Full Text

Трехволновое взаимодействие - один из процессов, возникающих в нелинейных средах. Понятие о таких процессах впервые возникло в радиотехнике; суть их заключается в том, что при достаточно сильном периодическом изменении энергоемких параметров (например, индуктивности, емкости) можно добиться возбуждения или усиления слабых электрических колебаний и создать параметрические усилители и параметрические генераторы [1]. При переходе к распределенным системам параметрические процессы приобретают волновой характер и вместе с ним ряд особенностей, однако их физическая трактовка остается прежней. Для того чтобы параметрическое взаимодействие имело место, необходимо присутствие по крайней мере двух неравноправных волн: мощной волны накачки и слабой сигнальной волны. При выполнении условий фазового синхронизма энергия может эффективно перекачиваться в слабую волну [2-5]. Явления такого рода имеют место и в механике деформируемого твердого тела, в частности, при взаимодействии акустических волн в слабой нелинейной среде. В качестве примера трехволновых процессов можно привести распад волны на две или слияние двух волн в одну. Частными случаями этих процессов являются генерация второй гармоники, второй субгармоники (деление частоты пополам) и параметрическое усиление (ω1 = ω2 = ω3/2). Задачи, включающие в себя рассмотрение таких параметрических эффектов, относятся в основном к области нелинейной оптики и радиотехники. В области акустики и механики такие процессы рассматриваются, например, при решении задач механики разрушения упругих сред [6], нелинейных взаимодействиях в кристаллах [7, 8], взаимодействиях возмущений границы раздела сред [9]. При рассмотрении параметрических явлений применяется исключительно спектральный подход, который очень удобен в радиотехнике и нелинейной оптике, где наличие сильной дисперсии позволяет реализовать взаимодействие только между несколькими волнами; в акустике спектральные методы используются гораздо реже. В системах со слабой нелинейностью взаимодействие волн приводит к их существенному искажению лишь в случае, когда взаимные возмущения могут накапливаться на достаточно большом пространственно-временном интервале, т.е. взаимодействие оказывается резонансным. Условие резонансности взаимодействия сводится к условию эффективного возбуждения одной из волн другими. Для квазигармонических волн это условие можно записать в виде [3] где частоты и волновые векторы взаимодействующих волн должны удовлетворять дисперсионному уравнению линейной задачи; - целые числа; << , << - малые расстройки; J - число взаимодействующих волн. В системах с квадратичной нелинейностью при коллинеарном распространении двух плоских волн с частотами ω1 и ω2 возникает третья волна на комбинационной частоте. Эти волны образуют резонансную тройку, если их частоты и волновые числа удовлетворяют условиям и дисперсионным уравнениям линейной задачи. Ранее трехволновые взаимодействия продольных и изгибных волн в прямолинейном стержне и кольце рассматривались в монографиях [10, 11], продольных и сдвиговых волн в упругой среде с моментными напряжениями - в [12], взаимодействие ротационных и продольных волн в среде Коссера - в [13]. Фазово-групповой синхронизм низкочастотных и высокочастотных волн в упругих средах с полостями рассматривался в статье [14]. Покажем, что такой подход применим и к среде с малыми упругопластическими деформациями при пренебрежении диссипацией. Рассмотрение такой задачи позволит оценить расстояние, на котором происходит эффективный обмен энергией, а также установить характер влияния параметров среды и граничных условий на процесс взаимодействия волн. Рассмотрим распространение и взаимодействие продольных и поперечных волн в среде, описанной в статье [15]. Механическое поведение среды описывается произвольными перекрестными зависимостями между первыми инвариантами тензоров σ и ε и вторыми инвариантами девиаторов Т и Г напряжений и деформаций: (1) Здесь K(ε, Г) - модуль объемного расширения (сжатия); G(ε, Г) - модуль сдвига. В случае плоской деформации имеем (2) Физические уравнения имеют вид (3) Подставляя соотношения (3) в динамические уравнения равновесия и учитывая зависимости (1) и (2), получим два уравнения, описывающие процесс распространения продольно-поперечных волн деформаций: (4) Здесь Уравнения совместности Выберем деформационные зависимости в виде (5) В этом случае механическое поведение сплошной среды описывается квадратичным законом в отношении сдвиговых деформаций. Данная модель соответствует теории малых упругопластических деформаций. В формулах (4), (5) имеем: K0 - начальный модуль объемного расширения (сжатия); G0 - начальный модуль сдвига при чистом сдвиге; Гs - предельная интенсивность деформаций сдвига, причем 0 ≤ Г/Гs ≤ 1. С учетом (1) При этом система (4) примет вид (6) 1. Рассмотрим случай, когда поперечная деформация мала по сравнению с продольной, т.