Full Text

Механика разрушения в настоящее время является ключевой дисциплиной при решении проблем безопасности и прочности объектов промышленно-гражданского, военно-оборонного, авиационного, ракетно-космического комплексов, с трещиноподобными повреждениями различной природы происхождения [1-3]. Современная научная мысль достигла высокой точки развития в области нелинейной механики разрушения. На сегодня предложено огромное количество новых моделей, методов, методологий, алгоритмов и способов решения проблем, возникающих при конструировании и эксплуатации конструкций и машин с учетом естественно возникающих дефектов [4-7]. Для обоснования жизнеспособности предлагаемых идей по-прежнему используются уже доказанные и зарекомендовавшие себя на протяжении многих лет критерии прочности, трещиностойкости, живучести и долговечности различных механизмов и конструкций. Незыблемым остается то, что основные критериальные величины при этом зависят от параметров напряженно-деформированного состояния (НДС). Зависимость параметров напряженно-деформированного состояния макро- и микроуровня рассматривается с помощью введения последовательности окружностей определенного радиуса вокруг вершины трещины. Характерное отличие полученных таким образом зон в наличии различной сингулярности поля напряжений. Современная механика разрушения основывается на одно- и двухпараметрическом подходах при анализе НДС в области вершины трещины [8; 9]. Однопараметрические классические исследования предполагают изучение таких величин, как J-интеграл, коэффициент интенсивности напряжений и тд. Для более точного описания поведения материала в окрестности вершины надреза в зависимости от схемы нагружения, геометрической формы и размеров трещины необходимо также обратить внимание на несингулярные параметры стеснения деформаций: T-напряжение, h - параметр трехосности, значения Q и Тz и другие. Многие из перечисленных параметров имеют функциональную аналитическую зависимость друг от друга. Один из основных путей развития современной механики разрушения, состоит в расчетно-экспериментальном исследовании параметров напряженно-деформированного состояния (НДС) в упругой и упругопластической постановках. Нелинейная механика разрушения базируется на изучении сингулярного параметра, введенного Rice [10-12] и Черепановым [8] для исследования свойств пластических деформаций в области вершины трещины. Для упругопластических деформаций в вершине трещины при нормальном отрыве авторами J.W. Hutchinson, J.R. Rice, G.F. Rosengren найдены аналитические зависимости между параметрами НДС и J-интегралом [13-14]. Хатчинсон предложил рассматривать пластический коэффициент интенсивности напряжений (КИН), связанный с J-интегралом, при описании НДС в упругопластической области вершины трещины. В условиях полномасштабной текучести J-интеграл играет ту же роль, что и коэффициент интенсивности напряжений в линейной механике разрушения. В квазихрупком приближении J-интеграл аналогичен параметру КИН и поэтому может рассматриваться как характеристика сингулярности локальных полей напряжений и деформаций в упругопластических телах с трещинами. В дальнейшем на основе пластического КИН авторами В.Н. Шлянниковым и А.В. Тумановым был найден способ определения упругопластических параметров НДС в вершине трещины в трехмерных телах конечных размеров для условий смешанных форм деформирования [16]. Авторы работ [17; 18] исследовали пластический КИН как параметр сопротивления росту сквозных и поверхностных трещин при сложном напряженном состоянии и смешанных формах деформирования. При этом показано, что расчеты на основе пластического КИН позволяют осуществить однопараметрическую количественную оценку свойств сопротивления материала статическому и циклическому разрушению, не зависящую от влияния геометрии тела с трещиной и условий нагружения. КИН и J-интеграл взаимозависимые величины, которые вполне можно определить с помощью комбинированных методов, объединяющих численные и аналитические расчеты [1-2; 19-23]. При аналитическом представлении контурного интеграла, существуют определенные ограничивающие условия. J-интеграл не зависит от пути интегрирования, но весьма зависим от его интерпретации, поскольку включает несколько параметров НДС, а также их производные. Контурный J-интеграл может содержать разное число слагаемых, в зависимости от того, учитывается ли только линейное перемещение в области вершины трещины или будут дополнительно рассматриваться вращательные эффекты, т.