Full Text

Введение При оценке срока службы конструктивных элементов, подверженных переменным нагрузкам, необходимо уже на этапе проектирования знать поведение материала в процессе циклической пластичности. Для этого требуются соответствующие модельные представления о накоплении и развитии повреждений, предопределяющие поведение материала. Исходя из основных положений механики поврежденности сплошной среды, накопление различных дефектов, микропор, трещин со временем приводит к изменению механических свойств материалов. Если поведение упругого материала - это обратимый процесс, то пластичность описывает необратимую деформацию твердого тела. Полное описание поведения материала выше предела текучести невозможно без учета микроразрушения материала и процесса, ведущего к его окончательному разрушению. В литературе известны модели накопления поврежденности, с которыми можно подробно ознакомиться в работах [1-17]. В основополагающе работе Л.М. Качанова [6] введена скалярная внутренняя переменная для моделирования разрушения металлов ползучестью при одноосном нагружении. Физическое обоснование данной переменной позднее дал Rabotnov [7], предложив считать уменьшение площади поперечного сечения за счет микротрещин в качестве меры состояния внутренних повреждений. Со временем концепция переменного внутреннего повреждения была распространена на трехмерные ситуации. Leckie и Hayhurst [8] использовали идею Качанова для определения модели ползучести при многоосных напряжениях. Скалярная переменная повреждения была также рассмотрена Lemaitre и Chaboshe [9-11] при определении чисто феноменологической модели пластического изотропного повреждения в металлах. Основываясь на гипотезе эквивалентности деформаций, которая гласит, что деформационное поведение поврежденного материала представлено конституционными законами неповрежденного материала с заменой истинного напряжения эффективным напряжением [1], постулирован закон, в котором стандартное определение параметра повреждения с точки зрения уменьшения несущей поверхности заменяется в модели Lemaitre путем уменьшения модуля упругости в идеально изотропном случае. Эта теория была дополнена Lemaitre [11], а эффекты старения были позже включены Marquis и Lemaitre [12]. Позже оригинальная изотропная модель была расширена Lemaitre [13] для учета анизотропии повреждений. Изотропное упрочнение хорошо подходит для описания стадий упрочнения и разупрочнения [18]. Эффект циклического упрочнения/разупрочнения соответствует уменьшению/увеличению сопротивления материала деформированию, подвергающегося циклической нагрузке. Кинематическое упрочнение благодаря обратным напряжениям способно учесть основное и хорошо известное явление циклической пластичности - эффект Баушингера [19]. Эффект Баушигера описывает явление уменьшения предела упругости при изменении знака нагружения (сжатия), если до этого имела место малая пластическая деформация. Комбинированное упрочнение способно описать накопление пластической деформации во время циклического нагружения при наличии среднего напряжения. Первые предложения об описании кинематического упрочнения сформулировали Ишлинский [20] и Prager [21]. Линейное кинематическое упрочнение Прагера является простейшим правилом кинематического упрочнения и способно представить эффект Баушингера, но не способно вызвать накопление пластической деформации при наличии среднего напряжения. Это связано с тем, что кривые «напряжение - деформация» имеют форму замкнутых петель гистерезиса [22]. В работе [23] Armstrong и Frederick (AF) разработали нелинейный закон кинематического упрочнения, в основу которого заложен закон Прагера и учет обратных напряжений. Применимость данной модели упрочнения описана в работах [24; 25]. Формулировка Armstrong - Frederick высоко оценена исследователями. Так в работе [26] авторы показали способность модели достаточно хорошо моделировать одноосные эксперименты, включая накопление пластической деформации во время циклического нагружения. В исследовании [27] была продемонстрирована применимость AF для прогнозирования трещотки и обратной пластичности при циклическом нагружении толстых цилиндрических и сферических сосудов при различных типах нагрузок, таких как термические, механические и их комбинации. Авторы работы [28] расширили закон и применили его для исследования поведения упругопластических композитов. В исследовании [29] использован AF для моделирования пластичности кристаллов. Кинематический закон упрочнения Armstrong - Frederick имеет множество модификаций, ознакомиться с которыми можно в работах [30-34]. В известных релизах вычислительного МКЭ-комплекса ANSYS отсутствует возможность расчёта напряжённо-деформированного состояния с учётом поврежденности материала с использованием модели Lemaitre. Возможность такой реализации представлена в статье [35] путем использования модели поврежденности Lemaitre с экспоненциальным изотропным упрочнением Voce. Тем не менее реализация кинематического закона упрочнения для расчетов напряженно-деформированного состояния тел при упругопластическом деформировании с учётом накопления и развития повреждений является актуальной, что является целью настоящей работы. 1. Модельные представления Перед тем как описать реализацию модели поврежденности Lemaitre с кинематическим упрочнением, ниже приведены основы использованных модельных представлений. 1.1. Модель поврежденности Lemaitre Согласно традиционной модели Lemaitre, прирост параметра поврежденности разработан на основе термодинамической теории, накоплении пластических деформаций и скорости деформации повреждений. В общем виде модель Lemaitre описывается в виде [9]: (1) (2) , (3) где - скорость роста параметра поврежденности, - скорость накопления пластических деформаций, Y - скорость выделения энергии деформации повреждений, E - модуль упругости первого рода, - коэффициент Пуассона, - параметры материала, - параметр трёхосности, р - гидростатическое напряжение. Отношение является параметром трехосности напряжений. Оно учитывает влияние многоосности нагружения на процесс накопления повреждений. Параметр поврежденности существует в диапазоне , и в случае материал не имеет повреждений, а при считается разрушенным. 1.2. Кинематическая модель упрочнения Armstrong - Frederick Закон Armstrong - Frederick является классическим нелинейным законом кинематического упрочнения [23], потому что он основан на физическом механизме деформационного упрочнения и динамического восстановления и обладает способностью достаточно хорошо представлять формы петель гистерезиса. Функция текучести задается в виде: , (4) где - девиатор тензора напряжений; - девиатор тензора обратных напряжений, представляющий собой термодинамическую силу, связанную с кинематическим упрочнением (рис. 1, а), и определяющий перемещение поверхности текучести в пространстве главных напряжений; k - функция изотропного упрочнения, которая определяет размер поверхности текучести. Скорость изменения обратного напряжения определяется зависимостью (5) в которой a и b - константы материала; - приращение пластической деформации; - общая пластическая деформация. Очевидно, что при поверхность текучести определяется изотропной функцией упрочнения (рис. 1, b). а b Рис. 1. Кинематическое упрочнение (а) с эффектом Баушингера и изотропное упрочнение (b) в пространстве главных напряжений Fig. 1. Kinematic hardening (а) with the Bauschinger effect and isotropic hardening (b) in the space of large stresses Для реализации модели поврежденности Lemaitre с кинематическим упрочнением модельные представления, представленные в уравнениях (1)-(5), были объединены в общую структуру разрешающих уравнений и заложены в конечно-элементый комплекс ANSYS для учета поврежденности и ее влияния на напряженно-деформированное состояние элементов конструкций. 1.3. Описание программы Структура программного комплекса ANSYS такова, что она предполагает реализацию пользовательских законов поведения материала в каждом узле конечно-элементной сетки через подключаемые динамические библиотеки. Совместимость подпрограммы Usermat с остальными библиотеками программного комплекса обеспечивается предопределённым набором входных и выходных параметров [36]. К входным параметрам относятся: приращения деформаций, время начала приращений, количество шагов нагружения, номер элемента, а также основные механические свойства материала, вводимые пользователем. Выходными параметрами являются: векторы напряжений и пластических деформаций в точке интегрирования, матрица Якоби, пластическая и упругая работы при приложении нагрузки. На первом шаге интегрирования модели накопления повреждений в программном комплексе расчётов по методу конечных элементов необходимо составить упругую матрицу жёсткости [37]: . (6) В качестве основы для математического моделирования пластичности по теории конечных деформаций тензор полных деформаций может быть разделен на упругую и пластическую составляющие: , (7) где - тензор деформаций на предыдущем шаге нагружения; - тензор приращения деформаций на данном шаге нагружения, где - тензор пластической деформации на предыдущем шаге нагружения. В первом приближении на основе полученных приращений деформаций тензор напряжения вычисляется по закону Гука: . (8) Вычитая обратное напряжение, получаем относительное напряжение: , (9) где - тензор девиатора приближенных напряжений, найденные в (8). Далее рассчитывается тензор-девиатор относительных напряжений и определяются его эквивалентные напряжения: , (10) , (11) , (12) где - напряжения главной диагонали матрицы напряжений. Аналогично с эквивалентными деформациями: , (13) , (14) . (15) Предел текучести на данном шаге нагружения рассчитывается по экспоненциальному закону упрочнения Voce и зависит от эквивалентных пластических деформаций : , (16) где - асимптотический предел временного сопротивления, - показатель упрочнения материала, - предел текучести материала по результатам испытания на статическое растяжение. Уравнение (16) описывает изотропное упрочнение, а k называют термодинамической силой изотропного упрочнения [1]. Сочетание кинематического и