Full Text

В работе [1] изложены термодинамические основы классической термоупругости изотропных тонких оболочек, общие теоремы и методы решения статических и динамических задач термоупругости оболочек при различных способах нагрева. В работе [2] представлена классическая теория термоупругости ортотропных тонких оболочек с учетом деформаций поперечнего сдвига. В работах [3–5] изложены основы трехмерной термоупругости микрополярного изотропного тела. В работах [6–8] на основе метода гипотез, имеющих асимптотическое подтверждение, построена общая теория микрополярных упругих тонких пластин и оболочек. В работе [9] изучены асимптотические свойства решения краевой задачи микрополярной термоупругости в области тонкой оболочки, в работе [10] сформулированы адекватные гипотезы и построена общая прикладная теория термоупругости микрополярных изотропных оболочек. 1. Постановка задачи Будем рассматривать микрополярные упругие ортотропные тела типа оболочек. Деформация их рассматривается под действием поверхностных силовых и моментных нагрузок и неравномерного температурного поля. Трехмерные исходные соотношения термоупругости для микрополярных ортотропных тел включают [3–5, 11]: – уравнения равновесия (1.1) – геометрические соотношения между компонентами тензора деформации , тензора изгиба-кручения и компонентами вектора перемещения и вектора независимого поворота (1.2) – соотношения закона Гука для микрополярного ортотропного материала (обобщенные на случай воздействия температурных полей с применением гипотезы Дюамеля–Неймана) (1.3) Здесь – соответственно компоненты силового и моментного тензоров напряжений; – упругие постоянные микрополярного ортотропного материала; – коэффициенты линейного температурного расширения в направлениях координатных линий; – температурная функция, отсчитываемая от температуры исходного недеформированного состояния. Предполагается, что в области тела-оболочки наперед решена краевая задача теплопроводности и задано распределение температурной функции – криволинейные ортогональные координаты, принятые в теории оболочек [12]. К определяющим уравнениям (1.1)–(1.3) трехмерной термоупругости микрополярного тела-оболочки присоединим соответствующие граничные условия. На лицевых поверхностях оболочки примем граничные условия первой граничной задачи микрополярной упругости (1.4) На поверхности края оболочки будем рассматривать три основных типа граничных условий: 1) когда заданы силовые и моментные напряжения; 2) когда точки поверхности закреплены; 3) когда заданы трехмерные смешанные условия типа шарнирного опирания. Будем предполагать, что толщина оболочки 2h весьма мала по сравнению с характерными радиусами кривизны срединной поверхности оболочки. 2. Исходные допущения (гипотезы) Учитывая качественные результаты асимптотического решения системы уравнений (1.1)–(1.3) с указанными выше граничными условиями [9], в основу предлагаемой теории термоупругости микрополярных ортотропных тонких оболочек ставим следующие гипотезы: 1. В процессе деформации первоначально прямолинейные и нормальные к срединной поверхности волокна свободно поворачиваются в пространстве как жесткое целое на некоторый угол, не изменяя при этом своей длины и не оставаясь перпендикулярным к деформированной срединной поверхности. Принятую гипотезу математически можем записать так: тангенциальные перемещения и нормальный поворот распределены по толщине оболочки по линейному закону (2.1) а нормальное перемещение и тангенциальные повороты не зависят от поперечной координаты ai, т.е. (2.2) Отметим, что с точки зрения перемещений принятая гипотеза ((2.1), (2.2)) по сути дела совпадает с кинематической гипотезой Тимошенко в классической теории упругих оболочек [13, 14]. Гипотезу (2.1), (2.2) в целом назовем обобщенной кинематической гипотезой Тимошенко в микрополярной теории оболочек. 2. Силовым напряжением s33 в обобщенном законе Гука (1.2) для gii можно пренебречь относительно силовых напряжений sii, аналогично моментным напряжением m3i в обобщенном законе Гука (1.2) для ci3 можно пренебречь относительно моментного напряжения mi3. 3. При определении деформаций, изгибов-кручений, силовых и моментных напряжений сначала для силовых напряжений s3i и моментного напряжения m33 примем (2.3) После вычисления указанных величин значения s3i и m33 окончательно определим прибавлением к значениям (2.3) соответственно слагаемых, получаемых интегрированием первых двух или шестого уравнений равновесия из (1.1), для которых потребуем условия, чтобы усредненные по толщине оболочки величины были равны нулю. 4. Величинами по сравнению с единицей можно пренебречь. 5. Принимаем, что температура по толщине оболочки меняется по линейному закону, а именно (2.4) где (2.5) и – температура соответственно на внешней и внутренней поверхностях оболочки. 3. Определение деформаций, изгибов-кручений, силовых и моментных напряжений В соответствии с принятым законом распределения перемещений и свободных поворотов (2.1), (2.2), подставляя их в геометрические формулы (1.2) и сохраняя в выражениях только линейные члены по a3, находим (3.1) (3.2) где (3.3) Здесь – компоненты тангенциальной деформации, характеризующие деформацию срединной поверхности; величины – характеризуют изгибную деформацию и скручивание срединной поверхности; – поперечные сдвиги; – изменение кривизны и кручений в нормальных к срединной поверхности плоскостях; – гиперкривизны или гиперкручения. На основе обобщенного закона Гука (1.3) (имея в виду также гипотезы 2)–5)) для силовых и моментных напряжений получим (3.4) (3.5) где (3.6) (3.7) Кроме того, (3.8) (3.9) (3.10) (3.11) (3.12) (3.13) где (3.14) а – соответствующие алгебраические дополнения в детерминанте . 4. Математическая модель термоупругости микрополярных ортотропных тонких оболочек С целью приведения трехмерной задачи микрополярной термоупругости к двумерной, что уже выполнено для перемещений, деформаций, изгибов-кручений, силовых и моментных напряжений, в теории микрополярных упругих оболочек вместо компонент тензоров силовых и моментных напряжений вводим статически эквивалентные им интегральные характеристики-усилия , моменты и гипермоменты , которые с учетом предположения 4) выражаются следующим образом: (4.1) Имея в виду относительно a3 качественные стороны поведения искомых функций, удовлетворяя граничные условия (1.4) на лицевых поверхностях оболочки и перейдя к усредненным величинам, получим математическую модель термоупругости микрополярных ортотропных тонких оболочек. Основная система уравнений термоупругости микрополярных ортотропных упругих тонких оболочек с независимыми полями перемещений и вращений будет выражаться так: – уравнения равновесия (4.2) – физические соотношения упругости (4.3) где (4.4) (4.5) К уравнениям равновесия (4.2) и соотношениям упругости (4.3) необходимо присоединить геометрические соотношения (3.3). Представим «смягченные» граничные условия на граничном контуре Г срединной поверхности оболочки, считая, что этот контур совпадает с координатной линией [7, 8]: или , или , или , или (4.6) или , или , или . Система уравнений (4.2), (4.3), (3.3) и граничные условия (4.6) представляют математическую модель термоупругости микрополярных тонких оболочек с независимыми полями перемещений и вращений. Система уравнений (4.2), (4.3), (3.3) термоупругости микрополярных ортотропных тонких оболочек с независимыми полями перемещений и вращений представляет собой систему диференциальных уравнений 18-го порядка с девятью граничными условиями (4.6) на каждом из контуров срединной поверхности оболочки Г. Это система из 52 уравнений относительно 52 неизвестных функций , Если в системе уравнений (4.2), (4.3), (3.3) перейти к плоскому случаю тогда получим модель термоупругости плоского напраженного состояния и модель термоупругости изгибной деформации микрополярных ортотропных тонких пластин.

About the authors

Samvel Hovhannes Sargsyan

Gyumri State Pedagogical Institute

Email: s_sargsyan@yahoo.com
4, Paruyr Sevak st., 377526, Gyumri, Republic of Armenia Ph.D., Doctor of Sciences, Professor, Correspondent-member of NAS RA, Head for Higher Mathematics Chair, Gyumri State Pedagogical Institute

Anahit Jora Farmanyan

Gyumri State Pedagogical Institute

4, Paruyr Sevak st., 377526, Gyumri, Republic of Armenia Ph.D., Vice-rector on Scientific and International Affairs, Gyumri State Pedagogical Institute

References

Statistics

Views

Abstract - 103

PDF (Russian) - 56