е. роторные компоненты. Кроме того, подынтегральная функция контурного интеграла зависима от функционального представления компонент параметров НДС, от размерности задачи и от степени удаления контура интегрирования от вершины трещины. Во многих прикладных задачах основное внимание уделяется математическому описанию процессов деформирования и разрушения материалов [1; 14; 24-28]. Явное внимание к данному вопросу видно из огромного количества работ российских и зарубежных ученых с исследованиями поведения различных материалов при всевозможных типах нагружения в упругой, упругопластической постановках и при ползучести. Если учесть тот факт, что при разрушениях в реальных конструкциях реализуется смешанная форма деформирования, то возникает вопрос вычисления J-интеграла для определения параметров разрушения при смешанных формах деформирования. В связи с этим в данной статье продемонстрирована интерпретация контурного J-интеграла при двумерных и трехмерных значениях компонент НДС, для зоны действия классического решения Хатчинсона - Розенгрена - Райса (ХРР) полей и для зоны, максимально приближенной к области вершины трещины, где реализуется градиентная теория пластичности. Выведен обобщенный контурный J-интеграл, используемый для характеристики нелинейного амплитудного множителя. 1. Контурный J-интеграл Хатчинсона - Розенгрена - Райса При описании процессов разрушения чаще всего используются два критерия, а именно энергетический J-интеграл и δ - раскрытие трещины в вершине. Существует линейная связь между этими двумя параметрами. Важной характеристикой считается независимость J-интеграла от пути интегрирования. Установлено, что неинвариантность J-интеграла возможна в зоне вокруг вершины трещины с радиусом менее 6δ. Таким образом, в нелинейной механике разрушения пользуются независимостью выбора контура и в качестве критериального значения используют значение J-интеграла, характеризующее разрушение. В данной части представленной работы кратко сделан обзор о классическом представлении J-интеграла и показана его авторская интерпретация. Объектом изучения является пластина бесконечных размеров с центральной сквозной прямолинейной наклонной трещиной, находящаяся в поле двухосных напряжений (рис. 1). Начало полярной системы координат расположено в геометрическом центре вершины трещины. Рис. 1. Пластина с наклонной прямой трещиной в поле двухосных напряжений Fig. 1. Plate with an inclined crack under biaxial loading В плоских задачах управляющими уравнениями считаются уравнения равновесия и совместности деформаций, записанные в полярной системе координат. Задача сводится к решению нелинейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений с использованием функций напряжений Эри. В решении используются комбинированные численно-аналитические методы. Считается, что трещина находится в условиях плосконапряженного или плоскодеформированного состояния в нелинейно упругой среде, которая несжимаема. Связь между перемещениями ui и деформациями eij описывается формулами Коши: ; (1) ; (2) , (3) где - полярные координаты, связанные с вершиной трещины. Деформации выражаются через компоненты напряжений sij c помощью степенной функции. Например, при простом одноосном растяжении это закон Рамберга - Осгуда: (4) При сложном напряженном состоянии обобщенная модель Рамберга - Осгуда: ; (5) ; (6) (7) В вышеприведенных формулах - модуль упругости, и n - константы упрочнения, - предел текучести, - эквивалентное напряжение, - коэффициент Пуассона. Исследователи J.W. Hutchinson, J.R. Rice, G.F. Rosengren предложили при решении представлять поля НДС с учетом сингулярности. Асимптотические формулы или, как их еще называют, HRR-асимптотики определяются соотношениями (8)-(10): ; (8) ; (9) (10) где - полудлина трещины, - безразмерные угловые функции, J и - интегралы, связанные между собой линейной зависимостью (11), с коэффициентом пропорциональности, представленным через упругопластический коэффициент интенсивности напряжений Kp: (11) По определению, J-интеграл выражается равенством: (12) где Г - контур, окружающий вершину трещины, W - плотность энергии деформации, n1 и n2 - компоненты внешней нормали к контуру, dу и ds - приращение декартовой и криволинейной координат, - краткая запись частной производной