AVTOMODEL'NYE LOKALIZOVANNYE KONVEKTIVNYE STRUKTURY

Abstract


Рассмотрена задача о конвективном течении в слое вязкой жидкости, вызываемом ее локальным нагревом. Поиск решения задачи осуществлялся в рамках класса точных решений уравнений термогравитационной конвекции, обобщающего известный класс решений уравнений Навье-Стокса, к которому относятся вихри Бюргерса и Салливана. Для единичного числа Прандтля найдены два семейства автомодельных решений задачи, позволившие описать эволюцию двух различных типов радиально-локализованных вихрей. В обоих случаях радиальная компонента скорости на большом расстоянии от оси симметрии вихрей убывает обратно пропорционально радиусу, в то время как вертикальная составляющая скорости и температура в первом случае затухают как квадрат расстояния от оси, а во втором – экспоненциально. Для азимутальной скорости получено отдельное линейное уравнение с коэффициентами, зависящими от функции тока меридионального течения. В силу автомодельности это уравнение допускает частные решения с разделяющимися переменными, суперпозиция которых дает возможность описать перенос момента импульса (циркуляции, если она отлична от нуля) от бесконечности к центру вихря, а также проследить эволюцию произвольного локализованного начального возмущения азимутальной скорости. Под действием вихревой и тепловой диффузии рассмотренные вихревые образования затухают со временем. Полученные точные решения являются простыми, обозримыми моделями локализованных конвективных вихрей и ранее известны не были.

Full Text

Введение Движение тяжелой жидкости, возникающее в результате неоднородности распределения плотности, обусловленного неравномерным нагревом среды, называется термогравитационной конвекцией. Простейшим объектом при изучении конвекции является слой жидкости с твердыми или свободными горизонтальными границами. Необходимым условием равновесия такого слоя является вертикальность однородного градиента давления. Конвекция в слое не может возникнуть до тех пор, пока число Рэлея, характеризующее баланс между силами вязкого трения и плавучести (Архимеда), не достигнет критического значения. Например, для слоя с твердыми границами критическое значение числа Рэлея [1]. Положительность безразмерного комплекса Рэлея означает, что температура жидкости уменьшается с высотой (неустойчивая стратификация), в то время как при подогреве сверху (устойчивая стратификация) плоского горизонтального слоя с твердыми границами конвекция никогда не возникает. Возникнув, конвективное течение стремится перемешать жидкость так, чтобы выровнять температуру или перейти в новое равновесное состояние, при этом в качестве источника движения используется в том числе запас энергии, содержащийся в первоначальной равновесной стратификации. В связи с этим представляет интерес проблема использования энергетического потенциала термически стратифицированной среды для генерации и поддержания пространственно-локализованных вихревых структур, наблюдаемых в лабораторных [2] и естественных условиях (смерчи, «пыльные дьяволы» и пр.). Далее рассматриваются точные решения уравнений гидродинамики в приближении Обербека–Буссинеска, моделирующие такого рода структуры. 1. Постановка и общий анализ задачи Пусть в тяжелой жидкости, находящейся над непроницаемой плоскостью , имеется равновесный градиент температуры . В начальный момент времени в слой вносится радиально локализованное осесимметричное возмущение, в центре которого вертикальный градиент температуры . Требуется описать возникающее конвективное течение в зависимости от соотношения величин равновесного и возмущающего градиентов температуры и типа локализованных возмущений гидродинамических и тепловых полей. В цилиндрической системе координат осесимметричные уравнения Обербека–Буссинеска записываются как , , , , Граничные условия, выражающие требования аналитичности скорости на оси возмущения [3] и механического равновесия на бесконечном удалении от нее, имеют вид (1) Здесь – скорость жидкости; Т, Р – отклонения температуры и давления, отнесенного к средней плотности r0, от их средних значений, соответствующих r0; b – коэффициент теплового расширения; g – модуль ускорения свободного падения; ν – коэффициент кинематической вязкости жидкости. Уравнения Обербека–Буссинеска допускают класс точных решений, обобщающий известное изотермическое решение [4, 5] , , , , (2) , где , – безразмерные время и пространственные переменные. Представление (2) можно рассматривать как первые члены разложения гидродинамических величин и температуры в ряд Тейлора по поперечной координате Z, справедливое для тонкого слоя. Обрыв ряда оправдан точным удовлетворением (2) уравнениям Обербека–Бусинеска. В то же время это разложение не позволяет в полной мере учесть краевые условия на горизонтальных границах слоя. Далее принимается, что , тогда уравнения Навье–Стокса в приближении Буссинеска редуцируются к системе , , (3) с граничными условиями, следующими из (1), (4) Здесь – число Прандтля; , – безразмерные равновесный и возмущенный градиенты температуры. Величины и определяются следующим образом: , . Первые два уравнения (3) образуют замкнутую подсистему, которая в случае совпадения характерных вязкого и теплового диссипативных времен () преобразованием , , (5) сводится к одному уравнению с граничными условиями, следующими из (4) (последнее уравнение (3) и краевые условия к нему остаются неизменными): (6) : , ; : , (7) Безразмерный параметр характеризует соотношение между начальным импульсом возмущения и создаваемой им (возмущением) дополнительной силой Архимеда на оси вихря. В отсутствие фоновой стратификации второе уравнение (5) имеет решение , что позволяет ввести в (6), (7) автомодельную переменную и переписать последнюю систему в виде краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения (8) : , ; : , (9) Впредь штрихом обозначается производная по переменной x. Естественно полагать, что неизвестная V, подчиняющаяся последнему уравнению (3) с соответствующими граничными условиями (4), является функцией безразмерного времени t и переменной x. Тогда для нахождения азимутальной составляющей поля скорости имеем линейную начально-краевую задачу , ; : ; : решение которой можно искать в виде суперпозиции частных решений с разделяющимися переменными, что приводит к выражению (10) Постоянные являются коэффициентами разложения начального возмущения по собственным функциям спектральной задачи (первое слагаемое в (10) соответствует собственному значению ) , , (11) 2. Точные автомодельные решения Уравнение (8) обладает следующим решением (его стационарный изотермический аналог рассматривался в [6]): , , , , . С учетом краевых условий (9) имеем , , , , , В результате, принимая во внимание (10), получаем следующие выражения для гидродинамических величин: , , , (12) , где удовлетворяют системе , , . Например, при , имеем: . Автомодельность вида свойственна диффундирующим течениям, что проявляется в дрейфе максимума радиальной скорости от оси вихря. В то же время имеет место радиальная адвекция по направлению к оси симметрии потока и подъем жидкости вверх от подстилающей непроницаемой плоскости на фоне устойчивой стратификации возмущения при нулевой равновесной стратификации . Вдали от оси симметрии горизонтальное адвективное течение, аналогичное потенциальному вихрестоку, преобладает над вертикальным, так как . В конечном счете тепловая и вихревая диффузия берет верх над конвергентной адвекцией, и вихрь (12) со временем затухает. Следует отметить, что тепловое возмущение (12) локализовано «сильнее» гидродинамического и быстрее исчезает со временем. Еще одним решением краевой задачи (8), (9), существующим при , является (к этому типу относятся стационарные изотермические вихри Бюргерса [7] и Салливана [8] и их нестационарные аналоги [9, 10]) следующее: С его помощью вновь удается построить пример точного решения уравнений конвекции, описывающего радиально-локализованные вихри: , (13) Здесь базисные функции для разложения начального возмущения азимутальной скорости удовлетворяют задаче о собственных функциях и собственных значениях , , . Вихрь (13), подобно предыдущему случаю, затухает со временем вследствие тепловой и вихревой диффузии, преодолевающей конвергентную адвекцию. Вдали от оси горизонтальное течение по-прежнему представляет собой потенциальный вихресток, а температура и вертикальная составляющая скорости обращаются в ноль экспоненциально. В силу сложности организации экспериментов количество работ, направленных на лабораторное изучение нестационарных вихрей, невелико. В [11] выполнено сравнение вихрей Бюргерса [7], Салливана [8] и Беллами-Найтса [10], относящихся к рассматриваемому здесь классу точных решений (2), c результатами лабораторного моделирования эволюции вихрей, образующихся вследствие локального отбора (аналог конвективной подъемной силы) со свободной поверхности жидкости, заполняющей вращающуюся кювету (аналог циркуляции на бесконечности). В результате обнаружено хорошее качественное, а в ряде случаев и количественное совпадение экспериментальных и теоретических профилей азимутальной скорости в последовательные моменты времени. Таким образом, получены два примера точных автомодельных решений уравнений гидродинамики в приближении Обербека–Бусинеска, описывающих радиально-локализованные конвективные вихри, эволюционирующие в слое без температурной стратификации.

