Full Text

Обеспечение требуемой надежности устройства связано со всеми этапами его жизни: проектированием, созданием и практическим использованием. На этапе проектирования обеспечение требуемой надежности достигается методами, не требующими резервирования [1]. В тех случаях, когда такие способы повышения надежности устройства исчерпаны, но не обеспечивают получения заданных параметров, например заданного времени наработки на отказ, с целью дальнейшего повышения надежности прибегают к резервированию. Актуальной проблемой при проектировании оптимальных систем управления и структурных схем надежности (ССН) является обеспечение высокой надежности при ограниченных ресурсах. Поэтому актуальной научной проблемой является разработка новых эффективных математических методов и алгоритмов построения оптимальной системы по критерию надежности, когда заданная надежность достигается при минимально возможном количестве или минимальной стоимости резервного оборудования, или при заданном объеме или стоимости резервного оборудования достигается максимально возможная надежность. Государственный стандарт [2] устанавливает общие правила расчета надежности технических объектов, требования к методикам и порядок представления результатов расчета надежности, но не определяет методы проектирования ССН-системы. Задачу проектирования оптимальной ССН-системы возможно решить методом Беллмана (динамическое программирование) [3, 4], методом наискорейшего спуска [5, 6, 7] и методом с применением генетического алгоритма [8]. Часто такие решения имеют близкие к оптимальным параметры в связи с особенностями их применения. Целями данной статьи являются доказательство преимущества новой методики применения наискорейшего спуска с модифицированным градиентом и определение путей дальнейшей оптимизации ССН-системы (проверка на наличие более оптимальной системы). Определение градиента для реализации наискорейшего спуска Упрощённая методика синтеза ССН-системы на основе процедуры наискорейшего спуска описана в [6, 7]. В методике использовался градиент для (1) где j – номер итерации, начинающийся с 0, это ССН, полученная на первом этапе; Pi – вероятность безотказной работы (ВБР) подсистемы; Wi – стоимость подсистемы. Градиент (1) не учитывает применения мажоритарного резервирования, и в методике не рассмотрены методы по дальнейшей оптимизации полученных результатов. В подразделе 8.8.4 [4] и источнике [9] для вычисления градиента, если переменные имеют разные единицы измерения, предлагается перейти к относительным переменным yi, используя минимально и максимально возможные значения переменных xi: (2) На этой основе предлагаются модифицированный градиент, позволяющий получить ССН-системы с близкими к оптимальным параметрами, и методика дальнейшей оптимизации ССН-системы: для (3) Методика синтеза ССН системы с применением модифицированного градиента и этапы ее оптимизации Пусть система включает в свой состав n подсистем. Известны значения ВБР Pi и стоимости Wi (где i = 1,…, n) каждой из подсистем. Модель задачи будет иметь вид (4) где Pc(t) – вероятность безотказной работы искомой (полученной) системы; – вероятность безотказной работы j-го блока с mj дублирующими элементами. (5) где Wc – стоимость искомой (полученной) системы. Две постановки задачи оптимизации ССН системы выглядят следующим образом: 1) построить систему с резервированием элементов по критерию Wc → min при (6) где – заданная ВБР системы. 2) построить систему с резервированием элементов по критерию → max при (7) где Wcz – заданная стоимость системы. На первом этапе оптимизации по первому критерию добиваются выполнения условия то есть ВБР каждой из подсистем должна быть не хуже заданной. На втором этапе итеративно увеличивают резервы по наибольшему приращению ВБР на единицу . Если условие не выполняется, повторяют 2-й этап. Далее находим стоимость реализации системы при достигаемой . При применении методики с модифицированным градиентом (3) для расчета систем с ограничением по стоимости и МР первого элемента, ССН оптимальны в 44 % случаев (с градиентом (1) 36 %). Методы дальнейшей оптимизации, описанные ниже, приводят к 95%-ному совпадению ССН с оптимальной. При применении мажоритарного резервирования (МР) первого элемента при некоторых исходных данных решение приводит к резервированию 3 из 5, хотя резервирования 2 из 3 уже было достаточно [10]. В таких случаях предлагается повторить расчеты с шага, где МР 2 из 3 уже применено, игнорируя Данная методика также была адаптирована для синтеза ССН с ограничением стоимости, и результаты эксперимента в большинстве случаев оптимальны или близки к ним (отклонения стоимости не более 8 %). Дополним метод этапами, повышающими качество ССН системы. На третьем этапе, если результат близок к оптимальному, а для одного или нескольких блоков выполняется условие , (8) тогда из них выбирается блок с минимальной достигнутой вероятностью для дальнейшего резервирования. Не более чем в 5 % случаев метод приводит к экстремально близкому решению (ССН), а условие не выполняется. Данные решения встречаются при применении МР первого элемента. Попытка исключить такие «неоптимальные» решения осуществляется на четвертом этапе. На нем предлагается произвести повторный расчет, используя модифицированный градиент (3), приведенный к виду (9) т.е. как и для блоков с резервированием замещением. После этого при условии (8) выполняем третий этап. Третий и четвертый этапы в 95 % случаев приводят к оптимальной ССН, совпадающей с решением, найденным методом перебора, а оставшиеся 5 % полученных ССН экстремально близки к оптимальным. Использование предложенной методики позволит сократить вычислительную сложность синтеза ССН до нескольких итераций и получить систему с оптимальными значениями искомых параметров. Пример применения методики Решим задачу для критерия Рс(t) с целью определении оптимальной стратегии дублирования в указанных пределах. Пусть система автоматизации включает в свой состав пять подсистем при известных значения ВБР Pi и стоимости Wi , где каждого из устройств. При синтезе оптимальной ССН допускается: мажоритарное резервирование подсистемы 1 на начальном шаге оптимизации и резервирование замещением с нагруженным режимом работы элементов на других шагах. В случае необходимости возможна замена мажоритарного резервирования на резервирование замещением с нагруженным режимом работы элементов уже на начальном шаге либо использование МР 3 из 5; резервирование замещением с нагруженным режимом работы элементов для подсистем 2,3,4; резервирование замещением с нагруженным либо ненагруженным режимом работы резервных элементов для подсистемы 5. Ненадежностью и стоимостью мажоритарных элементов и переключающих устройств можно пренебречь. Заданные значения ВБР подсистем: P1 = 0,9; P2 = 0,75; P3 = 0,82; P4 = 0,8; P5 = 0,9; их стоимости W1 = 16; W2 = 11; W3 = 13; W4 = 12; W5 = 15 соответственно. Заданное значение ВБР системы = 0,94; заданное (допустимое) значение стоимости системы Wcz = 120. Решение Найдем Wc → min при . Для начала проверим выполнение такого условия для каждого i от 1 до 5. Видно, что ни для одного из участков системы это условие не выполняется, поэтому необходимо введение резервных элементов. На первом этапе оптимизации получим следующую ССН – 3,3,2,2,2 (опорная схема), где Найдем ВБР системы и ее стоимость на 0-шаге. Теперь, когда каждая подсистема обладает ВБР большей либо равной заданной, перейдем ко второму этапу – начнём увеличивать ВБР всей системы. Попробуем увеличить ВБР для 1 подсистемы. Поскольку разрешено использовать неадаптивное мажоритарное резервирование то теперь придётся вводить 5 каналов и осуществлять выбор 3 из 5: На остальных участках – резервирование замещением с нагруженным режимом работы резервных подсистем, т.