компонент перемещений. Плотность энергии деформации определяется следующим образом: . (13) С учетом всего вышесказанного авторы повторили вывод Хатчинсона - Розенгрена - Райса. Компоненты перемещений и напряжений в полярной системе координат являются функциями некоторых постоянных параметров Kp и λ, которые имеют смысл собственного значения. Инвариантность J-интеграла возможна только при условии, когда Для удобства введем безразмерные величины: (14) где L - характерная длина (например, шкала длины градиента деформации). Тогда поля параметров напряженно-деформированного состояния представляются в виде соотношений: (15) . (16) Полученные соотношения (15)-(16) подставляются в уравнение (12), записанное в полярной системе координат с использованием безразмерных величин (16), а также вычисляются частные производные компонент перемещений и , используя формулу преобразования . В результате получается выражение (17) для вычисления J-интеграла. (17) Полученное уравнение (17) полностью повторяет решение, представленное классиками в своих работах. При выведении данной аналитической формулы авторы обратили внимание, что уравнение (17) может быть получено при условии, когда частные производные и не равны нулю. Однако структура формул (16) предполагает, что перемещения и зависят только от параметра, в связи с этим рассмотрен вариант, когда и . При таком допущении авторы предлагают рассмотреть альтернативную форму записи J-интеграла в виде формулы (18): (18) Основываясь на представлении (11), В.Н. Шлянников и А.В. Туманов провели подробное исследование контурного In-интеграла и упругопластического коэффициента интенсивности напряжений Kp для нагруженной прямоугольной пластины с центральной прямолинейной сквозной трещиной (CCP) и для компактного крестообразного образца со сквозной прямолинейной трещиной в центральной части (CS) и для компактного образца в виде прямоугольной пластины с односторонним боковым надрезом (CTS) при смешанных формах деформирования. Первостепенно авторы продемонстрировали четкую зависимость In-интеграла от пластических свойств материала и вида напряженно-деформированного состояния при различных видах нагружения. На рис. 2 показана зависимость In-интеграла от параметра смешанности Mp. Из графика видно, что для всех видов нагружения при плоскодеформированном (ПД - 3D-planestrain) и плосконапряженном состоянии (ПНС - 2D-planestress) по мере увеличения пластичности материала уменьшается значение In-интеграла. В указанной выше работе [30] авторы доказали, что во всех рассмотренных образцах, выполненных из одного и того же материала, при смешанных формах деформирования упругопластический коэффициент интенсивности напряжений Kp весьма зависим от вида напряженно-деформированного состояния и от геометрических характеристик (рис. 3). Анализируя полученные результаты, было решено продолжить изучение вопроса аналитического представления контурного интеграла и рассмотреть более общую ситуацию, вычислить контурный J-интеграл при ином структурном представлении полей НДС и в зоне, максимально приближенной к вершине трещины, в месте преобладания градиентной теории пластичности. 2. Контурный J-интеграл в градиентной теории пластичности Суть градиентной теории пластичности заключается в том, что для определения прочностных характеристик материала рассматривается плотность дислокаций, которая может быть получена с помощью градиентов деформаций. Дефект изучается на микроуровне при максимальном приближении к краю области вершины трещины. Поля напряжений считаются зависимыми не только от самих деформаций, но и от их градиентов. Многочисленные экспериментальные исследования ряда авторов (H. Gao, Y. Huang, W.D. Nix, J.W. Hutchinson [31-32], N.A. Fleck, J.W. Hutchinson [37; 39], H. Gao, Y. Huang [31], P. Gudmundson [33], D. González, J. Alkorta, J.M. Martínez-Esnaola, Gil J. Sevillano [34; 35]) убедили в необходимости учитывать масштабные эффекты при изучении поведения металлов конкретной геометрии. Классическая теория пластичности не учитывала a b Рис. 2. Значения In для ПНС (a) и для ПД (b) состояний в зависимости от параметра смешанности Mp Fig. 2. In values for PNS (a) and for PD (b) states depending on the mixing parameter Mp a b с Рис. 3. Изменение коэффициента интенсивности упругопластических напряжений в (а) CS, (b) CS и (c) CCP при смешанном режиме нагружения Fig. 3. Variation elastic-plastic stress intensity factor in (a) CS, (b) CTS and (c) CCP under mixed mode loading геометрические параметры рассматриваемых моделей, поэтому В.Л. Бердичевским [36] и E.C. Aifantis, M.H. Aliabadi, D.P. Rooke предложено применить теорию пластичности на минимально возможных расстояниях от вершины трещины, что было поддержано в трудах [37-41]. Дальнейшие исследования авторов X. Pan, Y. Yuan, A. Panteghini, L. Bardella еще более убедили, что существующие проблемы деформирования и разрушения должны рассматриваться с учетом градиентов деформаций. На данный момент известно о четырех модификациях градиентной теории пластичности: H. Gao et al. [31; 32] сформулировали теорию механизма деформирования в градиентной пластичности (Mechanism-based strain gradient plasticity - MSG); учеными N.A. Fleck и J.W. Hutchinson [37; 38] предложена феноменологическая теория (Strain Gradient Plasticity - SGP); затем P. Gudmundson [33] доработал SGP-модель; M.E. Gurtin [40] - является автором теории Distortion gradient plasticity (DGP). Подробный обзор данной теории представлен в работах [29; 30]. Многочисленные асимптотические поля вокруг вершины трещины имеют автомодельные формы решения. Все эти поля управляются независимым от пути интегрирования J-интегралом. J.Y. Chen et al. [42] и M. Shi et al. [43; 44] сформулировали задачу для асимптотических полей вершин трещин с градиентом деформации, для этого использовали потенциал смещения, аналогичный полю HRR в классическая пластической области. Главное отличие при вычислении контурного интеграла в рамках деформационной теории пластичности от решения ХРР заключается в том, что безразмерные компоненты полей НДС в формулах (15)-(16) зависимы от двух полярных координат, и амплитудный параметр - упругопластический коэффициент интенсивности напряжений Kp - рассматривается как степенная функция координаты r формул (19)-(21). (19) (20) (21) где - показатель деформационного деформирования, C и m - произвольные константы. Плотность энергии деформации (22) раскладывается на два слагаемых, характеризующих пластическую и упругую части. . (22) В результате получено аналитическое выражение для определения конкурного интеграла (23): (23) Полученный обобщенный контурный J-интеграл используется для характеристики нелинейного амплитудного множителя. Методика его применения и результаты сравнения решений с помощью ХРР асимптотик и решений, полученных в рамках градиентной теории пластичности, подробно описаны в работе [30]. На примере нагруженной прямоугольной пластины с центральной прямолинейной сквозной трещиной и компактного образца в виде прямоугольной пластины с односторонним боковым надрезом при смешанных формах деформирования авторами проиллюстрировано, что, как и для ХРР полей, в области доминантности градиентной теории пластичности (CMSGP) множители, определяющие контурный J-интеграл, чувствительны к свойствам материала. На рис. 4 видна монотонная зависимость пластического коэффициента интенсивности напряжений Kp от упругого коэффициента интенсивности напряжений KI, II в зависимости от показателя деформационного упрочнения N для плосконапряженного и плоскодеформированного состояний. В настоящее время достаточно широко описаны способы применения численных методов для вычисления J-интеграла. Способы описания полей напряжений и перемещений рассматриваются как в двухмерном, так и в трехмерном представлении для смешанных форм деформирования [24; 45-49; 50-51]. 3. Контурный интеграл в пространстве при смешанных формах деформирования В данной части статьи рассматривается более общая ситуация: трещина несквозная и эллиптическая, находится в условиях смешанных форм деформирования (рис. 5). Параметры НДС, входящие в контурный J-интеграл, вычисляются в сферической и цилиндрической системах координат в трехмерном представлении. Плотность энергии деформации определяется по формуле (13), где Компоненты деформаций представляются следующим образом: (24) где - частная производная компоненты перемещения по координате система координат показана на рис. 5. a b Рис. 4. Поведение пластического Kp в зависимости от упругого KI, II для случая ПД и ПНС (a, b) для различных режимов разрушения и показателей деформационного упрочнения N Fig. 4. Behavior of plastic Kp as a function of elastic KI, II for the case of PD and PSS (a, b) for various failure modes and strain hardening indices N Рис. 5. Координатная система в вершине трещины и контур J-интеграла Fig. 5. The coordinate system at the crack vertex and the contour of the J-integral Рис. 6. Контур, перпендикулярный фронту трещины Fig. 6. Contour perpendicular to the crack front Рис. 7. Полярная система координат Fig. 7. Polar coordinate system Рис. 8. Сферическая система координат Fig. 8. Spherical coordinate system При трехмерном представлении для полного описания контурного интеграла выбираются два контура. Контур Г и контур (рис. 5, 6), при этом контур определяется по формуле Контурный интеграл для смешанных форм деформирования в трехмерной постановке запишется в следующем виде: (25) Компоненты полей НДС рассматриваются в полярной (рис. 7) и сферической системах координат (рис. 8). В частном случае, когда , сферическая система координат может быть представлена как цилиндрическая. Параметр характеризует угол отклонения рассматриваемой точки на контуре фронта трещины от декартовой оси Ox. В уравнении (25) способ определения первого слагаемого рассмотрен в п. 1-2 настоящей статьи, поэтому здесь основное внимание уделено вопросам определения второго слагаемого и взаимосвязи между компонентами напряжений, представленных в различных системах координат. Используются следующие условные обозначения для компонент перемещений: и для декартовых координат Для определения частных производных от перемещений воспользуемся формулами перехода от декартовой системы координат. Цилиндрическая система координат: (26) Сферическая система координат: ; (27) Взаимосвязь между декартовыми сферическими компонентами напряжений определяется соотношениями (28): (28) Для перехода от сферических или цилиндрических компонент напряжений к полярным записывается одинаковая система уравнений (29): (29) Полученные соотношения (26)-(29) позволяют определить подынтегральную функцию второго слагаемого уравнения (25), а именно , индекс k принимается равным 1. Для простоты вычисления вводятся условные обозначения: , тогда в сферической и цилиндрической системах координат получается: (30) С учетом : уравнения (30), частная производная определится уравнением (31): (31) При подстановке формулы (31) в уравнение (25), с учетом формул (18) и (23) получается окончательное выражение для контурного J-интеграла в пространстве при смешанных формах деформирования. В качестве примера, демонстрирующего свойства J-интеграла в трехмерном случае, приведены графики зависимостей из работы [70]. В данной работе авторами рассмотрено эксплуатационное повреждение насадного диска в радиусном сопряжении шпоночного паза в виде четвертьэллиптической трещины. На рис. 9, a, показаны распределения In по двум направлениям: на торцевой поверхности ступицы (точка а) и на внутренней поверхности шпоночного паза по толщине ступицы (точка b) в зависимости от нормированного размера трещины, и на рис. 9, b, распределения пластического коэффициента интенсивности напряжений Kp вдоль фронта трещины для двух геометрий дефектов. Анализ результатов показал, что значения In на свободной поверхности наиболее высокие. Параметр Kp показывает чувствительность к геометрическим размерам трещины. 4. Контурный интеграл при смешанных формах деформирования в условиях ползучести Эксплуатация машин и механизмов достаточно часто происходит с появлением дефектов в условиях усталости и ползучести. Подобные явления малоизученны. Основоположниками исследований в данной области являются Л.М. Качанов и Ю.Н. Работнов. В дальнейшем Q. Meng, J.W. Hutchinson, J.L. Bassani, S. Murakami сконцентрировались на вопросах изучения микромеханизмов разрушения, в том числе при термомеханическом нагружении. Самый сложный вопрос касается прогнозирования роста трещины. В подробных исследованиях, описанных в трудах A. Saxena, K.B. Yoon, J.L. Bassani, продемонстрировано, что в условиях ползучести наиболее подходящим параметром, описывающим поведение среды, является С-интеграл, предложенный в работе J.D. Landes аналогично J-интегралу в условиях развитой пластичности. a b Рис. 9. Распределение In и пластического КИН в зависимости от (а) размера трещины и (b) вдоль фронта трещины Fig. 9. Plastic SIF distributions as a function of (a) crack size and (b) crack front angle Уравнения для определения С-интеграла Параметр Первая стадия ползучести Вторая стадия ползучести Маломасштабная ползучесть (Ct) SSC Ct (Ct) avg Переходная ползучесть tTp tT Развитая ползучесть C* (t) C* C* (t) (Ct) avg Подробный анализ существующих представлений С-интеграла приведен в работе Н.