MODELING OF PRESTRESSED PLATES WITH MATERIAL INHOMOGENEITY, PERFORATIONS AND INCLUSIONS

Abstract


In the present article, we propose the model of in-plane oscillations of inhomogeneous prestressed plates, both solid ones and those containing a set of holes and inclusions made of different materials. We treat the plates’ mechanical properties and the prestress tensor components in the considered 2D problem statement as functions of two coordinates. In order to formulate the boundary value problems of steady-state in-plane vibrations of plates, we employ the general linearized formulation for an elastic body under conditions of an initial stress-strain state. The developed vibration model makes it possible to specify an arbitrary type of prestress state in the plate in the form of analytical dependences, as well as numerically, by solving the corresponding static problem, in which prestresses arise as a result of applying some initial load. To implement the finite element (FE) approach to solving the problems, we formulated the weak problem statement by projecting the original governing equations on the field of test displacements satisfying the essential boundary conditions. To increase the accuracy of calculations for plates with holes and inclusions, the local refinement of FE meshes are used. The proposed approach to calculating plate vibrations is implemented as a software package via FreeFem++. A method for assessing the effect of prestress on dynamic plates’ characteristics under various types of loads is described; a comprehensive analysis is carried out to identify the probing modes, frequency ranges and response pickup areas, most sensitive to the prestress changes, for each of the plates. We systematize and generalize the results obtained during the analysis, give a few practical recommendations on the choice of probing modes for each type of the plates considered, allowing to perform the most efficient schemes for identifying the prestress components.

