# Abstract

The paper suggests a formulation and method for a numerical solution of deformation and buckling of elastoplastic shells of revolution with elastic filler under quasi-static and dynamic loadings. The problem is solved in a two-dimensional plane or generalized axisymmetric formulation with torsion. The governing system of equations is written in a Cartesian or cylindrical coordinate system. Modeling of deformation of an elastic-plastic shell is carried out based on the hypotheses of the theory of shells of the Timoshenko type, taking into account geometric nonlinearities. Kinematic relations are written in velocities and formulated in the metric of the current state. The elastoplastic properties of the shell are described by the flow theory with nonlinear isotropic hardening. Filler modeling is based on continuum mechanics hypotheses. The filler material is assumed to be linearly elastic. The variational equations of motion of structural elements (both shells and filler) are reduced from the three-dimensional equation of the balance of virtual powers of the work of continuum mechanics taking into account the accepted hypotheses of the theory of shells or a flat deformed state or generalized axisymmetric deformation with torsion. The modeling of the contact interaction between the shell and the filler is based on the condition of nonpenetration along the normal and slippage along the tangential. The finite-difference method and an explicit time integration scheme of the cross type are used to solve the defining system of equations. Approbation of the technique was carried out on the problem of buckling of a steel cylindrical shell with an elastic filler under quasi-static and dynamic compression by an external pressure that linearly increases with time. The results of the numerical study are compared with calculations performed using two other approaches developed earlier by the authors. The first approach is based on full-scale modeling of the process of deformation of the shell and filler within the framework of continuum mechanics. In the second approach, a simplified formulation is used, in which the deformation of the shell is modeled according to the hypotheses of the theory of non-sloping shells of the Timoshenko type taking into account geometric nonlinearities, and the filler is modeled according to the Winkler foundation hypothesis. The developed approaches make it possible to model the nonlinear subcritical deformation of shells of revolution with an elastic filler, to determine the ultimate (critical) loads in a wide range of loading rates taking into account geometric shape imperfections, to study buckling in axisymmetric and non-axisymmetric shapes under dynamic and quasi-static combined loadings in plane and axisymmetric deformations.

# Full Text

Многие объекты авиа-, ракето-, машиностроения, химической промышленности и нефтяной отрасли содержат в качестве элементов составные осесимметричные оболочки с заполнителем. В некоторых режимах работы несущие слои таких элементов должны выдерживать не только статические, но и динамические нагружения. При превышении критических уровней нагрузок происходит потеря несущей способности конструкции из-за выпучивания оболочек. Для понижения массы оболочечных конструкций и повышения их устойчивости, а также для устранения неосесимметричных форм потери устойчивости применяется легкий (упругий) заполнитель [1; 2]. К настоящему времени весьма тщательно проработаны аналитические и численные методы описания процесса выпучивания упругих тонкостенных оболочек вращения. Исследование процессов деформирования и выпучивания упругопластических оболочек с заполнителем с переходом из осесимметричных форм в неосесимметричные возможно на основе известных методик, реализованных в вычислительных пакетах программ, путем численного моделирования только в трехмерной постановке. Время расчета такой задачи с применением вычислительных пакетов, в которых реализована явная схема интегрирования по времени, будет велико, поскольку шаг численного интегрирования определяется толщиной оболочки (т.е. малой величиной). В коммерческом программном обеспечении решение задач кручения осесимметричных тел возможно только в трехмерной постановке. Для длинных оболочек при больших углах вращения может происходить потеря точности из-за применения для учета вращения как жесткого целого производной Яуманна. В работах [3–8] проведен анализ классической задачи о поперечной устойчивости тонкого стержня под действием осевой нагрузки при различных способах приложения нагрузки и закрепления концов. Показано, что при динамическом нагружении продольной нагрузкой генерируется пакет неустойчивых форм. Верхний номер форм зависит от скорости приложения нагрузки. Скорость оказывает влияние на форму потери устойчивости, а не на критическую нагрузку. Реализуется не минимальная и не максимальная форма потери устойчивости, возможная для данной нагрузки, а та, номер которой примерно равен 2/3 от максимальной [4]. Образование высших форм потери устойчивости стержня и круговой цилиндрической оболочки при динамическом приложении нагрузки было обнаружено экспериментально при осевом динамическом сжатии стержня [4], обжатии трубы при имплозии и внешнем давлении [4; 9–11], потере устойчивости конической оболочки при внешнем давлении [12]. В [13] рассматриваются вопросы по определению напряженно-деформированного состояния и устойчивости тонкостенных оболочек с упругим заполнителем, приводится обзор исследований. Поведение упругого заполнителя моделируют в рамках механики сплошной среды с применением уравнений теории упругости [13–18] или применяют упрощенные модели, например, упругое основание с одним или двумя коэффициентами постели (основание Винклера или Пастернака) [13; 19–27]. В настоящей статье представлены постановка и методика численного решения нелинейных задач осесимметричного деформирования и потери устойчивости упругопластических оболочек вращения с упругим заполнителем при комбинированных осесимметричных нагружениях и кручении. Задачи формулируются в динамической постановке, что дает возможность описать большие докритические формоизменения упругопластических оболочек и переход оболочки к новой, изогнутой форме равновесия. Моделирование поведения оболочки основывается на гипотезах теории непологих оболочек типа Тимошенко с геометрическими нелинейностями и теории пластического течения с нелинейным изотропным упрочнением. Заполнитель полагается упругим массивным телом. Данный подход является развитием методик численного решения нелинейных задач осесимметричного деформирования и неосесимметричного выпучивания пустотелых упругопластических оболочек вращения при комбинированных осесимметричных нагружениях и кручении [28–30], контактного взаимодействия упругопластической оболочки вращения с упругим заполнителем, моделируемым основанием Винклера [31], обобщенных осесимметричных задач с кручением для массивных тел [32; 33], контактного взаимодействия упругопластических элементов конструкций в плоской или осесимметричной постановке [34–36]. Разработанные методики были реализованы в рамках вычислительного комплекса «Динамика-2».

### V. G. Bazhenov

Researcher Institute of Mechanics, National Research Lobachevsky State University of Nizhni Novgorod

### Yu. A. Kalinina

Researcher Institute of Mechanics, National Research Lobachevsky State University of Nizhni Novgorod

### E. V. Nagornykh

Researcher Institute of Mechanics, National Research Lobachevsky State University of Nizhni Novgorod

### D. A. Samsonova

Researcher Institute of Mechanics, National Research Lobachevsky State University of Nizhni Novgorod

# References

1. Исследование упругопластического деформирования цилиндрических оболочек при осевом ударном нагружении / А.И. Абакумов, Г.А. Квасков, С.А. Новиков, В.А. Синицин, А.А. Учаев // ПМТФ. – 1988. – № 3. – С. 150–153.
2. Выпучивание упругопластических цилиндрических и конических оболочек при осевом ударном нагружении / В.Г. Баженов, М.С. Баранова, А.И. Кибец, В.К. Ломунов, Е.В. Павленкова // Учен. зап. Казан. ун-та. Сер. Физ.-матем. науки. 2010. – Т. 152, № 4. – С. 86–105.
3. Эйлер, Л. Метод нахождения кривых линий, обладающих свойствами максимума либо минимума или решение изопериметрической задачи, взятой в самом широком смысле / Л. Эйлер. – М., Л.: ГИТТЛ, 1934. – 600 с.
4. Лаврентьев, М.А. Динамические формы потери устойчивости упругих систем / М.А. Лаврентьев, А.Ю. Ишлинский // ДАН. – 1949. – Т. 64, № 6. – С. 776–782.
5. Вольмир, А.С. Устойчивость деформируемых систем / А.С. Вольмир. – М.: Наука, 1967. – 984 с.
6. Беляев, А.К. Динамический подход к задаче Ишлинского – Лаврентьева / А.К. Беляев, Д.Н. Ильин, Н.Ф. Морозов // Известия РАН. МТТ. – 2013. – № 5. – С. 28–33.
7. Задача Ишлинского – Лаврентьева на начальном этапе движения / Н.Ф. Морозов, А.К. Беляев, П.Е. Товстик, Т.П. Товстик // ДАН. – 2015. – Т. 463, № 5. – С. 543–546.
8. Морозов, Н.Ф. Устойчивость стержня при длительном осевом сжатии / Н.Ф. Морозов, П.Е. Товстик, Т.П. Товстик // Проблемы прочности и пластичности. – 2015. – Т. 77, № 1. – С. 40–48.
9. Dynamic implosion of underwater cylindrical shells: Experiments and Computations / C. Farhat, K.G. Wangc, A. Main, S. Kyriakides, L.-H. Lee, K. Ravi-Chandar, T. Belytschko // International Journal of Solids and Structures. 2013. – Vol. 50. – Р. 2943–2961.
10. Giezen, J.J. Plastic buckling of cylindrical shells under biaxial loading / J.J. Giezen, C.D. Babcock, J. Singer // Experimental Mechanics. – 1990. – Vol. 33. – Р. 337–343. doi: 10.1007/BF02325990
11. Carvelli, V. Buckling strength of GFRP under-water vehicles / V. Carvelli, N. Panzeri, C. Poggi // Composites: Part B. – 2001. – Vol. 32. – P. 89–101.
12. Ghazijahani, T.G. Experiments on conical shell reducers under uniform external pressure / T.G. Ghazijahani, H. Showkati // Journal of Constructional Steel Research. – 2011. – Vol. 67. – P. 1506–1515. doi: 10.1016/j.jcsr.2011.03.024
13. Ильгамов, М.А. Прочность, устойчивость и динамика оболочек с упругим заполнителем / М.А. Ильгамов, В.А. Иванов, Б.В. Гулин. – М.: Наука, 1977. – 331 с.
14. Тарлаковский, Д.В. Воздействие нестационарного давления на цилиндрическую оболочку с упругим заполнителем / Д.В. Тарлаковский, Г.В. Федотенков // Учен. зап. Казан. ун-та. Сер. Физ.-матем. науки. – 2016. – Т. 158, № 1. – С. 141–151.
