The numerical algorithm for solving nonlinear boundary problem of thin rod's dynamic deformations

Abstract


At this paper the algorithm of the subprogram for solving a two-point boundary value problem for system of the nonlinear differential equations of the first order is presented. The new algorithm of the subprogram named KLPALG united in itself the main ideas of the subprograms BVPFD (DD14AD, PASVA3) and PASSIN realizing the technique of continuation of solution by parameter. Besides, the generalized results of works of authors in a problem of nonlinear dynamic deformation of a thin spatial curvilinear rod calculated by its differential model are presented. The unknown functions in the equations of motion are calculated at discrete mesh points. The methods of direct integration allow us to express time derivatives by the current coordinates and coordinates and velocities calculated in the previous time steps. The first derivative of coordinate is replaced by finite difference; boundary conditions are added. The obtained system of nonlinear algebraic equations is solved by Newton method with the step length control of the convergence conditions. The Jacobi matrix of this system is of the block-tridiagonal structure which lends itself to efficient LU-decomposition. This decoupling of the Jacobi matrix allows you to quickly solve the corresponding system of linear algebraic equations of the big sizes. If the condition of convergence of Newton's method gives too small step, then used the technique of continuation of the solution on the parameter a (pseudo arc-length). As soon as the system of nonlinear equations is solved, to refine the nodal values of the calculated functions we use the deferred correction method. This method subtracts from the received solution the mistakes made by the approximation derived by the method of finite differences in the initial phase of the numerical solution. Thus obtained numerical solution is of accuracy appointed by user. This method is implemented in KLPALG subroutine which algorithm is presented in this paper.

About the authors

N V Pustovoy

Novosibirsk State Technical University

Email: rector@nstu.ru
20, K. Marks av., 630073, Novosibirsk, Russian Federation

V E Levin

Novosibirsk State Technical University

Email: levin@craft.nstu.ru
20, K. Marks av., 630073, Novosibirsk, Russian Federation

D A Krasnorutskiy

Novosibirsk State Technical University

Email: krasnorutskiy@corp.nstu.ru
20, K. Marks av., 630073, Novosibirsk, Russian Federation

References

  1. Светлицкий В.А. Механика стержней: учебник для втузов: в 2 ч. Ч. 1. Статика. - М.: Высш. шк., 1987. - 320 с.
  2. Жилин П.А. Прикладная механика. Теория тонких упругих стержней: учеб. пособие. - СПб.: Изд-во Политехн. ун-та, 2007. - 101 с.
  3. Светлицкий В.А. Строительная механика машин. Механика стержней: в 2 т. Т. 2. Динамика. - М.: Физматлит, 2009. - 383 с.
  4. Kirchhoff G.R. Ueber das Gleichgewicht und die Bewegung einer elastischen Staben // Crelle Journal fuer die reine und angewandte Mathematik. - 1858. - Bd. 56. - S. 285-313.
  5. Кирхгоф Г. Механика. - М.: Изд-во АН СССР, 1962. - 402 с.
  6. Ляв А. Математическая теория упругости.- М.; Л.: Объединение научно-технических издательств, 1935. - 674 с.
  7. Пустовой Н.В., Левин В.Е., Красноруцкий Д.А. Применение геометрически нелинейных уравнений стержня к расчету статики и динамики тросов. Ч. 1 // Научный вестник Новосиб. гос. техн. ун-та, 2012. - № 1 (46). - С. 83-92.
  8. Пустовой Н.В., Левин В.Е., Красноруцкий Д.А. Методика вычисления параметров больших поворотов поперечных сечений гибкого стержня при расчетах в рамках его дифференциальной модели. Ч. 1 // Научный вестник Новосиб. гос. техн. ун-та. - 2013. - № 2 (51). - С. 155-164.
  9. Красноруцкий Д.А., Левин В.Е., Пустовой Н.В. Нелинейная динамика тонких упругих стержней // Нелинейные колебания механических систем: труды IX Всерос. науч. конф. (Нижний Новгород, 24-29 сентября 2012 г.) / под ред. Д.В. Баландина, В.И. Ерофеева, И.С. Павлова. - Н. Новгород: Наш дом, 2012. - С. 557-565.
  10. Пустовой Н.В., Левин В.Е., Красноруцкий Д.А. Методика вычисления параметров больших поворотов поперечных сечений гибкого стержня при расчетах в рамках его дифференциальной модели. Ч. 2 // Научный вестник Новосиб. гос. техн. ун-та. - 2013. - № 3(52). - С. 146-159.
  11. Светлицкий В.А. Механика стержней: учебник для втузов: в 2 ч. Ч. 1. Статика. - М.: Высш. шк., 1987. - 320 с.
  12. Жилин П.А. Прикладная механика. Теория тонких упругих стержней: учеб. пособие. - СПб.: Изд-во Политехн. ун-та, 2007. - 101 с.
  13. Светлицкий В.А. Строительная механика машин. Механика стержней: в 2 т. Т. 2. Динамика. - М.: Физматлит, 2009. - 383 с.
  14. Kirchhoff G.R. Ueber das Gleichgewicht und die Bewegung einer elastischen Staben // Crelle Journal fuer die reine und angewandte Mathematik. - 1858. - Bd. 56. - S. 285-313.
  15. Кирхгоф Г. Механика. - М.: Изд-во АН СССР, 1962. - 402 с.
  16. Ляв А. Математическая теория упругости.- М.; Л.: Объединение научно-технических издательств, 1935. - 674 с.
  17. Пустовой Н.В., Левин В.Е., Красноруцкий Д.А. Применение геометрически нелинейных уравнений стержня к расчету статики и динамики тросов. Ч. 1 // Научный вестник Новосиб. гос. техн. ун-та, 2012. - № 1 (46). - С. 83-92.
  18. Пустовой Н.В., Левин В.Е., Красноруцкий Д.А. Методика вычисления параметров больших поворотов поперечных сечений гибкого стержня при расчетах в рамках его дифференциальной модели. Ч. 1 // Научный вестник Новосиб. гос. техн. ун-та. - 2013. - № 2 (51). - С. 155-164.
  19. Красноруцкий Д.А., Левин В.Е., Пустовой Н.В. Нелинейная динамика тонких упругих стержней // Нелинейные колебания механических систем: труды IX Всерос. науч. конф. (Нижний Новгород, 24-29 сентября 2012 г.) / под ред. Д.В. Баландина, В.И. Ерофеева, И.С. Павлова. - Н. Новгород: Наш дом, 2012. - С. 557-565.
  20. Пустовой Н.В., Левин В.Е., Красноруцкий Д.А. Методика вычисления параметров больших поворотов поперечных сечений гибкого стержня при расчетах в рамках его дифференциальной модели. Ч. 2 // Научный вестник Новосиб. гос. техн. ун-та. - 2013. - № 3(52). - С. 146-159.
  21. Сорокин Ф.Д. Прямое тензорное представление уравнений больших перемещений гибкого стержня с использованием вектора конечного поворота // Известия РАН. МТТ. - 1994. - № 1. - С. 164-168.
  22. Nonlinear dynamic deformation simulation for helical rod like objects / H. Du, W. Xiong, H. Wang, Z. Wang, B. Yuan // Engineering Review. - 2013. - Vol. 33. - Iss. 3. - P. 233-238.
  23. Bathe K.J. Finite Element Procedures. Englewood Cliffs. - NY: Prentice Hall, 1996. - 1037 p.
  24. Newmark N.M. A Method of Computation for Structural Dynamics // Journal of Engineering Mechanics Division, ASCE. - 1959. - Vol. 85. - No. EM3. - P. 67-94.
  25. Park К.С. An improved stiffly stable method for direct integration of nonlinear structural dynamic equations // Journal of Applied Mechanics, ASME. - 1975. - Vol.42. - Iss. 2. - P. 464-470.
  26. Shampine L.F., Muir P.H., Xu H. A User-Friendly Fortran BVP Solver // Journal of Numerical Analysis, Industrial and Applied Mathematics (JNAIAM). - 2006. - Vol. 1. - No. 2. - P. 201-217.
  27. IMSL: Fortran Numerical Library. User’s Guide. Math Library. Version. 7.0, available at: http://www.roguewave.com/documents.aspx?entryid= 519&comma nd=core_download. - Date 27.05.2014. - Title from screen.
  28. Pereyra V. Pasva3: An adaptive finite difference fortran program for first order nonlinear, ordinary boundary problems // Lecture Notes in Computer Science. - 1979. - Vol. 76. - P. 67-88.
  29. Rashidinia J. Finite difference methods for a class of two-point boundary value problems // IUST International Journal of Engineering Science. - 2008. - Vol. 19. - No. 5-2. - P. 67-72.
  30. Вайнберг A.M. Математическое моделирование процессов переноса. Решение нелинейных краевых задач. - М.; Иерусалим, 2009. - 209 с.
  31. Dinkar Sharma, Ram Jiwari, Sheo Kumar. Numerical Solution of Two Point Boundary Value Problems Using Galerkin-Finite Element Method // International Journal of Nonlinear Science. - 2012. - Vol. 13. - No. 2. - P. 204-210.
  32. Lentini M. Boundary Value Problems over Semi-Infinite Intervals: Ph.D. Thesis / Cal. Inst, of Technology. - 1978. - 123 p.
  33. Keller H.B. Constructive Methods for Bifurcation and Nonlinear Eigenvalue Problems // Lecture Notes in Mathematics, 704. - Springer-Verlag Berlin Heidelberg, New York, 1979. - P. 241-251.
  34. Pereyra V., Keller H.B. Finite Difference Solution of Two-Point Boundary Value Problems: Preprint 69 / Dept. Math., Univ. - Southern California. - Los Angeles, 1976. - 130 p.
  35. Pereyra V. High Order Finite Difference Solution of Differential Equations. - Stanford Univ. Comp. Sci. Report STAN-CS-73-348, 1973. - 86 p.
  36. Lentini M., Pereyra V. An adaptive finite difference solver for nonlinear two point boundary problems with mild boundary layers // SIAM J. Numer. Anal. - 1977. - Vol. 14. - No. 1. - P. 91-111.
  37. Красноруцкий Д.А. Развитие модели тонкого упругого стержня для расчета изгибно-крутильных колебаний авиационных лопастей // Наука. Промышленность. Оборона: тр. 13 Всерос. науч.-техн. конф.; Новосиб. гос. техн. ун-т. - Новосибирск, 2012. - С. 328-332.
  38. Пустовой Н.В., Левин В.Е., Красноруцкий Д.А. Математическое моделирование контактного взаимодействия витков гибкого стержня при петлеобразовании // Прикладные задачи математики: материалы 21-й Междунар. науч.-техн. конф. (Севастополь, 16-20 сент. 2013 г.). - Севастополь: Изд-во Севастоп. нац. техн. ун-та, 2013. - С. 47-51.
  39. Аргирис Дж. Современные достижения в методах расчета конструкций с применением матриц. - М.: Изд-во лит. по строительству, 1968. - 242 с.
  40. Argyris J.H. An excursion into large rotations // Comp. Meth. Appl. Mech. Eng. - 1982. - Vol. 32. - No. 1. - P. 85-155.
  41. Björck A., Pereyra V. Solution of Vandermonde Systems of Equations // Mathematics of computation. - 1970. - Vol. 24. - No. 112. - P. 893-903.
  42. Пустовой Н.В., Левин В.Е., Красноруцкий Д.А. Применение геометрически нелинейных уравнений стержня к расчету статики и динамики тросов. Ч. 2 // Научный вестник Новосиб. гос. техн. ун-та. - 2012. - № 2. - С. 106-116.
  43. Ortega J.M. and Rheinboldt W.C. Iterative Solution of Nonlinear Equations in Several Variables. - New York: Academic Press, 1970. - 572 p.
  44. Deuflhard P. A Stepsize Control for Continuation Methods and its Special Application to Multiple Shooting Techniques // Mathematik. - 1979. - P. 115-146.

Statistics

Views

Abstract - 32

PDF (Russian) - 16

Cited-By


PlumX


Copyright (c) 2014 Pustovoy N.V., Levin V.E., Krasnorutskiy D.A.

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial 4.0 International License.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies