Full Text

Введение. Задача многомерной интерполяции наряду с регрессией как вариант аппроксимации при моделировании имеет место во множестве различных областей исследований и управления [1-3]. Существующие методы многомерной интерполяции настолько громоздки, что обычно ограничиваются многочленом первой или второй степени [4, 5], имеют множество ограничений и условий применения [6]. Часто приходится предварительно подбирать замену переменных, преобразующих описывающую функцией поверхность в плоскость [7]. Подход, предложенный в [8], для функций со многими переменными является попыткой обобщения метода Лагранжа, но имеет ряд описанных там же недостатков и логически сложен. Предложенный в данной статье метод логически существенно проще, может сразу учитывать или вводить нелинейности по зависимым и моделируемым переменным. Метод основан на распространённом среди исследователей методе наименьших квадратов (МНК) [9-12]. Поскольку метод сводится к матричным операциям и вычислению определителей, уделено внимание матричной алгебре. Метод наименьших квадратов как способ интерполяции. Результат МНК при количестве исходных точек, равном числу искомых коэффициентов, является интерполятором L(x). Полученный полином обеспечивает выполнение основного условия интерполяции: L(xi) = yi. Имеются матрицы исходных данных: и . Квадратной матрицей X и матрицей-столбцом Y для расчета интерполяционного полинома третей степени методом наименьших квадратов будут: , . При подстановке в многочлен элементов вектора - столбца рассчитанных МНК [2] - , где X' транспонированная матрица X, и при группировке членов по уi получим выражение: (1) Его дальнейшее упрощение дает интерполяцию полиномом Лагранжа: (2) Таким образом, интерполятор Лагранжа является другой формой записи интерполяции МНК функции одной переменной. Определитель матрицы X есть знаменатель в правой части уравнения (1): Определители матриц, полученных заменой i-й строки в исходной матрице X на вектор дают числители соответствующих выражений при yi в уравнении (1). К примеру, для y1 Таким образом, интерполяционный многочлен Лагранжа 3-го порядка может быть записан в виде: (3) Отношение определителей обладает свойством базисных полиномов Лагранжа: - для i-й узловой точки отношение определителей i-го коэффициента равно единице, так как определитель в числителе равен определителю в знаменателе; - для i-й узловой точки отношение определителей j-го коэффициента при j ≠ i равно нулю, так как определитель числителя имеет в этом случае две одинаковые строки. При получении интерполяционного полинома МНК соответственно выполняется и условие единственности интерполяционного полинома. Однако отметим, что при равенстве количества точек количеству искомых переменных, т.е. при интерполяции, имеет место равенство: . (4) Таким образом, (1) и, соответственно, (3) можно получить простым решением системы алгебраических линейных уравнений. Обобщение метода. МНК применим для аппроксимации произвольным набором комбинаций функций произвольного набора переменных из исходного набора Xbasic [9]. Кроме того, в МНК может использоваться и преобразование пространства по координате y, например для линеаризации. В этом случае в качестве матрицы Y используется матрица преобразованных yi. Для интерполяции МНК имеются матрицы исходных данных: , . Требуется получить интерполяционный многочлен для преобразованной зависимой переменной yа. Матрицы для расчета интерполяционных полиномов МНК имеют вид: , . Операции, аналогичные получению полинома третьей степени, изложенные в первой части статьи, дадут интерполятор для зависимой моделируемой переменной yа, подобный интерполятору Лагранжа: (5) где xa…xe - независимые переменные; udirect, ureverse - прямая и соответствующая ей обратная функции преобразования интерполируемых переменных ya; fi(X) - функция или произвольная комбинация каких-либо функций переменных или произвольной комбинации переменных из набора X, к примеру, , в том числе может быть и единицей, но только одна из них. Следует использовать функции, гладкие в области определения