е. . Тогда Система уравнений (6) примет следующий вид: (7) Рассмотрим трехволновое взаимодействие. Пусть высокочастотной является продольная волна. Будем искать решения системы (7) в виде бегущих гармонических волн с медленно меняющимися амплитудами: (8) Здесь Ω, ω1, ω2 - частоты продольной и поперечных волн; , k1, k2 - волновые числа продольной и поперечных волн; ε - малый параметр; - комплексно сопряженное к А. Частоты и волновые числа связаны условиями синхронизма и удовлетворяют дисперсионным соотношениям Подставляя выражения (8) в (7) и опуская члены выше первого порядка по ε, окончательно будем иметь следующую систему уравнений: (9) Здесь Vф = , Vф1 = , Vф2 = - фазовые скорости волн для линейной задачи. Система (9) обладает интегралом движения, имеющим смысл закона сохранения энергии, который записывается в виде уравнения переноса где - плотности энергий сдвиговых и продольной волны соответственно; - плотность потоков энергий сдвиговых и продольной волны соответственно. Кроме того, для системы выполняются частотно-энергетические соотношения являющиеся континуальным аналогом соотношений Мэнли-Роу, известных в теории нелинейных колебаний [1]. В стационарном случае из соотношений следует Эти соотношения показывают, что в среде наблюдается эффект распадной неустойчивости, когда продольная волна высокой частоты Ω распадается на две сдвиговые волны более низких частот и . В стационарном случае при граничных условиях где - действительные амплитуды сдвиговых и продольной волн . Решение этой системы выражается через эллиптические функции Якоби и имеет вид где K(s) - полный эллиптический интеграл первого рода; - модуль эллиптической функции. Процесс взаимодействия проявляется в виде пространственных биений, графики огибающих представлены на рис. 1. а б в Рис. 1. Процесс трехволнового взаимодействия при выполнении условий распадной неустойчивости. Зависимости амплитуд от расстояния: а - входная продольная волна; б - первая сдвиговая волна; в - вторая сдвиговая волна Графики строились для следующих значений параметров: Длина волны огибающей, т.е. расстояние, на котором происходит эффективный обмен энергией между взаимодействующими волнами, описывается соотношением Характер изменения амплитуды и отношения амплитуд с ростом отношения начальных амплитуд приближается к линейному. Зависимость амплитуд b1 и b2 от начальной амплитуды продольной волны a0 носит линейный характер. С ростом отношения волновых чисел амплитуда b1 стремится к величине , а амплитуда b2 ~ . С ростом отношения частот амплитуда b1 стремится к величине , а амплитуда b2 ~ Длина волны огибающей обратно пропорциональна отношению начальных амплитуд, а также прямо пропорциональна плотности и предельной интенсивности деформаций и обратно пропорциональна сдвиговому модулю. 2. Теперь рассмотрим случай, когда продольная деформация мала по сравнению с поперечной, т.е. . Тогда Система уравнений (6) примет вид: (10) При рассмотрении трехволнового взаимодействия примем, что высокочастотной является поперечная волна. Как и в первом случае, будем искать решения системы (10) в виде бегущих гармонических волн с медленно меняющимися амплитудами: Здесь Ω, ω1, ω2 - частоты поперечной и продольных волн, ,k1,k2 - волновые числа поперечной и продольных волн; ε - малый параметр. Частоты и волновые числа связаны условиями синхронизма: и удовлетворяют дисперсионным соотношениям Как и в первом случае, подставляя выражения для u и v в (10) и опуская члены выше первого порядка по ε, получим следующую систему уравнений: (11) Здесь Как и ранее, Vф = , Vф1 = Vф2 = Как видно, система (11) качественно совпадает с системой, полученной при рассмотрении первого случая, следовательно, при аналогичных граничных условиях поведение амплитуд волны накачки и холостой и сигнальной волны будет совпадать с полученным ранее. Таким образом, установлен характер протекания трехволнового взаимодействия для среды с малыми упруго-пластическими деформациями в стационарном случае при отсутствии диссипации.

About the authors

A M Doronin

Mechanical Engineering Research Institutes

V I Erofeev

Mechanical Engineering Research Institutes

References

Statistics

Views

Abstract - 132

PDF (Russian) - 42