15. О влиянии заполнителя на критические параметры импульса давления при динамической потере устойчивости цилиндрической оболочки / В.В. Бендюков, В.В. Дерюшев, М.М. Лурье, П.Н. Овчаров // Научный вестник МГТУ ГА. – 2005. – № 84 (2). – С. 131–137.
16. Stability improvement of thin isotropic cylindrical shells with partially filled soft elastic core subjected to external pressure / A.P. Dash, R. Velmurugan, M.S.R. Prasad, R.S. Sikarwar // Thin– Walled Structures, B. – 2016. – Vol. 98. – P. 301–311. doi: 10.1016/j.tws.2015.09.028.
17. Karam, G.N. Elastic buckling of cylindrical shells with elastic cores. I / G.N. Karam, L.J. Gibson // Analysis Int J Solids Structures. 1995. – Vol. 32. – P. 1259–1263
18. Ye, L. Buckling of a thin-walled cylindrical shell with foam core under axial compression / L. Ye, G. Lu, L.S. Ong // Thin– Walled Structures. – Vol. 49, no. 1. – P. 106–111. doi: 10.1016/j.tws.2010.08.011
19. Пастернак, П.Л. Основы нового метода расчета фундаментов на упругом основании при помощи двух коэффициентов постели / П.Л. Пастернак. – М.: Гос. изд-во литературы по строительству и архитектуре, 1954. – 56 с.
20. Иванов, В.А. Определение реакции заполнителя в задачах взаимодействия его с оболочкой / В.А. Иванов // Вестник Казанского технологического университета. – 2011. – № 8. – С. 224–228.
21. Луговой, П.З. Влияние упругого основания на дисперсию гармонических волн в продольно подкрепленных цилиндрических оболочках / П.З. Луговой, Н.Я. Прокопенко // Прикладная механика. – 2015. – Т. 51, № 5. – С. 116–124.
22. Прикладные задачи механики композитных цилиндрических оболочек / Ю.С. Соломонов, В.П. Георгиевский, А.Я. Недбай, В.А. Андрюшин. – М.: Изд-во Физматлит, 2013. – 343 с.
23. Nonlinear dynamic stability of the orthotropic functionally graded cylindrical shell surrounded by Winkler – Pasternak elastic foundation subjected to a linearly increasing load / Kang Gao, Wei Gao, Di Wu, Chongmin Song // Journal of Sound and Vibration. – 2018. – No. 415. – P. 147–168. doi: 10.1016/j.jsv.2017.11.038
24. Nobili, A. A cracked infinite Kirchhoff plate supported by a two-parameter elastic foundation / A. Nobili, E. Radi, N. Lanzoni // J. Eur. Ceram. Soc. – 2014. doi: 10.1016/j.jeurceramsoc.2013.12.029
25. Buckling patterns of complete spherical shells filled with an elastic medium under external pressure / M. Sato, M.A. Wadee, K. Iiboshi, T. Sekizawa, H. Shima // International Journal of Mechanical Sciences. – 2012. doi: 10.1016/j.ijmecsci.2012.02.001
26. Power law of critical buckling in structural members supported by a Winkler foundation / M. Sato, S. Harasawa, Y. Konishi, T. Maruyama, S.J. Park // Journal of Mechanics. – 2017. – Vol. 33, no. 3. – P. 369–374. doi: 10.1017/jmech.2016.112
27. Shaterzadeh, A.R. Non-linear analysis of asymmetrical eccentrically stiffened FGM cylindrical shells with non-linear elastic foundation / A.R. Shaterzadeh, K. Foroutan // Journal of Solid Mechanics. – 2017. – Vol. 9, no. 4. – P. 849–864.
28. Теоретический и экспериментальный анализ больших деформаций и предельных состояний упругопластических оболочек вращения при комбинированных сложных нагружениях / А.А. Артемьева, В.Г. Баженов, Д.А. Казаков, А.И. Кибец, Е.В. Нагорных // ПММ. – 2015. – Т. 79, вып. 4. – С. 558–570.
29. Моделирование неосесимметричного выпучивания упругопластических оболочек вращения при комбинированных осесимметричных нагружениях / А.А. Артемьева, В.Г. Баженов, Е.В. Нагорных, Д.А. Казаков, Т.В. Кузмичева // ПММ. – 2017. – Т. 81, вып. 5. – C. 610–622.
30. Баженов, В.Г. Исследование упругопластического выпучивания оболочек вращения при ударном нагружении / В.Г. Баженов, В.К. Ломунов // Прикл. пробл. прочности и пластичности: Всесоюз. межвуз. сб. Горьк. ун-т. – 1975. – Вып. 2. – С. 44–50.
31. Баженов, В.Г. Исследование применимости модели основания Винклера для описания контактного взаимодействия упругопластических оболочек с заполнителем при внешнем давлении / В.Г. Баженов, Е.В. Нагорных, Д.А. Самсонова // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. – 2020. – № 4. – С. 36– 48. doi: 10.15593/perm.mech/2020.4.04
32. Баженов, В.Г. Численное и экспериментальное исследование упругопластических процессов растяжения–кручения осесимметричных тел при больших деформациях / В.Г. Баженов, Д.В. Жегалов, Е.В. Павленкова // Изв. РАН. МТТ. – 2011. – № 2. – C. 57–66.
33. Экспериментальное и теоретическое исследование больших деформаций цилиндрических образцов из стали 09Г2С с концентраторами напряжений при нагружении растяжением–кручением до разрушения / В.Г. Баженов, Д.А. Казаков, Е.В. Нагорных, Д.Л. Осетров, А.А. Рябов // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. – 2018. – № 4. – С. 69–81. doi: 10.15593/perm.mech/2018.4.06
34. Зефиров, С.В. Импульсное деформирование и контактное взаимодействие упругопластических элементов осесимметричных конструкций / С.В. Зефиров // Прикладные проблемы прочности и пластичности. Алгоритмизация решения задач упругости и пластичности: Всесоюз. межвуз. сб. / Горьк. ун-т. – 1984. – С. 152–153.
35. Баженов, В.Г. Численное моделирование задач нестационарного контактного взаимодействия деформируемых конструкций / В.Г. Баженов, С.В. Зефиров, И.Н. Цветкова // Прикладные проблемы прочности и пластичности. Численное моделирование физико-механических процессов: межвуз. сб. – М.: Товарищество научных изданий КМК, 1995. – Вып. 52. – С. 154–160.
36. Пакет программ «Динамика-2» для решения плоских и осесимметричных нелинейных задач нестационарного взаимодействия конструкций со сжимаемыми средами / В.Г. Баженов, С.В. Зефиров, А.В. Кочетков, С.В. Крылов, В.Р. Фельдгун // Математическое моделирование. – 2000. – Т. 12 (6). – С. 67–72.
37. Постановка и численное решение задачи потери устойчивости упругопластических оболочек вращения с упругим заполнителем при комбинированных осесимметричных нагружениях с кручением / В.Г. Баженов, Д.А. Казаков, А.И. Кибец, Е.В. Нагорных, Д.А. Самсонова // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. – 2022. – № 3. – С. 95–106. doi: 10.15593/perm.mech/2022.3.10

# Statistics

#### Views

Abstract - 64

PDF (Russian) - 35

#### PlumX

Copyright (c) 2024 Bazhenov V.G., Kalinina Y.A., Nagornykh E.V., Samsonova D.A.