интерполятора; XmXi - матрицы, полученные из матрицы Xm заменой i-й строки вектором . К примеру: Каждый базисный многочлен также обладает свойствами базисного полинома Лагранжа: равен единице для узловой точки X = Xi и нулю для всех остальных узлов X = Xj при j ≠ i. При искажении координаты y значения полученного интерполятора в узловых точках L(Xi) = yi для любых функций преобразования. Для других значений вектора X ≠ Xi, i = 1..k, значения L(X) для разных функций преобразования будут различны, так как многочлен в каждом случае получается иной. Если брать udirect(v), к примеру, степенной функцией, то полученный многочлен может иметь любую степень и, соответственно, может быть бесконечно дифференцируемым. Таким образом, через заданное количество точек строится кривая линия (поверхность) другого порядка. Полином единственный для данной функции преобразования, но различных функций существует бесконечное множество. Интерполяционный многочлен Лагранжа с преобразованием y имеет следующий вид: (6) Методы расчета коэффициентов (оценок). Поскольку расчёт интерполяционного полинома (5) сводится к трудоемким вычислениям определителей с тем же результатом, использование МНК становится предпочтительным, а поскольку МНК использует матричные операции [13], для некоторых обобщений сделаем небольшое отступление в матричную алгебру. Для решения систем линейных алгебраических уравнений: Y = X·A, где известны методы: - по правилу Крамера [14]: (7) - с использованием обратной матрицы: (8) что дает равенство: . (9) Из правила умножения матриц [13, 14] следует: элементы столбцов (строк) второго (первого) сомножителя участвуют только в выражениях для вычисления элементов соответствующих столбцов (строк) матрицы-произведения. Из этого следует, что изменение элементов столбца (строки), дополнение, удаление, перемена мест столбцов (строк) второго (первого) сомножителя изменяют элементы столбца (строки), добавляют, удаляют, меняют местами соответствующие столбцы (строки) в результирующей матрице, не меняя значения элементов других столбцов (строк). Исходя из этого: 1. Равенство (9) справедливо и для умножения обратной матрицы на любую согласованную с произвольным количеством столбцов и к каждому может быть применено правило Крамера. Имеются матрицы: и . Требуется получить результирующую матрицу C = A-1·B. Элементом матрицы Сij будет отношение двух определителей: знаменатель - определитель исходной матрицы A, а числитель - определитель матрицы, полученной из A заменой i-го столбца j-м столбцом матрицы B: Следовательно, умножение обратной к А матрицы на матрицу B можно делать без обращения матрицы А по методу Крамера, распространенному, таким образом, на операции с матрицами. Использование в этой операции вместо матрицы B единичной матрицы E дает обратную к А матрицу. Получился более формализованный метод обращения матриц через матрицу алгебраических дополнений. Так, например, числитель элемента обратной матрицы есть элемент транспонированной матрицы алгебраических дополнений, вычисляемых не через минор с соответствующим знаком и последующим транспонированием, а как определитель матрицы, полученной заменой 2-го столбца матрицы A 3-м столбцом единичной матрицы. 2. Матрица Y, а, соответственно, и X¢Y могут иметь несколько столбцов. В этом случае одним матричным выражением A=(X¢X)-1·X¢Y может быть получено несколько регрессионных зависимостей или интерполяционных полиномов для одной матрицы X. Таким образом, матрицу оценок МНК можно получить и без обращения матрицы X¢X и сразу, к примеру, для двух зависимых переменных: (10) где aij - элементы матрицы коэффициентов двух регрессий; x¢xij - элементы матрицы X¢X; x¢yij - элементы матрицы X¢Y. В знаменателе элементов матрицы-столбца оценок - определитель матрицы X¢X, а в числителе - определитель матрицы, полученной заменой в матрице X’X соответствующего столбца на соответствующий столбец двухстолбцевой матрицы X’Y. Расчет аппроксимируемой МНК величины при получении коэффициентов по (10) для заданного вектора выглядит следующим образом: Поскольку метод Лагранжа и МНК - разные формы одного и того же, то и расчет аппроксимируемой величины по модели МНК можно записать и в форме Лагранжа, без расчета оценок, через операции с определителями: Поскольку вычисление определителей - это трудоемкий процесс, использование последнего маловероятно. Примечание: отсутствие свободного члена объясняется использованием стандартизированных (центрированных и нормированных) переменных. Пример применения. На промышленной установке изомеризации пентан-гексановой фракции имеется процесс деизопентанизации - отгон изопентана из сырья путем ректификации. Стоит задача управления температурой верха колонны деизопентанизации с целью поддержания оптимального содержания нормального пентана в отделяемом изопентане [15-18]. Избыточное содержание нормального пентана снижает ресурс высокооктановых компонентов завода, а низкое содержание требует избыточного расхода тепловой энергии. Приведены результаты определения зависимостей доли нормального пентана в отделяемом изопентане от температуры и давления верха колонны деизопентанизации интерполяцией МНК. В табл. 1 приведены исходные данные для моделирования, где н_С5 - нормальный пентан, i_С5 - изопентан. Таблица 1 Исходные данные для моделирования № п/п Температура верха, T, °С Избыточное давление, PИЗБ, кгс/см2 Температура верха, T, K Абсолютное давление, Рабс, кПа Доля Н_С5 Доля I_С5 1 70,00 2,242 343,15 325,009 0,40088 0,59912 2 70,00 2,278 343,15 328,629 0,35289 0,64711 3 65,00 1,866 338,15 287,518 0,35096 0,64904 4 63,12 1,700 336,27 270,947 0,38374 0,61626 5 57,47 1,300 330,62 231,049 0,38305 0,61695 6 56,60 1,300 329,75 231,057 0,28552 0,71448 7 50,00 0,908 323,15 191,971 0,25292 0,74708 8 62,36 1,700 335,51 270,941 0,29672 0,70328 9 66,21 2,000 339,36 300,902 0,29844 0,70156 10 69,79 2,300 342,94 330,848 0,30056 0,69944 11 75,00 2,894 348,15 390,107 0,17123 0,82877 12 75,00 2,893 348,15 390,024 0,17224 0,82776 13 44,97 0,677 318,12 168,845 0,16404 0,83596 14 49,97 0,953 323,12 196,424 0,16545 0,83455 15 49,84 0,806 322,99 181,726 0,44161 0,55839 16 53,68 1,027 326,83 203,810 0,44355 0,55645 17 57,78 1,285 330,93 229,575 0,44544 0,55456 18 62,28 1,596 335,43 260,636 0,44757 0,55243 19 69,63 2,173 342,78 318,168 0,45101 0,54899 20 67,73 1,739 340,88 274,875 0,88017 0,11983 21 63,06 1,402 336,21 241,245 0,87994 0,12006 22 67,37 1,711 340,52 272,075 0,88094 0,11906 23 76,83 2,494 349,98 350,199 0,88295 0,11705 24 66,94 1,678 340,09 268,792 0,88201 0,11799 25 73,95 2,239 347,10 324,717 0,88388 0,11612 26 70,94 1,988 344,09 299,718 0,88313 0,11687 27 41,20 0,525 314,35 153,762 0,08090 0,91910 С учетом [19, 20] была построена модель вида: где y1, y2 - доля нормального пентана и изопентана соответственно в изопентановой фракции; Значения функций f1(T,P), f2(T,P), f3(T,P), f4(T,P), f5(T,P), используемые для интерполяции методом МНК зависимости доли нормального пентана и изопентана в изопентановой фракции от технологических параметров (давления и температуры), приведены в табл. 2. Таблица 2 Исходные данные для интерполяции МНК № п/п Доля н_С5 Доля i_С5 f1(T,P) f2(T,P) f3(T,P) f4(T,P) f5(T,P) 1 0,35289 0,64711 -25,70 -25,89 -0,012924 -4,435 -522230,3 2 0,25292 0,74708 -21,17 -23,27 -0,012461 -4,027 -420489,9 3 0,17123 0,82877 -27,06 -26,55 -0,013029 -4,536 -549789,6 4 0,88017 0,11983 -24,65 -25,60 -0,012876 -4,389 -510031,8 5 0,08090 0,91910 -19,35 -22,10 -0,012227 -3,844 -379819,0 Полученные в результате коэффициенты модели построенной интерполяцией МНК приведены в табл. 3. Таблица 3 Коэффициенты модели Интерполяция МНК AI BI 1,02068772 -1,02068772 13,94068214 -16,62975614 5864,418647 -6655,415647 -101,4246726 118,8352526 -2,58824E-05 2,90103E-05 Значения долей нормального пентана и изопентана, рассчитанные по полученной модели, и исходные значения, а также абсолютная ошибка приведены в табл. 4. Таблица 4 Тестирование полученных моделей № п/п Исходные данные Интерполяция МНК Δ Доля н_С5 Доля i_С5 Доля н_С5 Доля i_С5 Доля н_С5 Доля i_С5 1 0,40088 0,59912 0,4032 0,5968 -0,00230 0,00230 2 0,35289 0,64711 0,3529 0,6471 0,00000 0,00000 3 0,35096 0,64904 0,3455 0,6545 0,00542 -0,00542 4 0,38374 0,61626 0,3797 0,6203 0,00403 -0,00403 5 0,38305 0,61695 0,3821 0,6179 0,00097 -0,00097 6 0,28552 0,71448 0,2777 0,7223 0,00787 -0,00787 7 0,25292 0,74708 0,2529 0,7471 0,00000 0,00000 8 0,29672 0,70328 0,2867 0,7133 0,01004 -0,01004 9 0,29844 0,70156 0,2903 0,7097 0,00810 -0,00810 10 0,30056 0,69944 0,2972 0,7028 0,00339 -0,00339 11 0,17123 0,82877 0,1712 0,8288 0,00000 0,00000 12 0,17224 0,82776 0,1723 0,8277 -0,00009 0,00009 13 0,16404 0,83596 0,1657 0,8343 -0,00162 0,00162 14 0,16545 0,83455 0,1546 0,8454 0,01086 -0,01086 15 0,44161 0,55839 0,4591 0,5409 -0,01753 0,01753 16 0,44355 0,55645 0,4523 0,5477 -0,00880 0,00880 17 0,44544 0,55456 0,4480 0,5520 -0,00253 0,00253 18 0,44757 0,55243 0,4470 0,5530 0,00052 -0,00052 19 0,45101 0,54899 0,4547 0,5453 -0,00374 0,00374 20 0,88017 0,11983 0,8802 0,1198 0,00000 0,00000 21 0,87994 0,12006 0,8804 0,1196 -0,00050 0,00050 22 0,88094 0,11906 0,8808 0,1192 0,00017 -0,00017 23 0,88295 0,11705 0,8962 0,1038 -0,01323 0,01323 24 0,88201 0,11799 0,8817 0,1183 0,00034 -0,00034 25 0,88388 0,11612 0,8907 0,1093 -0,00681 0,00681 26 0,88313 0,11687 0,8855 0,1145 -0,00234 0,00234 27 0,08090 0,91910 0,0809 0,9191 0,00000 0,00000 В табл. 4 курсивом выделены точки, по которым строилась модель интерполяцией МНК, интерполируемые значения для этих точек совпадают с исходными данными. Модель, построенная путем интерполяции МНК, выдает значение доли нормального пентана и изопентана в изопентановой фракции от технологических параметров (давления и температуры) с СКО 0.00705 от тестовой выборки. Результаты и выводы. Показано, что интерполяция полиномом Лагранжа есть частный случай аппроксимации методом наименьших квадратов - только одной переменной, только степенным полиномом, только для количества точек, равных количеству коэффициентов, и без использования преобразования интерполируемой переменной. Предложен метод решения некоторых задач, требующих обращения матрицы, минуя использование этой операции, в том числе расчет оценок методом наименьших квадратов, а также логически более формализованный метод обращения матрицы. Отмечено, что одним матричным выражением МНК A = (X’X)-1·(X’Y) можно получить несколько регрессионных зависимостей или интерполяционных полиномов, когда матрица Y имеет несколько столбцов. Также отмечено, что в интерполятор Лагранжа может быть введено преобразование для интерполируемой переменной. Показано, что расчет аппроксимируемой величины методом наименьших квадратов может быть представлен в виде, подобном интерполяционному полиному. Предложенный метод интерполяции универсален по количеству переменных, по составу и виду членов полинома, но он не является, на наш взгляд, лучшим решением для этой задачи, так как рассчитывает интерполируемую величину через громоздкие расчеты определителей, а для получения многочлена в явном виде требуются дополнительные операции приведения к полиномиальному виду. Интерполяция же методом наименьших квадратов либо простым решением систем линейных уравнений при количестве точек, равному количеству коэффициентов, по результату идентична, также универсальна и сразу дает коэффициенты многочлена, соответственно, является предпочтительной. Представлен пример применения интерполяции МНК для нахождения функциональных зависимостей долей нормального пентана и изопентана в изопентановой фракции от технологических параметров (давления и температуры) промышленной установки изомеризации пентан-гексановой фракции. Высокая точность предсказания модели, построенной методом интерполяции по 5 точкам, объясняется использованием предложенного метода для адаптации теоретически обоснованной модели технологического процесса [19, 20].

About the authors

D. A Mustafina

OOO «Promyshlennaia kibernetika»

A. E Burakova

OOO «Infrastruktura TK»

A. I Mustafin

OOO «Infrastruktura TK»

A. S Aleksandrova

Perm National Research Polytechnic University

References

Statistics

Views

Abstract - 23

PDF (Russian) - 11

Refbacks

• There are currently no refbacks.