About the authors

Sergey Nikolaevich Aristov

ICMM UB RAS

Email: asn@icmm.ru
1, Academic Korolev st., 614013, Perm, Russian Federation Doctor of Physical and Mathematical Sciences, general scientist

Denis Vyacheslavovich Knyazev

ICMM UB RAS

Email: dvk@icmm.ru
1, Academic Korolev st., 614013, Perm, Russian Federation Ph.D. in Physical and Mathematical Sciences, scientist

References

  1. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М. Конвективная устойчивость несжимаемой жидкости. – М.: Наука, 1972. – 392 с.
  2. Богатырев Г.П. Возбуждение циклонического вихря или лабораторная модель тропического циклона // Письма в ЖЭТФ. – 1990. – Т. 51. – Вып. 11. – С. 557–559.
  3. Гольдштик М.А., Штерн В.Н., Яворский Н.И. Вязкие течения с парадоксальными свойствами. – Новосибирск: Наука, 1989. – 336 с.
  4. Prager S. Spiral flow in a stationary porous pipe // Phys. Fluids – 1964. – Vol. 7. – P. 907–908.
  5. Аристов С.Н. Стационарный цилиндрический вихрь в вязкой жидкости // Докл. АН. – 2001. – Т. 377, № 4. – С. 477–480.
  6. Бурдэ Г.И. О движении жидкости вблизи растягивающегося кругового цилиндра // Прикл. математика и мех. – 1989. – Т. 53. – Вып. 4. – С. 343–345.
  7. Burgers J.M. A mathematical model illustrating the theory of turbulence // Adv. Appl. Mech. – 1948. – No. 1. – P. 171–199.
  8. Sullivan R.D. A two-cell solution of the Navier-Stokes equations // J. Aero/Space Sci. – 1959. – Vol. 26. – P. 767–768.
  9. Rott N. On the viscous core of a line vortex // ZAMP. – 1958. – Vol. 9b. – P. 543–553.
  10. Bellamy-Knights P.G. An unsteady two-cell vortex solution of the Navier-Stokes equations // J. Fluid Mech. – 1970. – Vol. 41. – Part 3. – P. 673–687.
  11. Huang S.-L., Chen H.-S., Chu C.-C., Chang C.-C. On the transition process of a swirling vortex generated in a rotating thank // Exp. Fluids. – 2008. – Vol. 45. – P. 267–282.

Statistics

Views

Abstract - 17

PDF (Russian) - 11

Cited-By


PlumX


Copyright (c) 2013 Aristov S.N., Knyazev D.V.

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial 4.0 International License.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies