Full Text

Введение В работе рассматривается задача об определении границ предельно равновесных целиков остаточной вязкопластичной нефти в многослойных пластах (см., например, [1–4]). Предельно равновесный целик остаточной нефти представляет собой наибольшую область, которая может быть занята остаточной вязкопластичной жидкостью неограниченно долго, то есть характеризует вклад пластических свойств жидкости в остаточные потери нефти. Таким образом, расчет предельно равновесных целиков представляет собой один из подходов к оценке влияния пластических свойств нефти на предельную нефтеотдачу. Такой расчет полезен для оценки целесообразности бурения новых скважин. Рассматриваемая задача об определении границ предельно равновесных целиков остаточной вязкопластичной нефти сводится к стационарной задаче фильтрации несжимаемой жидкости с эффективным многозначным законом, состоящей в нахождении полей давления и скорости фильтрации, удовлетворяющих уравнению неразрывности и граничным условиям. В [1–4] для областей фильтрации простого вида и конкретных законов фильтрации было проведено решение рассматриваемой задачи. Однако в случае произвольных областей фильтрации и законов фильтрации, определяемых нелинейной функцией общего вида, необходимо применять приближенные методы. Исследованию корректности таких задач, построению приближенного метода ее решения и исследованию его сходимости и посвящена данная работа. Обобщенная постановка сформулирована относительно давления в виде вариационного неравенства второго рода [5, 6] с обратно сильно монотонным оператором [7] в гильбертовом пространстве. Функционал, входящий в это вариационное неравенство, является суммой нескольких полунепрерывных снизу, выпуклых, собственных, вообще говоря, недифференцируемых функционалов. Доказана теорема существования этого вариационного неравенства, а также установлено существование поля скоростей фильтрации, построенного согласно многозначному закону по решению вариационного неравенства, удовлетворяющего уравнению неразрывности. Для решения вариационного неравенства предложен итерационный метод расщепления, не требующий обращения исходного оператора. Отметим, что ранее [8, 9] для решения вариационных неравенств второго рода предлагался метод расщепления. Основная трудность при его реализации состояла в решении возникающей на каждом шаге метода задачи минимизации. В случае однослойного пласта (когда в вариационном неравенстве присутствует лишь один недифференцируемый функционал) эта задача минимизации была решена в [9] в явном виде благодаря тому, что удалось вычислить субдифференциал функционала, сопряженного с минимизируемым. Этот прием был применен и для рассматриваемой в настоящей работе задачи. Таким образом, каждый шаг метода сводится фактически к обращению оператора Лапласа. Следует отметить, что метод позволяет находить приближенные значения не только самого решения, но и его характеристик, для задач фильтрации – это приближенные значения градиента решения, что весьма полезно с практической точки зрения. Для численной реализации указанного итерационного метода были построены конечноэлементные аппроксимации вариационного неравенства и итерационного метода. Был составлен комплекс программ в среде Matlab. Для модельных задач были проведены численные эксперименты для различных исходных данных, при этом эмпирически определялись оптимальные (по количеству итераций) итерационные параметры. Результаты экспериментов свидетельствуют об эффективности итерационного метода. 1. Постановка задачи В работах [1–4] рассматривались задачи об определении границ предельно равновесных целиков остаточной вязкопластичной нефти. Расчет целиков остаточной нефти в многослойных ( слоев) пластах, в осредненной постановке, сведен ([3, с. 135]) к решению стационарной задачи фильтрации вытесняющей жидкости относительно полей давления и скорости фильтрации с эффективным многозначным законом (рис. 1) (1) (2) (3) Здесь коэффициенты являются исходно заданными величинами. Множества точек области фильтрации (4) соответствуют зонам пласта с номером , в которых пласт промыт полностью, промыт частично или не промыт. Далее рассмотрим задачу фильтрации с несколько более общим, чем (1)–(3), законом. Пусть – ограниченная область с непрерывной по Липшицу границей , , , на давление равно нулю, непроницаема. Требуется определить стационарные поля давления и скорости фильтрующейся в области жидкости, удовлетворяющие уравнению неразрывности и граничным условиям (5) где – заданная функция, характеризующая плотность внешних источников; – внешняя нормаль к при многозначном законе фильтрации (рис. 2), (6) Рис. 1. Закон фильтрации Рис. 2. Многозначная функция g Считается, что многозначная функция может быть представлена в виде где – заданные постоянные, многозначная функция (функция Хевисайда) и однозначная функция задаются соотношениями (рис. 3) (7) где – заданная постоянная, функция непрерывна и удовлетворяет условиям (8) существуют такие постоянные что (9) Рис. 3. Функции g0 и Заметим, что обратное к многозначному отображению, определенному формулами (2), (3), удовлетворяет всем условиям, наложенным на многозначное отображение . Очевидно, что где (10) Перейдем к построению вариационной формулировки задачи (5), (6). Зададим оператор следующим образом: (11) Обозначим через множество бесконечно дифференцируемых в функций, равных нулю в окрестности . Пусть и – решение задачи (5), (6). Тогда функция удовлетворяет неравенству (12) Пусть – пространство Соболева с нормой . Обозначим Форма линейна по второму аргументу. C учетом в (7), (11) имеем где Из (9) с учетом неубывания в силу (8) функции получаем то есть форма ограничена по второму аргументу, а значит, в силу теоремы Рисса–Фишера порождает оператор по формуле (13) Далее, имеем (14) то есть на определены функционалы , по формулам (15) Таким образом, в соответствии с (12) под решением рассматриваемой стационарной задачи фильтрации несжимаемой жидкости, следующей многозначному закону фильтрации, будем понимать функцию являющуюся решением вариационного неравенства (16) где элемент определяется по формуле . Запишем функционалы в виде , где , – функционалы, определенные на по формулам (17) Тогда вариационное неравенство (16) может быть записано в виде (18) Формулировка задачи в виде вариационного неравенства (18) будет использована при построении итерационного метода для его решения. 2. Существование решения Докажем предварительно ряд результатов. Лемма 1. Оператор G, определенный в (11), является монотонным, то есть (19) Доказательство. Применяя неравенство Коши-Буняковского, имеем Если , , то в силу монотонного возрастания . Пусть . Тогда в силу (8) Аналогичное неравенство получается при . Неравенство (19) доказано. Следствие 1. Оператор , определенный согласно (13), является монотонным. Лемма 2. Оператор , определенный в (13), является коэрцитивным [10], причем (20) где , . Доказательство. Используя (9), имеем ибо на . Лемма доказана. Лемма 3. Оператор , определенный в (13), является непрерывным. Доказательство. Из условий (7)–(9) вытекает, что оператор G, определенный в (11), является оператором Немыцкого (см. [11, с. 213]). В силу (9) то есть действует из в . Для любых имеем поэтому для любых из . Но тогда непрерывность оператора следует из непрерывности оператора Немыцкого (см. теорему 19.2 [11, стр. 213] ). Лемма 4. Функционалы , определенные согласно (15), являются выпуклыми, полунепрерывными снизу [12], собственными. Доказательство. В силу (14) функционалы являются ограниченными, а значит, собственными. Функция , определенная в (10), очевидно, является выпуклой, а значит, выпуклыми будут и функционалы . Далее, функция может быть записана в виде Поскольку для любых чисел , то , поэтому для любых , следовательно, где , то есть функционалы являются линшиц-непрерывными, а значит, полунепрерывными снизу. Теорема 1. Пусть выполнены условия (8), (9). Тогда вариационное неравенство (16) имеет непустое, выпуклое, замкнутое множество решений. Доказательство. Из лемм 1–4 следует, что оператор является непрерывным, монотонным, а значит, псевдомонотонным [10] и коэрцитивным, функционалы , , – выпуклыми, полунепрерывными снизу, собственными. Функционал также является выпуклым, полунепрерывным снизу, собственным. Поэтому вариационное неравенство (16) имеет непустое, выпуклое, замкнутое множество решений (см., например, [12]). Следует отметить, что исходная задача (5), (6) формулируется относительно полей давления и скорости фильтрации , в то время как обобщенная постановка (16) – относительно давления . Тем не менее имеет место Теорема 2. Пусть выполнены условия (8), (9). Если – решение вариационного неравенства (16), то существует функция такая, что почти всюду на справедливы включение (6) и интегральное тождество (то есть удовлетворяет вариационному уравнению неразрывности). (21) Доказательство. Пусть – решение вариационного неравенства (16), которое согласно определению субдифференциала эквивалентно включению (22) Так как функционалы выпуклы и непрерывны, то (см. [12]) . Проводя рассуждения, подобные содержащимся в [13], имеем, что в точке субдифференциал функционала есть множество линейных непрерывных на функционала вида , , где (23) Поэтому соотношение (22) означает, что выполнено равенство где , причем при выполнении (8), (9). Таким образом, вектор-функция удовлетворяет уравнению неразрывности (21), а в силу (23) – соотношению (6). Теорема доказана. 3. Итерационный метод решения смешанного вариационного неравенства Для решения вариационного неравенства (18) по аналогии с [8] рассмотрим следующий итерационный процесс. Пусть , , – произвольные элементы. Положим . Для , зная , , , определим , . (24) Затем находим , решая задачу минимизации (25) Наконец, вычисляем , (26) Здесь и – итерационные параметры; – сопряженный к оператор: , , , – скалярное произведение в : . Нетрудно убедиться в том, что задача (25) однозначно разрешима. При исследовании сходимости итерационного процесса будем предполагать, что наряду с (8), (9) функция липщиц-непрерывна с постоянной , то есть (27) Лемма 5. Оператор G, определенный в (12), удовлетворяет условию (28) то есть – обратно сильно монотонный (см. [7, 14, 15] ) оператор с константой , и, следовательно, он является липшиц-непрерывным с константой . Доказательство. При неравенство (28) выполняется тривиальным образом. Предположим поэтому, что . По аналогии с [16] рассмотрим выражение где . Если знаменатель обращается в нуль, то в силу условия (8) (из которого следует, что – неубывающая функция) и неравенства имеем следовательно, то есть либо , и тогда , а значит, требуемое неравенство выполнено, либо , и тогда , откуда в силу неотрицательности обоих сомножителей, по крайней мере, один из них равен нулю. Если или , то , и требуемое неравенство выполнено. Если же , то снова имеем Рассмотрим случай, когда знаменатель . Функция является дробно-линейной, поэтому ее максимум достигается при . При в силу (27) При в силу неравенства (27) с Лемма доказана. Следствие 2. Оператор , определенный согласно (13), является обратно сильно монотонным с постоянной . Нетрудно убедиться в том, что задача (25) однозначно разрешима. Предполагаем, что решение вариационного неравенства (18) существует, для функционалов , определяемых по формулам (17), выполнено следующее условие невырожденности задачи [12, с. 35]: (29) а оператор является каноническим изоморфизмом, то есть (30) Для исследования сходимости итерационного метода выпишем явный вид оператора перехода метода. Будем считать, что и связаны соотношением . Введем гильбертово пространство со скалярным произведением , , , . Элементы из будем обозначать . Определим оператор , , следующим образом: , (31) (32) (33) Здесь – проксимальное отображение [12], ставящее в соответствие произвольному элементу единственный элемент , являющийся решением задачи минимизации (см., например, [12]) При этом данная задача минимизации эквивалентна вариационному неравенству (34) Отметим также (см., например, предложение 2.1 [17, с. 285]), что проксимальное отображение является жестко нерастягивающим, то есть Переписывая (25) в виде и используя определение проксимального отображения на основе вариационного неравенства (34) с и перепишем итерационный процесс (31)–(33) в виде (35) где – произвольный элемент, то есть – оператор перехода этого итерационного процесса. Теорема 3. Точка является неподвижной точкой оператора в том и только том случае, когда выполнены условия , (36) , (37) (38) При этом первая компонента р любой неподвижной точки оператора Т является решением задачи (18). Доказательство. Пусть – неподвижная точка оператора Т, то есть , (39) (40) (41) Равенство (41) эквивалентно (36), ибо Равенство (40) эквивалентно неравенству или с учетом (36) – неравенству , (42) которое, в свою очередь, эквивалентно включению (37). Наконец, равенство (39), очевидно, эквивалентно (38). Проверим, что р – решение задачи (18). Из (39) с учетом равенства (36) следует, что . В неравенстве (42) заменим, используя (36), на и положим , где – произвольный элемент из . Тогда получим то есть – решение задачи (18). Теорема доказана. Теорема 4. Пусть существует по крайней мере одно решение задачи (18), и выполнено условие (29). Тогда множество неподвижных точек оператора не пусто. Доказательство. Пусть р – решение задачи (18), . Вариационное неравенство (18) эквивалентно включению . (43) Из условия (29) и теоремы 13.3 [18] получаем следующее равенство: (44) Из (43) вытекает, что найдется элемент , для которого выполнено равенство , а соотношение (44) означает существование такого элемента , что , то есть . Итак, для имеют место соотношения (36), (37), а значит, в силу теоремы 3 – неподвижная точка оператора . Теорема доказана. Из теоремы 4 следует, что исследование сходимости итерационного процесса (24)–(26) сводится к исследованию сходимости метода последовательных приближений (35) отыскания неподвижной точки оператора . Установим свойства этого оператора. Теорема 5. Пусть – обратно сильно монотонный оператор с константой , и выполнено следующее условие: . (45) Тогда оператор , определяемый соотношениями (30)–(32), является нерастягивающим. Более того, для любых , из справедливо неравенство (46) где . Доказательство. По условию настоящей теоремы – обратно сильно монотонный оператор с константой : (47) Заметим, что в силу условия (45) выполнены неравенства и , а значит, из (46) и (47) будет следовать нерастягиваемость оператора . Докажем неравенство (46). Перепишем равенство (31) в виде , где оператор определяется соотношением . Используя (47), получаем (48) Далее, откуда, используя очевидное равенство (49) с , имеем Отсюда (после деления на ) с учетом (48) вытекает, что Выбирая , на основании определения оператора , получим (50) Положим , , в равенстве (49) и преобразуем (50) к следующему виду: (51) Далее, из (32) с учетом жесткой нерастягиваемости проксимального отображения имеем, что откуда (52) Из (33) следует соотношение Складывая получившееся соотношение с (51) и (52) и учитывая, что в силу (30) имеет место равенство , получаем, что справедливо неравенство (46). Теорема доказана. Теорема 6. Пусть – обратно сильно монотонный оператор с константой , выполнены условия (29), (45), задача (18) имеет по крайней мере одно решение, итерационная последовательность построена согласно (35). Тогда эта последовательность сходится слабо в при , ее предел является неподвижной точкой оператора , и справедливы равенства , (53) (54) Доказательство. Воспользуемся неравенством (46), положив в нем и считая неподвижной точкой оператора (в силу теоремы 4 существует хотя бы одна такая точка). Учитывая, что по определению итерационной последовательности , а для неподвижной точки согласно теореме 3 выполнены равенства , , получаем Из этого неравенства следует, что ограниченная снизу (нулем) числовая последовательность не возрастает и, следовательно, имеет конечный предел , и, значит, выполнены соотношения , (55) , (56) (57) Используя (47) и (55), получаем (58) Из (57) и (58) следует, что (59) Далее, используя (56), (59) и неравенство получаем соотношение (53), из которого с учетом (59) и равенства следует, что (60) Наконец, используя (26) и (53), имеем (61) Равенства (59)–(61) означают, что выполнено соотношение (54), и поскольку – произвольно заданный элемент, то оператор Т является аcимптотически регулярным (см. [19]). Кроме того, оператор Т является нерастягивающим в силу теоремы 5, поэтому (см. [20]) итерационная последовательность сходится слабо в при , и ее предел q* является неподвижной точкой оператора Т. Теорема доказана. 4. Итерационный метод решения задач установившейся фильтрации с многозначным законом Как было сказано выше, оператор , определенный на согласно (13), при выполнении условий (8), (9), (27) является обратно сильно монотонным с постоянной , а функционалы , задаваемые с помощью соотношений (17), – полунепрерывными снизу, выпуклыми, собственными на . Поэтому выполнены условия сходимости итерационного процесса (24)–(26) и справедлив следующий результат: Теорема 7. Пусть выполнены условия (8), (9), (27), , итерационные последовательности , , построены согласно (24)–(26). Тогда: 1) последовательность сходится слабо в к некоторому решению вариационного неравенства (18); 2) последовательность сходится слабо в к ; 3) последовательность сходится слабо в к такому, что , ; 4) справедливо соотношение . Остановимся теперь на особенностях применения итерационного метода (24)–(26) для решения задач установившейся фильтрации с многозначным законом. Первый шаг (24) сводится в силу теоремы Рисса–Фишера к обращению оператора Лапласа: третий шаг (соотношение (26)) – к вычислениям по явным формулам. Основную трудность в реализации итерационного метода представляет второй шаг – решение задачи минимизации (25), то есть согласно определению проксимального отображения в виде вариационного неравенства (см. (34)) задачи безусловной минимизации сильно выпуклого, полунепрерывного снизу, собственного функционала , . Следуя [21], можно проверить, что решение этой задачи имеет вид , где (рис. 4) , . Таким образом, каждый шаг итерационного метода сводится фактически к обращению оператора Лапласа. Рис. 4. Функция Рис. 5. Вид застойных зон Следует отметить, что метод позволяет находить приближенные значения не только самого решения , но и его характеристик, для задач фильтрации – это приближенные значения градиента решения, что весьма полезно с практической точки зрения, при построении предельно равновесных целиков остаточной вязкопластичной нефти в соответствии с формулами (4). Кроме того, как это следует из п.п. 2), 3) теоремы 7, приближенное значение скорости фильтрации, удовлетворяющей уравнению неразрывности, может быть вычислено по формуле Для численной реализации указанного итерационного метода были построены конечноразностные аппроксимации вариационного неравенства и итерационного метода, составлен комплекс программ в среде Matlab, проведены расчеты для модельной задачи фильтрации в единичном квадратном пласте с центром в начале координат, в котором находится скважина с дебитом . Полагалось, что . В качестве функции выбиралась функция . Во всех расчетах принимались следующие значения: , , , при этом эмпирически определялись оптимальные (по количеству итераций) итерационные параметры. На строилась сетка размером . Результаты экспериментов свидетельствуют об эффективности итерационного метода. На рис. 5 для , приведены границы застойных зон, на которых .

About the authors

Ildar Burkhanovich Badriev

Kazan Federal University

Email: ildar.badriev@ksu.ru
18, Kremlevskaja st., 420008, Kazan, Russian Federation Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor, Department of Calculation Mathematics

Ludmila Anatol’evna Nechaeva

Institute of Informatics of the Tatarstan Republic Academy of Sciences

Email: nechaeva.ludmila64@mail.ru
36A, Levo-Bulachnaja st., 420111, Kazan, Russian Federation research associate, Institute of Informatics of the Tatarstan Republic Academy of Sciences

References

Statistics

Views

Abstract - 102

PDF (Russian) - 25