многополюсной машины Она состоит из элементарных проводимостей воздушного зазора dld и полюса ротора dlпk, которые зависят от формы полюса ротора и от положения k = 1, …, n на полюсном делении. Определим элементарные магнитные проводимости dld и dlпk как функции от их места положения на полюсе ротора в полярной системе координат, полярная ось которой совпадает с поперечной осью q. Текущий геометрический угол системы координат - b Î [0, t/2], где t - угловое полюсное деление, t = p/р; р - число пар полюсов (см. рис. 1). Половина полюсного деления разбита на элементарные углы db, на которых определяются элементарные параметры dld и dlпk. Элементарная удельная магнитная проводимость воздушного зазора определяется выражением: (1) Элементарная удельная магнитная проводимость полюса ротора. Будем полагать, что полюс ротора состоит из достаточно тонких пластин с воздушными зазорами между ними (см. рис. 1). Промежутки между пластинами ротора dz пронумеруем k = 1, 2…, n. Полюс ротора по оси z имеет коэффициент заполнения ферромагнитным материалом g2, а по оси q: , где q - угол сгиба пластин. Относительная магнитная проницаемость по осям z и q (см. рис. 1) определяется соотношениями: ; . (2) Разобьем половину полюса ротора на два объема A и B, внутри которых коэффициент заполнения сталью - постоянная величина. Часть полюса A является цилиндром, основание которого образует фигуру {а-б-в-г-а} (см. рис. 1). Она имеет коэффициент заполнения сталью g2. Часть плюса B является цилиндром, основание которого образует фигуру {в-е-д-г-в} (см. рис. 1). Она имеет коэффициент заполнения сталью gx. Элементарную поперечную магнитную проводимость полюса ротора dlпk схемы замещения, изображенной на рис. 2, представим в виде двух параллельно соединенных проводимостей dlAk и dlBk, магнитные проницаемости которых m2 и mx. Определим элементарную удельную магнитную проводимость полюса dlAk в объеме A с коэффициентом заполнения сталью g2 и относительной магнитной проницаемостью m2*. По оси z, перпендикулярной пластинам полюса, выделим промежуток между пластинами dz. Угловая координата b (см. рис. 1) определяет положение элементарного углового отрезка db, который связан с относительным значением длины отрезка dz* соотношением Относительная координата z* = z/R = k×dz* пластины k = 1, 2, …, n связана с угловой координатой пластины b соотношением . Удельная магнитная проводимость элемента объема A полюса ротора, соответствующего этому отрезку, , где (3) - относительная длина части пластины, положение которой определено углом b (см. рис. 1), x1* - относительный размер крепежной выемки. Элементарная удельная магнитная проводимость полюса dlBk в объеме B с коэффициентом заполнения сталью gx , где dzq* - относительный промежуток между пластинами в объеме B, dzq* = dz*/sin(q). Эквивалентное значение элементарной удельной магнитной проводимости полюса может быть записано в следующем виде: (4) где (5) - относительная поперечная магнитная проницаемость полюса ротора, являющаяся функцией геометрической угловой координаты b. Заметим, что электрическая угловая координата b в р раз больше геометрического угла b. График зависимости относительной поперечной магнитной проницаемости полюса ротора от электрической угловой координаты b приведен на рис. 3. Рис. 3. Графики зависимости поперечной относительной магнитной проницаемости полюса ротора от электрической угловой координаты Максимальное значение относительной поперечной магнитной проницаемости полюса ротора (5) достигается при электрической угловой координате b = p/2 и определяется выражением: . (6) Величина максимального значения относительной поперечной магнитной проницаемости полюса ротора оказывает существенное влияние на характеристики машины. Меньшие ее значения позволяют получить машину с лучшими энергетическими и массогабаритными показателями. 2. Магнитная проводимость между полюсами ротора. Особенностью магнитной цепи ротора многополюсной машины является наличие немагнитного промежутка между его полюсами. Вид фрагмента магнитопровода ротора с немагнитным промежутком между полюсами, имеющими форму секторов, приведен на рис. 4. Рис. 4. Иллюстрация к определению магнитной проводимости немагнитного промежутка между полюсами ротора Поскольку зазор между полюсами ротора, как правило, отсутствует или достаточно мал, то немагнитный промежуток между полюсами ротора практически не будет оказывать влияния на продольную магнитную проводимость. Однако он оказывает существенное влияние на поперечную магнитную проводимость. Наличие немагнитного промежутка между полюсами не является обязательным атрибутом многополюсной машины. Так, например, при угле сгиба пластин ротора q = p/4 и числе пар полюсов р = 2 немагнитный промежуток между полюсами отсутствует. Кроме того, если стальные пластины ротора установлены на вал, изготовленный из ферромагнитного материала, то можно считать, что немагнитный промежуток между пластинами соседних полюсов отсутствует. Учет влияния немагнитного промежутка между полюсами на магнитные проводимости также теряет смысл, если стальные пластины полюсов ротора касаются друг друга. Между полюсами ротора имеется немагнитный промежуток (рис. 4), которому соответствует межполюсная магнитная проводимость lU. Для определения магнитной проводимости немагнитного промежутка между полюсами ротора введем полярную систему координат, полярная ось которой проходит между полюсами, а центр системы координат 0 находится на пересечении линий {0, а} и {0, б} (см. рис. 4). Магнитное напряжение между полюсами и магнитный поток между ними определяются выражениями: ; , (7) где - величина, характеризующая положение центра полярной системы координат относительно поверхности ротора; dр* - относительное минимальное расстояние между полюсами ротора; r2 - относительный геометрический размер (см. рис. 4), r2 »r1 + y1*(t/2); m0 - магнитная проницаемость немагнитного промежутка между полюсами, принятая равной магнитной проницаемости воздуха 4×p×10-7 Гн/м; l - расчетная длина магнитопровода ротора; С1 - нормирующая константа. Удельная магнитная проводимость между полюсами ротора (8) Коэффициент магнитного сопротивления между полюсами ротора определен выражением в котором удельная магнитная проводимость между полюсами ротора lоU рассчитывается по формуле (8), а относительная поперечная магнитная проницаемость полюса ротора mq* - по формуле (6). Величина данного коэффициента существенно зависит от минимального расстояния между полюсами ротора dр. Если положить, что минимальное расстояние между полюсами ротора dр* = (1¼3) d*, а угол сгиба пластин q = p/4, то коэффициент магнитного сопротивления между полюсами ротора будет принимать значения sU = 1,5¼3. 3. Магнитное напряжение в воздушном зазоре. Магнитная проницаемость полюса ротора (5) является функцией угловой координаты ротора. Несложно установить, что функция магнитного потока порождается дифференциальным уравнением второго порядка: (9) которое справедливо как для зоны продольной, так и поперечной магнитной проводимости, где b - электрическая угловая координата, b Î [0, p/2], отсчитываемая от поперечной оси ротора q (см. рис. 1). Если известно решение дифференциального уравнения (9), то функции магнитного потенциала ротора в зоне продольной и поперечной магнитной проводимости определяются соответственно из соотношений: и (10) Решение дифференциального уравнения (9) при переменной поперечной магнитной проницаемости полюса ротора (5) может быть получено лишь численным методом. Для представления решения дифференциального уравнения (9) в аналитическом виде будем аппроксимировать зависимость (5) прямой (см. рис. 2): Тогда дифференциальное уравнение (9) может быть заменено уравнением (11) где b - электрическая угловая координата, b Î [0, p/2]; с - коэффициент затухания магнитного потенциала многополюсной машины, характеризующий скорость уменьшения функций поперечного потока и магнитного потенциала ротора в зоне поперечной магнитной проводимости по мере удаления от паза с проводниками катушки, (12) Если принять, что расчетный воздушный зазор определяется формулой (22), то можно построить зависимость коэффициента затухания от числа пар полюсов (рис. 5). Рис. 5. Графики зависимости коэффициента затухания от числа пар полюсов Коэффициент затухания многополюсной машины может принимать значения c = 1,5¼4,5. Величина коэффициента затухания зависит от коэффициента воздушного зазора kd. Увеличение kd ведет к уменьшению коэффициента затухания. Дифференциальное уравнение (11) сводится к модифицированному дифференциальному уравнению Бесселя. Введем две функции первого и второго рода индекса v: где Iv(x), Kv(x) - модифицированные функции Бесселя первого и второго рода индекса v. Тогда решение дифференциального уравнения (11) для зоны продольной и поперечной магнитной проводимости запишется в виде линейной комбинации введенных функций: , , (13) где C1d, C2d и C1q, C2q - постоянные интегрирования для зоны продольной и поперечной магнитной проводимости. Функции магнитного потенциала ротора в зоне продольной и поперечной проводимости определяются соответственно из соотношений (10) путем подстановки в них функции магнитного потока (13): ; . (14) Введенные функции первого и второго рода в данной формуле (14) имеют индекс v = 0. Для определения постоянных интегрирования C1d, C2d, C1q, C2q необходимы 4 краевых (граничных) уравнения. Они составляются из дополнительных условий на границе области определения решения дифференциального уравнения (11). Два краевых уравнения могут быть получены из постулата непрерывности функций потока ротора и магнитного потенциала в точке b = aA: , где aA - координата магнитной оси катушки D(aA). Два других уравнения могут быть получены из связи между функциями магнитного потока и потенциала при b = р×a1 и b = p/2, где a1 - половина геометрического углового размера крепежной выемки. При b = р×a1 должно иметь место краевое уравнение: где - удельная магнитная проводимость крепежной выемки, = lV/(m0×l). Будем считать, что магнитная проводимость достаточно мала. Тогда из равенства Фпq(р×a1) = 0 следует краевое уравнение: . При b = p/2 должно иметь место краевое уравнение: где - удельная магнитная проводимость между полюсами ротора (8), = lU/(m0×l). В том случае, если число пар полюсов р = 2 или полюса соприкасаются друг с другом, то удельная магнитная проводимость достаточно велика. Тогда можно принять: URd(p/2) = 0. Из данного равенства следует краевое уравнение: В случае, если число пар полюсов р > 2 и крайние пластины полюсов не соприкасаются друг с другом, то краевое уравнение принимает вид: . Используя записанные выше уравнения, получаем следующую систему краевых уравнений: Решение системы данных линейных уравнений не приводится в силу громоздкости его представления. Однако отметим, что ее решение порождает систему функций C1d(aA), C2d(aA), C1q(aA), C2q(aA) угла aA, характеризующего положение магнитной оси катушки A. Распределение поперечного магнитного напряжения в воздушном зазоре может быть представлено в виде составной функции: (15) При b Î [0, р×a1] Fdq(b, aA) = 0, где a1 - половина геометрического углового размера крепежной выемки; р - число пар полюсов. 4. Поперечная магнитная проводимость многополюсной машины. Поперечная магнитная проводимость многополюсной машины может быть вычислена по формуле: (16) Относительную поперечную магнитную проводимость многополюсной машины можно представить в виде зависимости от доли kv = 2×a1/t, занимаемой крепежной выемкой на угловом полюсном делении t и коэффициента магнитного сопротивления между полюсами ротора sU: (17) Поскольку функция Fdq(b,aA) является составной, а каждая из частей состоит из достаточно большого числа функций Бесселя, то вычисление интеграла (16) затруднительно. Ниже приводятся соотношения, позволяющие оценить относительную поперечную магнитную проводимость многополюсной машины и влияние на нее крепежной выемки и межполюсного магнитного промежутка. Если положить, что отсутствуют крепежная выемка и межполюсный магнитный промежуток, то относительная поперечная магнитная проводимость многополюсной машины может быть вычислена по приближенной формуле: (18) Погрешность формулы (18) не превышает 1 %. 5. Коэффициент поперечной магнитной проводимости многополюсной машины. Введем коэффициент вариации поперечной магнитной проводимости многополюсной машины, обусловленной крепежными выемками и межполюсным воздушным промежутком: (19) Для оценки влияния раздельного вклада крепежных выемок и межполюсного воздушного промежутка будем использовать коэффициенты вариации поперечной магнитной проводимости, обусловленной крепежными выемками и межполюсным воздушным промежутком: ; . (20) Графики зависимости коэффициента вариации поперечной магнитной проводимости, обусловленной крепежными выемками от доли, занимаемой крепежной выемкой на угловом полюсном делении, приведены на рис. 6, а. Графики зависимости коэффициента вариации поперечной магнитной проводимости многополюсной машины, обусловленной межполюсным немагнитным промежутком, от коэффициента магнитного сопротивления между полюсами ротора приведены на рис. 6, б. а б Рис. 6. Зависимости коэффициента вариации поперечной магнитной проводимости многополюсной машины, обусловленной: а - крепежными выемками от доли, занимаемой ею на угловом полюсном делении; б - межполюсным немагнитным промежутком от коэффициента магнитного сопротивления между полюсами ротора Коэффициент поперечной магнитной проводимости многополюсной машины с учетом крепежной выемки и межполюсного немагнитного промежутка может быть вычислен по формуле: , (21) где - коэффициент вариации продольной магнитной проводимости, обусловленной крепежной выемкой, ; kv - доля, занимаемая крепежной выемкой на угловом полюсном делении t, kv =2×a1/p; a1 - половина геометрического углового размера крепежной выемки. Величина коэффициента поперечной магнитной проводимости существенно зависит от числа пар полюсов и величины воздушного зазора. Положим, что расчетная величина относительного воздушного зазора d* = a/р, где a - некоторая константа. Тогда коэффициент поперечной магнитной проводимости многополюсной машины будет слабо зависеть от числа пар полюсов р. Однако такая зависимость величины воздушного зазора от числа пар полюсов по конструктивным соображениям считается нецелесообразной. Рекомендуется [22] относительную величину расчетного воздушного зазора для машин мощностью более 20 кВт выбирать, используя формулу: (22) где kd - коэффициент воздушного зазора. Графики зависимости коэффициента поперечной магнитной проводимости от числа пар полюсов при воздушном зазоре, определенном соотношением (22), и коэффициентов воздушного зазора kd = 1,5 и kd = 2,5 приведены на рис. 7. Если число пар полюсов р = 2, то коэффициент поперечной магнитной проводимости получается примерно равным коэффициенту поперечной магнитной проводимости при числе пар полюсов р = 3. В двухполюсной машине (р = 1) коэффициент поперечной магнитной проводимости kq = 0,025¼0,035. Коэффициент вариации поперечной магнитной проводимости многополюсной машины, обусловленной крепежными выемками и межполюсным воздушным промежутком, может быть оценен по приближенной формуле: . При kv =0,15¼0,33 и sU =1¼3 погрешность формулы не превышает 5 %. Коэффициент поперечной магнитной проводимости играет важную роль в проектировании реактивных машин. Чем меньше его величина, тем выше энергетические и меньше массогабаритные показатели реактивной машины. Рис.7. Графики зависимости коэффициента поперечной магнитной проводимости от числа пар полюсов Выводы. Полученные аналитические зависимости являются новыми, нигде ранее не встречавшимися в научной литературе, и позволяют определять поперечную магнитную проводимость катушки статора многополюсной реактивной машины с анизотропной магнитной проводимостью ротора, выполненную по технологии продольной шихтовки ротора (ALA). Из представленных зависимостей и графиков следует, что крепежная выемка и межполюсный воздушный промежуток существенно влияют на величину магнитной проводимости машины. Введены новые показатели и коэффициенты, которые позволяют производить оценку энергетических и массогабаритных показателей реактивной машины в зависимости от геометрических размеров крепежной выемки, величины межполюсного воздушного промежутка, числа пар полюсов и величины воздушного зазора. Полученные аналитические зависимости и выражения могут быть использованы при разработке методики проектирования реактивной электрической машины с анизотропной магнитной проводимостью ротора, выполненной по технологии продольной шихтовки ротора (ALA), и будут полезны широкому кругу специалистов, а также проектантам электроприводов на основе реактивных электрических машин.

About the authors

F. A Gel'ver

Krylovskiy gosudarstvennyy nauchnyy tsentr; GUMRF named after admirala S.O. Makarova

V. F Samoseyko

Krylovskiy gosudarstvennyy nauchnyy tsentr; GUMRF named after admirala S.O. Makarova

References

Statistics

Views

Abstract - 28

PDF (Russian) - 13

Refbacks

• There are currently no refbacks.