изотропного законов позволяет считать реализованный в данной статье закон упрочнения комбинированным. Как правило, в реальных материалах наблюдается именно комбинация упрочнения, так как при пластической деформации поверхность текучести расширяется/сжимается и одновременно перемещается в пространстве напряжений. Критерий текучести (4) с учетом (12) и значением параметра поврежденности на данном шаге нагружения в каждой точке интегрирования принимает форму: . (17) При упругие приближенные деформации и напряжения остаются неизменными, и подпрограмма считается выполненной ввиду того, что отсутствие пластических деформаций означает отсутствие поврежденности. При - производится перерасчёт напряжений и определяется приращение пластических деформаций. Определение параметра поврежденности осуществляется с помощью выполнения условия сходимости, основанном на итерационном методе Ньютона - Рафсона, который зависит от приращения пластических деформаций . Алгоритм подробно описан в работе [25]: , (18) где , (19) (20) Запишем внутренние переменные, от которых зависят уравнения (18)-(20) в виде Для решения этой нелинейной задачи система линеаризуется с помощью разложения в ряд Тейлора без учета членов более высокого порядка: (21) , (22) где - матрица Якобиана. Полностью матрица Якобиана записывается в следующем виде , (23) где , (24) , (25) , (26) , (27) (28) (29) , (30) (31) (32) (33) . (34) (35) , (36) , (37) , (38) , (39) , (40) . (41) В уравнениях (18)-(36) подразумевается, что , а - диадическое произведение. Следует отметить, что при критерий текучести в (17) стремится к бесконечности что не позволяет достичь предельного теоретического параметра поврежденности. Изложенный алгоритм был реализован в виде программного кода на языке Fortran. 2. Верификация программы Верификация программы, основанная на алгоритме (6)-(41), осуществлялась поэтапно. На первом этапе, который представлен и описан в данной статье, внимание сконцентрировано на верификации накопления пластической деформации и параметра поврежденности при монотонном нагружении. Помимо этого, была проверена способность приведенной динамической библиотеки описывать диаграмму статического растяжения. Второй этап будет относиться к верификации поцикловой кинетики накопления пластических деформаций и способности кинематического упрочнения описать петли гистерезиса при испытаниях на малоцикловую усталость. В данной работе объектом верификации выступал цилиндрический образец с внешним кольцевым надрезом, подвергнутый монотонному осевому растяжению. Пошаговое перемещение торца образца не связано с циклическим деформированием, а учитывает лишь накопление пластической деформации. Для сравнения полученных данных, таких как параметр поврежденности, а также положение максимального значения поврежденности, была выбрана геометрия образца (рис. 2), используемая в работах [1; 38]. Рис. 2. Конечно-элементная модель образца Fig. 2. Finite element specimen model Расчетная схема метода конечных элементов была сформирована из восьмиузловых элементов второго порядка (см. рис. 2). Задача моделировалась в осесимметричной постановке с приложением перемещений к верхней грани образца, максимальная величина которых u = 0,576 мм соответствовала литературным данным [1; 38]. Свойства используемого материала представлены в таблице и были получены в работе [39] путём проведения статических одноосных испытаний на низкоуглеродистой стали AISI 1010. Основные механические свойства материала Main mechanical properties of the material E, МПа σ0, МПа r s a, МПа b 210 000 620 0.3 3300 0.4 1 3.5 2500 20 На рис. 3 приведена зависимость параметра поврежденности от значения приложенных перемещений к верхней грани образца. Накопление повреждений на протяжении численного эксперимента имеет идентичный характер по отношению к известным решениям в литературе [38]. Следует отметить, что при увеличении значений поврежденности точность расчёта уменьшается, но максимальное значение поврежденности выше. Наблюдаемые отличия в результатах расчета обусловлены зависимостью программной реализации модели и размерностью конечно-элементной схемы. Рис. 3. Максимальное значение параметра поврежденности в зависимости от перемещения верхнего края образца Fig. 3. The maximum value of the damage parameter depending on the movement of the upper edge of the sample На рис. 4 изображены контуры распределения поврежденности для различных стадий статического нагружения, где в правом ряду показаны поля, полученные Рис. 4. Распределение параметра повреждённости в зависимости от перемещения верхнего края образца Fig. 4. Distribution of the damage parameter depending on the displacement of the upper edge of the sample Рис. 5. Распределение параметра повреждённости при значении перемещения u = 0,576 мм Fig. 5. Distribution of the damage parameter with the value moving u = 0.576 mm Рис. 6. Диаграммы одноосного растяжения стали AISI 1010 Fig. 6. Tension test curve of AISI 1010 steel благодаря внедренной динамической библиотеке, а в левом ряду - поля, приведенные в работе [28]. Можно наблюдать перераспределение полей повреждений по мере увеличения приложенных смещений к верхней грани образца. При малых значениях приложенных смещений максимум поврежденности наблюдается на внешней поверхности образца в вершине кольцевой выточки. По мере увеличения приложенных перемещений максимум повреждений смещается к линии симметрии образца. Данная тенденция изменения полей напряжений подтверждается литературными данными [1; 38]. Помимо осесимметричной постановки также была решена объемная задача при моделировании монотонного нагружения образца с внешним кольцевым надрезом (рис. 5). Распределение параметра поврежденности при значении перемещения u = 0,576 мм демонстрирует идентичные значения с осесимметричной постановкой при соответствующем значении перемещения. Поведение материала в каждом узле конечно-элементной сетки должно соответствовать диаграмме одноосного растяжения вне зависимости от характера и направления приложенной нагрузки. На рис. 6 изображена зависимость напряжений от перемещения (красный цвет) для узла с максимальным значением поврежденности, полученная с помощью численного расчета по методу конечных элементов с использованием собственной подпрограммы пользовательского материала. Можно заметить, что данная зависимость совпадает с экспериментальной (черный цвет), полученной в исследовании [39]. Помимо этого, на рисунке наглядно продемонстрировано, как повреждение в равной степени снижает предел текучести (синий цвет), эквивалентные обратные напряжения (зеленый цвет), являющиеся атрибутом кинематического упрочнения, а также термодинамическую силу изотропного упрочнения k (красный цвет). При этом по мере накопления пластических деформаций параметр поврежденности, который связан с ними непосредственно (1), оказывает большее влияние на перечисленные напряжения. Это связано с тем, что в модели Lemaitre [9] эквивалентные напряжения заменяются на эффективные напряжения путем деления первых на 1-ω. Приведённые распределения также подтверждаются литературными данными [38]. 3. Обсуждение В результате верификации, полученной в настоящей работе на основе (1)-(5), наблюдается подобие в перемещении координаты максимума повреждений с данными по закону traction-separation law - TSL [40] когезионного подхода механики разрушения, который широко используется для композиционных, квазихрупких и пластичных материалов. TSL описывает поведение повреждающего материала перед вершиной трещины и используется для моделирования локализации повреждений и разрушения конструкции [41]. В отличие от модели Lemaitre, в которой накопление повреждений зависит от роста пластической деформации, в когезионной модели поврежденность учитывается в неявном виде [42-44]. Форма закона TSL состоит в том, что напряжения, которые могут возникнуть в материале, не должны превышать предел истинной прочности. Поврежденность образуется при достижении предельных когезионных напряжений, обусловливающие локальный отрыв и раскрытие. Подобие результатов данной статьи с уравнениями когезионной прочности можно наблюдать в работе [45], в которой на цилиндрическом образце с внешним кольцевым надрезом при монотонном растяжении авторами было получено распределение осевых напряжений. Эти напряжения увеличивались вдоль плоскости, проходящей через область сужения образца, от внешней поверхности к его центру. Максимальное осевое напряжение локализовано в центре образца и являлось предельным - то есть напряжением, при котором происходит разрушение. Несмотря на то что в модели когезионной прочности и Lemaitre используются два разных типа конститутивных уравнений, физический смысл данных уравнений состоит в одном - визуализация и идентификация механизмов и координат повреждений. Они достигаются разными путями, но приводят к одному и тому же результату. Заключение Результаты данной работы можно изложить в следующем виде: А. Сформирован алгоритм, основанный на наборе разрешающих уравнений, объединяющий модель накопления повреждений Lemaitre и закон кинематического упрочнения Armstrong - Frederic. Б. Реализован алгоритм, включающий модель поврежденности Lemaitre с кинематическим законом упрочнения, в виде динамически подключаемой библиотеки пользовательского материала программного комплекса расчетов по методу конечных элементов ANSYS. В. Проведена верификация алгоритма в отношении параметра накопления поврежденности в случае монотонного нагружения, а также способности описывать диаграмму статического растяжения. Продемонстрировано, что стадии и поля накопленных повреждений в численном эксперименте при осесимметричной и трехмерной постановках совпадают с аналогичными численными экспериментами, известными в литературе. Г. Приведена аналогия с доминирующими моделями механики разрушения.

About the authors

D. I Fedorenkov

Institute of Power Engineering and Advanced Technologies FRC Kazan Scientific Center of RAS

D. A Kosov

Institute of Power Engineering and Advanced Technologies FRC Kazan Scientific Center of RAS

References

Statistics

Views

Abstract - 390

PDF (Russian) - 184