# Abstract

The dynamics of a Bernoulli – Euler beam lying on an elastic foundation is consid-ered. A generalized model of an elastic foundation is selected, which includes two inde-pendent bedding coefficients: the stiffness of the foundation for tensile-compression deformation and for shear deformation. Unlike the classical elastic foundation model (Winkler's model), the generalized model takes into account the distribution capacity of the soil, i.e. its property to settle not only under the loaded area, under the foundation, but also near it. The beam is considered to be infinite. Such idealization is permissible if optimal damping devices are located on its boundaries, that is, the parameters of the boundary fixation are such that the perturbations falling on it will not be reflected. This makes it possible to consider the beam model without taking into account the boundary conditions, and consider vibrations propagating along the beam as traveling bending waves. The influence of a two-constant elastic foundation on the parameters of a bending wave propagating in a beam is studied. It is shown that with an increase in the shear stiffness of the elastic base, waves with the same wavenumber (i.e., waves of the same length) will have a higher frequency, higher phase and group velocities. For the system under consideration, the energy transfer equation is written in divergent form. It is shown that the average rate of energy transfer is equal to the group velocity of the flexural wave. The equality of these velocities serves as an additional factor indicating the internal physical consistency of the model of bending vibrations of a beam lying on a general-ized elastic foundation.

# Full Text

В прикладной механике под упругим основанием принято понимать расчетную модель среды, сопротив-ляющейся деформированию взаимодействующей с ней конструкции. В теории сооружений такой средой вы-ступает, как правило, грунтовое основание. Классическая модель (обычно называемая моделью Винклера) упругого основания базируется на гипотезе Э. Винклера (1867) [1], развитой Х. Циммерманом (1888) [2], о том, что при давлении на поверхность грунта на какой-либо одной малой площадке грунт бу-дет оседать только под ней. Таким образом, классиче-ская модель упругого основания не учитывает распре-делительную способность грунта, т.е. его свойство осе-дать не только под нагруженной областью, под фунда-ментом, но и вблизи него. Модель, учитывающую распределительную спо-собность грунта, называют обобщенной моделью упру-гого основания. Она сформировалась к середине 50-х – началу 60-х гг. ХХ в. Появление модели и ее развитие связаны с работами К. Вигхорта (1922) [3], М.М. Фило-ненко-Бородича (1945) [4], М. Хетенеи (1946) [5], П.Л. Пастернака (1954) [6], В.З. Власова и Н.Н. Леонть-ева (1956, 1960) [7; 8], Э. Рейсснера [9]. В основу обоб-щенной модели положено «сплошное упругооседающее и упруговращающееся основание» [6]. Свойства такого основания описываются двумя независимыми коэффи-циентами постели: коэффициентом сжатия h1 и учиты-вающим совместную работу соседних областей коэф-фициентом сдвига h2. Обобщенную модель упругого основания называют двухкоэффициентной [6], двуххарактеристической [10; 11], двухпараметрической [12–15], но чаще всего – мо-делью Пастернака (см., например, [16–20]). Если дисперсионные свойства изгибных волн, рас-пространяющихся в балке, лежащей на классическом упругом основании, хорошо известны, то о модели, со-держащей обобщенное упругое основание, такого ска-зать нельзя. Знание дисперсионных зависимостей той или иной модели позволяет использовать такую модель в нераз-рушающем контроле конструкций [21]. Кроме того, ин-терес к задачам устойчивости и волновой динамики балок, лежащих на упругом основании, определяется необходимостью расчета динамического поведения рельсовых направляющих (например, ракетного трека [22; 23]), несущих высокоскоростные движущиеся нагрузки.

### V. I. Erofeev

Mechanical Engineering Research Institute – Branch of Federal Research Center A.V. Gaponov-Grekhov Institute of Applied Physics of the Russian Academy of Sciences; National Research Lobachevsky State University of Nizhny Novgorod

### A. O. Lenin

Mechanical Engineering Research Institute – Branch of Federal Research Center A.V. Gaponov-Grekhov Institute of Applied Physics of the Russian Academy of Sciences

### E. E. Lisenkova

Mechanical Engineering Research Institute – Branch of Federal Research Center A.V. Gaponov-Grekhov Institute of Applied Physics of the Russian Academy of Sciences

### I. S. Tsarev

Mechanical Engineering Research Institute – Branch of Federal Research Center A.V. Gaponov-Grekhov Institute of Applied Physics of the Russian Academy of Sciences

# References

1. Winkler E. Die Lehre von der Elastizität und Festigkeit. – Prague, 1867.
2. Zimmerman H. Die Berechnung des Eisenbahnoberbauee. – Berlin, 1888.
3. Филоненко-Бородич М.М. Простейшая модель упругого осно-вания, способная распределять нагрузку // Труды Моск. элек-тромех. ин-та инж. трансп. – 1945. – № 53. – С. 92–108.
4. Hetenyi M. Beams on Elastic Foundations. – University of Michigan Press, 1946. – 255 p.
5. Пастернак П.Л. Основы нового метода расчета фундаментов на упругом основании при помощи двух коэффициентов постели. – М.: Госстройиздат, 1954. – 56 с.
6. Власов В.З., Леонтьев Н.Н. Техническая теория расчета фун-даментов на упругом основании // Труды МИСИ. – М.: Строй-издат, 1956. – Вып. 14 (154). – С. 12–31.
7. Власов В.З., Леонтьев Н.Н. Балки, плиты, оболочки на упругом основании. – М.: Гос.изд-во физ.-мат. лит-ры, 1960. – 492 с.
8. Reissner E. Selected Works in Applied Mechanics and Mathematics. – Jones and Bartlett Publishers, Sudbury, Massachu-setts, 1996.
9. Дуплякин И.А. Движение экипажа с постоянной ско-ростью по балке бесконечной длины, лежащей на основании с двумя упругими характеристиками // Прикладная математика и механика. – 1991. – Т. 55, № 3. – С. 461–471.
10. Александров В.М., Дуплякин И.А. Динамика бесконечной бал-ки Тимошенко, лежащей на основании с двумя упругими ха-рактеристиками, при движении деформируемого экипажа // Изв. РАН. Механика твердого тела. – 1996. – № 1. – С. 180–197.
11. Сливкер В.И. К вопросу о назначении характеристик двухпараметрового упругого основания // Строительная меха-ника и расчет сооружений. – 1981. – № 1. – С. 36–39.
12. Eisenberger M., Clastornik J. Beams on variable two-parameter elastic foundation // Computers and Structures. – 1986. – Vol. 23. – P. 351–356.
13. Куреннов С.С. Модель двухпараметрического упру-гого основания в расчете напряженного состояния клеевого соединения // Труды МАИ. – 2013. – № 66. – С. 7. www.mai.ru/science/trudy/
14. Рао Ч.К., Рао Л.Б. Закритическое поведение тонко-стенной свободно опертой балки с открытым профилем поперечного сечения, покоящейся на двухпараметрической упругом основании, при ее кручении // Прикладная механика и техническая физика. – 2018. – Т. 59, № 1(347). – С. 204–213.
15. Wang T.M., Stephens J.E. Natural frequencies of Timo-shenko beams on Pasternak foundations // Journal of Sound and Vibration. – 1977. – Vol. 51, no 2. – P. 149–155.
16. Козел А.Г. Перемещения в круговой трехслойной пластине на двухпараметрическом основании // Механика. Ис-следования и инновации. – 2017. – Вып. 10. – С. 90–95.
17. Козел А.Г., Старовойтов Э.И. Изгиб упругой трехслойной кру-говой пластины на основании Пастернака // Механика компози-ционных материалов и конструкций. – 2018. – Т. 24, № 3. – С. 392–406.
18. Analitical solution for fracture problem of stope roof based on Pasternak foundation model / Q. Feng, Sh. Fu, Ch. Wang, W.W. Liu // Soil Mechanics and Foundation Engineering. – 2019. – Vol. 56, no 2. – P. 142–150.
19. Неразрушающий контроль: справочник: в 7 т. / под ред. В.В. Клюева. – Т. 3: Ультразвуковой контроль. – М.: Ма-шиностроение, 2004. – 864 с.
20. Устойчивость движения высокоскоростных объектов по направляющим ракетного трека / С.В. Бутова, С.И. Гераси-мов, В.И. Ерофеев, В.Г. Камчатный // Проблемы машиностро-ения и надежности машин. – 2015. – № 1. – С. 3–84.
21. Условие на скользящем контакте в анализе устойчи-вости движения ступени на ракетном треке / С.И. Герасимов, В.И. Ерофеев, В.Г. Камчатный, И.А. Одзерихо // Проблемы машиностроения и надежности машин. – 2018. – № 3. – С. 21–27.
22. Ерофеев В.И., Лисенкова Е.Е., Царев И.С. Динамиче-ское поведение балки, лежащей на обобщенном упругом осно-вании, с движущейся нагрузкой // Прикладная математика и механика. – 2021. – Т. 85, № 2. – С. 193–209.
23. Весницкий А.И. Избранные труды по механике. – Н. Новгород: Наш дом, 2010. – 248 с.
24. Бабешко В.А., Глушков Е.В., Зинченко Ж.Ф. Дина-мика неоднородных линейно-упругих сред. – М.: Наука, 1989. – 344 с.
25. Гордон Дж. Конструкции, или почему не ломаются вещи. – М.: Мир, 1980.
26. Малков В.П. Энергоемкость механических систем. – Н. Новгород: Изд-во Нижегородского университета, 1995. – 258 с.
27. Умов Н.А. Избранные сочинения. – М.-Л.: ГИТТЛ, 1950. – 575 с.
28. Герасимов С.И., Ерофеев В.И. Задачи волновой динамики эле-ментов конструкций. – Саров: Изд-во РФЯЦ-ВНИИЭФ, 2015. – 254 с.

# Statistics

#### Views

Abstract - 41

PDF (Russian) - 72

#### PlumX

Copyright (c) 2023 Erofeev V.I., Lenin A.O., Lisenkova E.E., Tsarev I.S.