В. Бойченко [54] для маломасштабной, переходной и развитой ползучести в первой и во второй стадиях и обобщен автором в форме таблицы. Огромная многолетняя систематическая работа по изучению вопросов поведения материалов в условиях усталости и ползучести проделана коллективом авторов во главе со В.Н. Шлянниковым Первостепенно авторы [54-62], основываясь на расчетно-экспериментальных исследованиях, показали эффективность использования пластического коэффициента интенсивности напряжений для интерпретации скорости роста трещины при смешанных формах разрушения для образцов различной геометрии с прямолинейными иповерхностными трещинами. В.Н. Шлянников и А.В. Туманов показали, как можно выразить асимптотические поля НДС через параметр коэффициента интенсивности напряжений при ползучести. В результате представлен алгоритм нахождения контурного In-интеграла в области вершины трещины с учетом локализованной и развитой нелинейности при ползучести, уточнена формула определения С*-интеграла через параметры скоростей перемещений на линии нагружения для условий интенсивной ползучести, а также представлена новая формулировка характеристики сопротивления разрушению в виде коэффициента интенсивности напряжений для условий маломасштабной и развитой ползучести для прямолинейных и криволинейных по фронту сквозных и поверхностных трещин в экспериментальных образцах. Поскольку стадия установившейся ползучести проявляется как идеальная пластичность, данными авторами в дальнейших работах предложено вычислять C*-интеграл из решения для J-интеграла с помощью замены компонент деформаций на их скорости. В работах [47-57] продолжено исследование поведение параметров ползучести и сопротивления разрушению в трехмерных задачах конечной толщины с использованием уравнений эволюции повреждений. Модель повреждения представлена с использованием формулировки, основанной на напряжениях. С помощью метода конечных элементов проанализированы изменения напряжения ползучести и управляющего параметра вершины трещины в терминах In-интеграла ползучести по времени и изменения повреждений ползучести, рассмотрены вариации контура повреждения ползучестью и управляющих параметров вершины трещины в терминах интеграла ползучести по времени, а также размера трещины. Обсуждается применение ранее введенного коэффициента интенсивности напряжений ползучести в качестве чувствительного к повреждению ползучести параметра взаимодействия ползучести и усталости. Далее исследования с использованием C-интеграла продолжено в работе [48], получено единое уравнение скорости роста трещины с использованием эквивалентного нелинейного коэффициента интенсивности напряжений, малоцикловой усталости и свойств материала ползучести при повышенной температуре. Контурные интегралы J и C* содержат в явном виде параметры In и Kp, в связи с чем в научных исследованиях акцент делается на демонстрации результатов вычислений для этих параметров. Выше приведены демонстрационные примеры для контурных интегралов a b Рис. 10. Поведение контурного In интеграла и коэффициента интенсивности напряжений при ползучести для моделей на основе напряжений (а) и на основе деформаций (b) Fig. 10. Behaviour of creep In-factor and Creep stress intensity factor for (a) stress-based and (b) ductility-based models в плоских и трехмерных задачах в условиях пластичности и градиентной пластичности. В данной части продемонстрированы графики зависимостей величин In и Kp от различных параметров при смешанных формах деформирования (рис. 10) в условиях ползучести для различных степеней поврежденности, представленные в работе [49]. Из графиков видна прямая зависимость контурного интеграла от степени поврежденности, эти эффекты особенно заметно проявляются с увеличением времени. Заключение В представленной работе получены аналитические формулы для контурных интегралов в нелинейной механике разрушения для плоских и трехмерных задач при смешанных формах деформирования в условиях пластичности и ползучести. Описан обобщенный контурный J-интеграл в рамках градиентной теории пластичности. Представлен обзор задач с применением контурных интегралов.

About the authors

A. M Tartygasheva

Kazan Scientific Center of Russian Academy of Sciences

References

Statistics

Views

Abstract - 364

PDF (Russian) - 228