е. – работает хотя бы один канал из имеющихся. Получим: Используя модифицированный градиент (2) определим значит, очередной элемент надо добавить на 4-м участке. Следовательно, ССН для шага j = 1 будет иметь вид 3,3,2,3,2. Таким образом, увеличиваем резерв только на четвертом участке, остальные без изменений. Шаг за шагом, резервируя элементы, указанные модифицированным градиентом (3), получим ССН 3,4,3,3,4, для которой Стоимость реализации системы на третьем шаге оптимизации: Таким образом, минимальная стоимость реализации системы при достигаемой Pc(t) = 0,945 больше заданной 0,94. Решение этой задачи с применением градиента (1) привело к ССН 5,3,3,3,2 с Pc(t) = 0,953 при Результаты анализа частоты и величины подобных отклонений были приведены выше. Далее приводятся результаты экспериментального решения поставленной задачи методом наискорейшего спуска с градиентами (1), (3) и методом Беллмана. Результаты эксперимента по применению процедуры наискорейшего спуска Алгоритмы, реализующие методы перебора и наискорейшего спуска, были реализованы в программном продукте. Было проведено исследование на применение модифицированного градиента для синтеза ССН различной размерности. Большая часть ССН совпала с найденными методом перебора – 95 % случаев. Результаты с отклонениями при применении методики без МР представлены в табл. 1. Результаты расчета при применении методики с МР первого блока представлены в табл. 2. Результаты с отклонениями от найденных методом перебора выделены курсивом. Строки с решениями представлены в порядке, указанном в заголовке табл. 1 и 2. При попытке применить МР первой подсистемы с ограничением по стоимости процедура не может построить систему из-за нехватки ресурсов. В этом случае осуществляем построение системы, не используя МР. Таблица 1 Результаты применения методики без МР Заданная ВБР и стоимость системыПеребор Наискорейший спуск с градиентом (3) Наискорейший спуск с градиентом (1) Wc → min при Pc(t) ≥ Pcz(t)Pc(t) → max при Wc ≤ Wcz ССНPc(t)WcССНPc(t)Wc 10,93 100223220,9323120222120,784696 223220,9323120222120,784696 223220,9323120222110,726487 20,92 100322240,9252136222120,766196 332220,9394139222120,766196 332230,9394139222120,766196 30,94 115323320,9514170312210,7406114 323320,9514170312210,7406114 323320,9514170212210,7053103 40,92 110432220,9267103332230,9442105 332230,9442105332230,9442105 332230,9442105332230,9442105 50,93 60323240,939382222140,791560 323240,939382222140,791560 323240,939382222130,776457 Таблица 2 Результаты применения методики с МР первого блока Заданная ВБР и стоимость системыПеребор Наискорейший спуск с градиентом (3) Наискорейший спуск с градиентом (1) Wc → min при Pc(t) ≥ Pcz(t)Pc(t) → max при Wc ≤ Wcz ССНPc(t)WcССНPc(t)Wc 10,93 100333220,9333142222120,784696 333220,9333142222120,784696 333220,9333142222110,726487 20,94 120333230,9458129233230,9633119 333230,9458129233230,9633119 533220,9462139233230,9633119 30,93 105533440,9321149322330,8444101 533440,9321149322330,8444101 533440,9321149322320,812294 40,92 110553340,9202160532220,8597109 544340,9217162532220,8597109 544340,9217162532220,8597109 50,93 60534240,9322106222140,791560 534240,9322106222140,791560 534240,9322106222130,776457 Анализ результатов позволяет судить о достаточной точности метода наискорейшего спуска с применением модифицированного градиента. Даже если обратить внимание на отклонения в задачах 2 и 7 (см. табл. 2), то мы увидим прирост ВБР за минимальную стоимость. Проведен анализ эффективности различных методов оптимизации при синтезе структурной схемы надежности системы. При применении МР качество ССН системы выше при применении градиента (3). А выполнение 3-го и 4-го этапов оптимизации в 95 % приводит показатели ССН системы к оптимальным параметрам. В процедуре наискорейшего спуска для задач без МР, использование градиентов (1), (3), (9) приводит к одинаковым результатам.

About the authors

Aydar Ruslanovich Yamatov

Email: yamatov@mail.ru

References

Statistics

Views

Abstract - 15

PDF (Russian) - 10

Refbacks

• There are currently no refbacks.