Full Text

Ввиду активного применения в промышленности новых функционально-градиентных материалов (ФГМ) со сложными неоднородными физико-механическими свойствами, для которых характерно наличие предвари- тельного напряженно-деформированного состояния, одной из наиболее актуальных задач современной ме- ханики деформируемого твердого тела является разра- ботка и развитие моделей объектов, изготовленных из таких материалов. Современные технологии изготовле- ния ФГМ, например 3D-печать, позволяют создавать объекты сложной геометрии, не используя классические технологии, в том числе литье, требующее дополни- тельного производства пресс-форм. Для изготовления ФГМ обычно используются высокотемпературные тех- нологии [1; 2], такие как наплавка, спекание, нагартов- ка, ввиду чего после остывания в образцах присутству- ют поля предварительных напряжений (ПН), дости- гающие уровней, оказывающих значительное влияние на их динамические характеристики [3]. Распределения механических свойств и полей ПН в объектах из ФГМ могут быть описаны функциями пространственных ко- ординат, и в современной литературе материалы с зави- симостью свойств от двух и трех координат соответст- венно обозначаются как 2D и 3D ФГМ (two-dimensional and three-dimensional functionally graded materials) [4; 5]. Одним из классов конструкционных элементов, широко использующихся в различных областях производства, строительства, технологии и медицины, являются пла- стинчатые конструкции – как сплошные, так и имею- щие отверстия и включения. Для неоднородных пла- стин характерна зависимость механических свойств и ПН от двух координат, в связи с этим их принято отно- сить к 2D ФГМ. При этом полноценное моделирование преднапряженных 2D ФГМ-пластин в настоящее время достаточно слабо развито; вместе с тем создание адек- ватных моделей, описывающих их поведение, необхо- димо для практического анализа их напряженно- деформированного состояния при различных воздейст- виях и построения на его основе теоретических основ решения задач идентификации их физических характе- ристик и полей ПН с помощью акустического подхода. Вопросам моделирования неоднородных пластин, в частности, функционально-градиентных (ФГ), посвя- щен ряд современных работ. Статья [6] представляют собой обзор методик измерения свойств ФГМ на основе изучения свободных колебаний и динамической устой- чивости ФГ пластин. Рассмотрены различные виды смесей исходных материалов, из которых изготовлены пластины, и влияние их распределения по объему тела на динамические характеристики. Работы [7; 8] посвя- щены построению моделей колебаний ФГ пластин в конечно-элементных (КЭ) пакетах, в частности ANSYS, с помощью которых исследуется влияние законов изме- нения свойств пластин на их динамические характери- стики – прогиб и амплитудно-частотные характеристи- ки (АЧХ). Измерению предварительных напряжений посвя- щено большое количество исследований, опубликован- ных в последние годы. Во многих работах исследуются задачи по определению ПН, возникающих в процессе сварочных операций при обработке пластин. В работе [9] представлено моделирование трехмерного распреде- ления остаточных напряжений в сварных швах в жаро- прочных сплавах на основе никеля, используемых в разработке компонентов авиадвигателей. Для построе- ния трехмерной модели «деформация – ползучесть» используются технологии искусственного интеллекта и методы нечеткой логики, демонстрирующие хорошее соответствие экспериментальным данным. В статье [10] изучалось ПНС в сварном шве кольцевой конструкции, моделируемой цилиндрическим обручем. Метод глухих отверстий использовался для проверки распределения остаточного напряжения в кольцевой конструкции, и результаты испытаний сравнивались с результатами расчета методом конечных элементов (МКЭ) с целью проверки достоверности результатов. Это позволило сформулировать рекомендации по оптимальному режи- му сварки кольцевых конструкций. В статье [11] были исследованы остаточные напряжения, возникшие в двух образцах композитных трехслойных пластин при ис- пользовании газовой вольфрамовой дуговой сварки. Измерены значения растягивающих ПН на границах соединения материалов. Работа [12] посвящена оценке продольных и поперечных ПН, возникающих при свар- ке при различной температуре. Было показано, что при незначительном углублении в сварной шов продольные напряжения носят растягивающий характер, а попереч- ные – сжимающий, при этом сварка с более низкой тем- пературой вызвала более высокий уровень ПН. Статья [13] содержит экспериментальное исследование по применению нового метода формирования остаточных напряжений – лазерной ударной обработки. Исследова- но влияние толщины обрабатываемых пластин на сформированное ПНС. Показано, что в более толстых пластинах достигается значительно больший уровень ПН. Также стоит остановиться на других практических методах измерения ПН. В работе [14] авторами предло- жена ультразвуковая экспериментальная методика из- мерения распределения ПН. Исследования проводились для образцов рельса; изучалась задержка прохождения продольных волн, вызванная наличием растягивающих напряжений, что позволило оценивать их уровень при неразрушающей диагностике. Статья [15] посвящена экспериментальному исследованию авиационных тон- костенных рам, получаемых из пластин с помощью фрезерования, в которых из-за низкой жесткости суще- ственное влияние на деформацию оказывают остаточ- ные напряжения. На основе экспериментальных данных предложена модель прогнозирования остаточных на- пряжений при фрезеровании пластин из алюминиевого сплава 7075 на основе применения нейронной сети и генетического алгоритма. Модель была протестирована на реальных данных и показала неплохую точность прогнозирования. В статье [16] предложен неразру- шающий подход к идентификации остаточного напря- жения для тонких пластин с использованием комплекс- ного подхода, использующего параметризацию ПНС с помощью функции напряжений Эри и определения вве- денных параметров путем решения задачи нелинейной оптимизации. Актуальным направлением прикладной механики является моделирование пластин с отверстиями и включениями. В работе [17] исследован вопрос оптими- зации коэффициентов концентрации напряжений в ФГ- пластинах за счет выбора материалов, которые входят в состав ФГМ. В статье [18] рассмотрена двумерная зада- ча изгиба тонких ФГ-пластин с круглым отверстием. Исследованы два различных случая: цельная ФГМ- пластина с круглым отверстием и ФГМ-кольцо, арми- рованное однородной перфорированной пластиной. В работе также рассмотрен вопрос оптимизации коэф- фициентов концентрации напряжений за счет выбора материальных параметров пластин. Модели перфориро- ванных пластин также находят применение в медицине и биомеханике, в частности, в технологиях накостного остеосинтеза, когда для сращивания переломов исполь- зуется соединение и фиксация обломков кости с помо- щью титановых пластин компрессионного типа, имею- щих специальные отверстия по всей длине [19; 20]. Стоит отметить работы, посвященные идентифика- ции неоднородных полей ПНС в пластинах. Статья [21] посвящена исследованию прямоугольных пластин с ПН в рамках гипотез Тимошенко в декартовой системе ко- ординат. Были исследованы обратные задачи иденти- фикации двумерного поля ПН с помощью нескольких методик, основанных на акустическом подходе с ис- пользованием МКЭ, также применявшемся в работе [22]. В работе [23] для пластины в рамках гипотез де- формирования Тимошенко получена постановка задачи об установившихся планарно-изгибных колебаниях перфорированной пластины из ФГМ в условиях ПНС. Построен алгоритм численного решения прямой задачи с помощью МКЭ, исследованы возможности идентифи- кации параметров плоского ПНС на основе данных из- мерения частотных характеристик пластины. В статье [24] представлены модели круглых сплошной и кольце- вой неоднородных предварительно напряженных пластин в рамках гипотез Тимошенко. Для решения обратных задач идентификации ПН использован специ- альный проекционный подход, основанный на постро- енных слабых постановках задач, позволивший опреде- лять искомые характеристики в заданных классах функций. Настоящая работа продолжает тематику ранее про- веденных исследований [21; 23; 24] и других. К основ- ным целям данного исследования отнесем: создание моделей колебаний сплошных и имею- щих отверстия и включения неоднородных пластин с учетом неоднородного ПНС; разработка на основе этих моделей методики оценки влияния ПН на динамические характеристики при различных способах нагружения; проведение с ее помощью ряда вычислительных экспериментов и комплексного анализа их результатов с целью выявления наиболее чувствительных к измене- нию ПН режимов зондирования, частотных диапазонов и областей измерения отклика для каждой из рассмат- риваемых пластин.

About the authors

I. V. Bogachev

Southern Federal University, I.I. Vorovich Institute of Mathematics, Mechanics and Computer Sciences

R. D. Nedin

Southern Federal University, I.I. Vorovich Institute of Mathematics, Mechanics and Computer Sciences

References

  1. Carpinteri A., Pugno N. Thermal loading in multi-layer and/or functionally graded materials: Residual stress field, delamination, fatigue and related size effects // International Journal of Solids and Structures. – 2006. – Vol. 43. – P. 828–841.
  2. Kieback B., Neubrand A., Riedel H. Processing techniques for functionally graded materials // Materials Science and Engineering: A. – 2003. – Vol. 362. – P. 81–106.
  3. Schajer G.S. Practical Residual Stress Measurement Methods. – Wiley, 2013. – 560 p.
  4. Nemat-Alla M., Khaled A., Hassab-Allah I.M. Elasticplastic analysis of two-dimensional functionally graded materials under thermal loading // International Journal of Solids and Structures. – 2009. – Vol. 46. – P. 2774–2786.
  5. Cho J-R. A Numerical Evaluation of SIFs of 2-D Functionally Graded Materials by Enriched Natural Element Method // Applied Sciences. – 2019. – No. 9. – P. 3581.
  6. Loja M., Barbosa J.I. In-plane functionally graded plates: A study on the free vibration and dynamic instability behaviours // Composite Structures. – 2020. – Vol. 237. – P. 111905.
  7. Deepak S.A., Shetty R.A. Static and free vibration analysis of functionally graded rectangular plates using ANSYS // Materials Today: Proceedings. – 2021. doi: 10.1016/j.matpr.2020.12.76
  8. Vinh P.V., Huy L.Q. Finite element analysis of functionally graded sandwich plates with porosity via a new hyperbolic shear deformation theory // Defence Technology. – 2021. doi: 10.1016/j.dt.2021.03.006
  9. Uzun F., Korsunsky A.M. The use of eigenstrain theory and fuzzy techniques for intelligent modeling of residual stress and creep relaxation in welded superalloys // Materials Today: Proceedings. – 2020. – No. 33(4). – P. 1880–1883.
  10. Study on Residual Stress of Welded Hoop Structure / W. Ma, H. Zhang, W. Zhu, F. Xu, C. Yang // Applied Sciences. – 2021. – No. 10(8). – P. 2838.
  11. Experimental investigation on residual stress distribution in zirconium/titanium/steel tri-metal explosively welded composite plate after cutting and welding of a cover plate / N. Li, M. Zhang, J.-L.Ye, C. Liu // Journal of Manufacturing Proc. – 2021. – No. 64. – P. 55–63.
  12. Evaluation of residual stresses in isothermal friction stir welded 304L stainless steel plates / M. Bhattacharyya, T. Gnaupel- Herold, K. Raja, J. Darsell, S. Jana, I. Charit // Materials Science and Engineering: A. – 2021. – Vol. 826. – P. 141982.
  13. Experimental research on global deformation and through-thickness residual stress in laser peen formed aluminum plates / Z. Zhang, Y. Zhang, M. O’Loughlin, J. Kong // Surfaces and Interfaces. – 2021. – Vol. 25. – P. 101241.
  14. Experimental Measurement of Residual Stress Distribution in Rail Specimens Using Ultrasonic LCR Waves / Y.-I. Hwang, G. Kim, Y.-I. Kim, J.-H. Park, M.Y. Choi, K.-B. Kim // Applied Sciences. – 2021. – No. 11(19). – P. 9306.
  15. Experimental Analysis and Prediction Model of Milling- Induced Residual Stress of Aeronautical Aluminum Alloys / S. Yi, Y. Wu, H. Gong, C. Peng, Y. He // Applied Sciences. – 2021. – No. 11(13). – P. 5881.
  16. Huang C., Wang L., Wang K. Residual stress identification in thin plates based on modal data and sensitivity analysis // International Journal of Solids and Structures. – 2022. – Vol. 236– 237. – P. 111350.
  17. Enab T.A. Stress concentration analysis in functionally graded plates with elliptic holes under biaxial loadings // Ain Shams Engineering Journal. – 2014. – Vol. 5. – P. 839–850.
  18. Out-of-Plane Bending of Functionally Graded Thin Plates with a Circular Hole / Q. Yang, H. Cao, Y. Tang, B. Yang // Applied Sciences. – 2020. – No. 10(7). – P. 2231.
  19. Биомеханика остеосинтеза накостными пластинами четырехфрагментарного перелома плечевой кости / С.А. Лин- ник, М.М. Ранков, Ю.А. Шукейло, О.В. Щеглов // Российский журнал биомеханики. – 2011. – Т. 15, № 1(51). – С. 52–64
  20. Конечно-элементный анализ напряженно-деформи- рованного состояния эндопротеза / Л.Б. Маслов, А.Ю. Дмит- рюк, М.А. Жмайло, А.Н. Коваленко // Российский журнал биомеханики. – 2021. – Т. 25, № 4. – С. 414–433.
  21. Nedin R.D., Vatulyan A.O., Bogachev I.V. Direct and inverse problems for prestressed functionally graded plates in the framework of the Timoshenko model // Math. Meth. Appl. Sci. – 2018. – Vol. 41, no. 4. – P. 1600–1618.
  22. Жамакочян К.А., Саркисян С.О. Метод конечных эле- ментов в расчетах на изгиб микрополярных упругих тонких пла- стин // Вычисл. мех. сплош. сред. – 2016. – Т. 9, № 3. – С. 375–383.
  23. Недин Р.Д. Моделирование и частотный анализ предварительно напряженных функционально-градиентных пластин с отверстиями // Вычисл. мех. сплош. сред. – 2019. – Т. 12, № 2. – С. 192–201.
  24. Bogachev I.V. Determination of Prestress in Circular Inhomogeneous Solid and Annular Plates in the Framework of the Timoshenko Hypotheses // Applied Sciences. – 2021. – No. 11. – P. 9819.
  25. Ватульян А.О., Дударев В.В., Недин Р.Д. Предвари- тельные напряжения: моделирование и идентификация: моно- графия. – Ростов-на-Дону: Изд-во ЮФУ, 2015. – 206 с.
  26. Truesdell C.A. A first course in rational continuum mechanics. – Baltimore – Maryland: The John Hopkins University, 1972. – 417 p.
  27. Жуков М.Ю., Ширяева Е.В. Использование пакета конечных элементов FreeFem++ для задач гидродинамики, электрофореза и биологии: учебное пособие. – Ростов-на- Дону: Издательство ЮФУ, 2008. – 256 с.
  28. Ватульян А.О. Коэффициентные обратные задачи механики. – М.: Физматлит, 2019. – 272 с.
  29. Ватульян А.О., Недин Р.Д. К восстановлению харак- теристик плоского начального напряженного состояния // Изв. РАН. МТТ. – 2020. – № 5. – С. 27–37.
  30. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения не- корректных задач. – М.: Наука, 1986. – 288 с.
  31. Калиткин Н.Н. Численные методы. – М.: Наука, 1978. – 512c.
  32. Detection of nonuniform residual strain in a pipe / I.V. Bogachev, V.V. Dudarev, R.D. Nedin, A.O. Vatulyan // International Journal of Solids and Structures. – 2018. – Vol. 139–140. – P. 121–128.
  33. The Investigation of the Initial Stress-Strain State Influence on Mechanical Properties of Viscoelastic Bodies / I.V. Bogachev, A.O. Vatulyan, V.V. Dudarev, R.D. Nedin // PNRPU Mechanics Bulletin. – 2019. – No 2. – P. 15–24.
  34. Богачев И.В. Совместная идентификация механиче- ских характеристик функционально-градиентных пластин в рамках моделей Кирхгофа и Тимошенко // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического универ- ситета. Механика. – 2021. – № 4. – С. 19–28.
  35. Богачев И.В., Ватульян А.О. О моделировании тел с отслаивающимися покрытиями при учете полей предвари- тельных напряжений // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механи- ка. – 2020. – № 2. – C. 5–16.
  36. Nedin R.D., Vatulyan A.O. Concerning one approach to the reconstruction of heterogeneous residual stress in plate // ZAMM. – 2014. – Vol. 94. – P. 142–149.

Statistics

Views

Abstract - 94

PDF (Russian) - 94

Cited-By


PlumX


Copyright (c) 2023 Bogachev I.V., Nedin R.D.

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial 4.0 International License.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies