Full Text

В сложившихся условиях дефицита инженерных кадров в области оборонной, металлургической, машиностроительной и ряда других отраслей промышленности возникает необходимость оперативно решать исследовательские и конструкторско-технологические вопросы, в частности обеспечение условий усталостной прочности работы деталей машин и механизмов в регламентные сроки, что требует значительных финансовых затрат, в связи большим объемом испытаний и отсутствием единой теоретической базы. В статье предлагается решение проблемы построения математических моделей на основании рассмотрения вероятностно-статистического подхода для выработки рекомендаций к дальнейшей эксплуатации элемента конструкции в ходе оценки его напряженно-деформированного состояния. Несмотря на наличие множества различных подходов для решения этой проблемы, необходимость в создании новых подходов в решении прикладных задач усталостной прочности деталей машин достаточно актуально. 1. Статистическая обработка информации Статистическая обработка информации, полученной в виде рядов распределения параметров цикла нагрузки усталостной прочности, заключается в определении их выборочных характеристик среднего квадратичного отклонения (СКВО), коэффициента вариации, интервальной оценке характеристик генеральной совокупности, графическом оформлении рядов распределения и подборе теоретических законов распределения. Все указанные выше задачи решаются на основе методов математической статистики, куда входят [1-13] условные обозначения и формулы для определения выборочных характеристик: xj - наблюдаемое значение случайной величины или величина, принятая для обозначения j-го разряда, в который попало наблюдаемое значение; nj - частота (разрядная частота), число появлений случайной величины xj; в данной серии испытаний; n - объем ряда: x1, x2,…, xj,…, xk дискретный ряд распределения случайной величины - величины, принятые для n1, n2,…, nj,…, nk обозначения разрядов, и частоты наблюдаемых значений, попавших в эти разряды. ; ; ; , где pj - частость (статистическая вероятность попадания случайной величины напряжений в j-й разряд); Nj - накопленная частота; Pj - накопленная частость. где mh - начальный момент ряда распределения; μh - центральный момент ряда распределения; <x> - выборочное среднее значение (среднее арифметическое); <x> = mh; S2 - дисперсия (выборочная дисперсия) где S - СКВО или основное отклонение (стандарт); v - коэффициент вариации (мера изменчивости) C - цена разряда; σj - амплитуда j-го разряда в единицах напряжения: 2. Графическое оформление ряда распределения напряжений Гистограмма ряда распределения строится по оси абсцисс: в определенном масштабе откладывают разряды, и на каждом из них, как на основании, строят прямоугольник, площадь которого равна частости данного разряда (высота прямоугольника есть отношение частости разряда к его длине). Полная площадь гистограммы равна единице (рис. 1). Рис. 1. Гистограмма ряда распределения Fig. 1. Histogram of the distribution series Полигон частостей выстраивают в виде середины разрядов на гистограмме, которые соединяются отрезками прямых (рис. 2). Рис. 2. Полигон частостей Fig. 2. The polygon of particles Полигон накопленных частостей характеризуется абсциссой точек, которая считается границей интервала xj + 1/2, а ординатой - накопленная частость и последовательность указанных точек соединяется отрезками прямых (рис. 3). Рис. 3. Полигон накопленных частостей Fig. 3. Polygon of accumulated particles 3. Подбор теоретических законов распределения напряжений производят путем графического сопоставления эмпирического распределения с некоторыми наиболее близкими по характеру теоретическими законами. Очень важен при этом правильный выбор системы координат, в которой осуществляется сопоставление законов распределения (желательно, чтобы один из них изображался на графике прямой линией). Например, нормальное распределение изображается прямой линией, если ось абсцисс имеет равномерную шкалу, а ось ординат - вероятностно-нормальную. Эмпирическое распределение того же процесса в этой системе координат изобразится в виде ломаной линии со случайными отклонениями от прямой. По степени совпадения ломаной линии с прямой можно дать приближенную оценку соответствия теоретического закона эмпирическому распределению. Более строгая оценка соответствия законов распределения производится при помощи специальных критериев согласия. Критерий Пирсона χ2 (наиболее мощный) , где nj - эмпирическая частота j-го разряда; - теоретическая (выравнивающая) частота j-го разряда. Вычисленная таким образом величина сравнивается с табличным значением критерия χ2 для выбранного уровня значимости α и числа степеней свободы , где к - число параметров теоретического закона распределения. Если - гипотеза о соответствии законов распределения (нулевая гипотеза) отвергается, а если - нет основания отвергать нулевую гипотезу. Возможно применение других критериев (Колмогорова, Романовского, Смирнова), но в любом случае следует помнить о том, что все статистические критерии, начиная с некоторого объема ряда, чувствительны к сколько угодно малым колебаниям выборочного распределения около ожидаемой функции. А ведь такие отклонения неизбежны, ибо порождаются самой природой временного колебания эксперимента. В результате гипотеза о соответствии эмпирического распределения теоретическому закону может быть отвергнута при ее полной практической пригодности. Поэтому всегда необходима предварительная визуальная оценка соответствия распределения [3-5]. 3. Статистический анализ напряжений Ряды распределений амплитудных напряжений и статистические параметры распределений являются исходными данными для анализа условий нагружения деталей машин. Ускорить проведение анализа помогают графики распределений (см. рис. 1-3). Анализ напряженного состояния производится в два этапа: 1. Предварительный анализ с приближенными оценками исследуемых факторов. Параметры рядов распределения напряжений сопоставляются с характеристиками усталостной прочности, определяется число амплитуд, превышающих предел выносливости детали. Для оценки влияния различных факторов на распределение напряжений в детали сопоставляются параметры распределений, полученных при воздействии на процесс каждого фактора (только одного) [14-17]. 2. Расчетный анализ. В основе расчетных формул лежит линейная гипотеза суммирования относительных долговечностей [18-23]. где ni - частота напряжения σai (за весь срок службы детали); Nj - число циклов до разрушения при амплитуде σai по исходной кривой усталости детали, полученной при испытании с постоянными амплитудами напряжений; a = 1 согласно линейной гипотезе или a = ap при корректировке линейной гипотезы. Необходимость в корректировке линейной гипотезы возникает в том случае, когда разность между наибольшим и наименьшим уровнями напряжений велика, а относительное время действия амплитуд высоких уровней мало. Расчетная сумма относительных долговечностей определяется по формуле , где - среднее значение максимальной амплитуды цикла; - медианное значение предела выносливости детали на совокупности всех плавок металла данной марки и отклонений фактических размеров от номинальных значений; ω - коэффициент, характеризующий влияние на условие суммирования относительных долговечностей напряжений ниже исходного предела выносливости (обычно принимают ω = 0,5); , где - максимальная амплитуда напряжений; - амплитуда напряжений i-го уровня; k - число полей напряжений в блоке нагрузки; ti - относительное число циклов в блоке нагрузки, соответствующее амплитуде напряжений i-го уровня. Для параллельной проверки правильности выбранного подхода используем классические зависимости сопротивления материалов, например, для случая поперечного изгиба ; , где , - изгибающий момент и поперечная сила из эпюр соответствующих усилий; , , - осевой момент инерции, статический момент отсеченной части, момент инерции сечения детали и ее ширина; τпоп - поперечные касательные напряжения, равные продольным по закону о парности касательных напряжений, которые вычисляются по формуле Журавского [6, 7, 9-11]. Далее оцениваем суммарную ошибку по экспериментальным и теоретическим нормальным и касательным напряжениям, как показывает практика использования стальных образцов, методическая ошибка составляет [23]: Для некруглой геометрии профиля, вследствие большего разброса механических характеристик, эта погрешность несколько возрастет. Ошибка непосредственного расхождения теоретических и экспериментальных значений напряжений и температуры физико-механического процесса составляет δтэ = 0,05. Тогда суммарная ошибка = 0,054. С учетом сказанного выше более точным представляется использовать температурно-временную суперпозицию в виде функции долговечности Журкова флуктуационной кинетической теории прочности при разрушении композитного материала, так как тепломассоперенос играет важную роль при оценке усталостной прочности [7] , где - константа среды, не зависящая от температуры; - - линейная энергия активации процесса разрушения; - эквивалентное (разрушающее) напряжение; k - постоянная Больцмана; T - заданная фиксированная температура; γ - показатель локальных объемных повреждений и определяется при испытаниях на усталостную прочность. В формуле температуры можно заменять на τ, σ и другие параметры, обеспечивающие усталостную прочность. Статистический анализ напряжений позволяет решать следующие задачи: 1) оценка уровня напряжений; 2) прогноз средней долговечности; 3) определение вероятности разрушения до заданного срока службы; 4) сравнение различных вариантов конструкции и выбор оптимального варианта по критериям долговечности; 5) определение коэффициентов запаса усталостной прочности; 6) необходимость и степень переработки конструкции с целью обеспечения заданного ресурса, в частности, при повышении мощности и скорости движения машин; 7) обоснование режимов ускоренных испытаний машин и их элементов. Заключение При предложенном аналитическом подходе исследования механических характеристик усталостной прочности с использованием классической вероятностно-статистической структуры, флуктуационной кинетической теории прочности и результатов эксперимента следует проводить исследование усталостной прочности с дальнейшим уточнением физико-механических характеристик функционирования материала детали (прочности, жесткости, твердости, износостойкости, ударного и динамического нагруженния, коррозионной стойкости) с обеспечением требований надежности в режиме малоцикловой усталости при использовании моделей ползучести и релаксации напряжений, диаграмм Гудмена, Серенсена - Кинасошвили, основных классических зависимостей сопротивления материалов, что составляет довольно сложную самостоятельную задачу.

About the authors

A. V Kulagin

Udmurt State University

E. V Russkih

Udmurt State University

References

Statistics

Views

Abstract - 229

PDF (Russian) - 111