Large Deflections, Loss of Stability and Over-Critical Behavior of Sloping Panels and Arches of Variable Thickness on an Elastic Base

Abstract


The problem of large deflections of a flat arch in its plane (or an infinitely long panel) loaded with transverse loads is considered. A variational approach has been applied to solve it. The resolving nonlinear equations are reduced to finding the deflection and longitudinal force, which is considered constant along the length of the arch due to its flatness. An approximate solution method is proposed by decomposing the displacements into a Fourier series. The peculiarity of the approach used is that in order to pass the limit points, it is not necessary to use special algorithms such as the continuation method by parameter. It also allows you to trace the process of supercritical deformation of the arch. The proposed approach allows us to consider problems for arches of variable thicknesses, located on elastic supports, on an elastic base with a variable bed coefficient and various loads. Therefore, it is also convenient in problems of finding, for example, the optimal thickness distribution under restrictions on critical loads, on rigidity stiffness and on maximum compression or tension stresses. The results of numerical calculations are presented. The convergence is studied of the solution depending on the number of terms of the series, into which the desired deflection decomposes. A good agreement with the known analytical results is obtained earlier by solving the equilibrium equations of the arch element and panel in the case of simple types of loading. At the same time, even in more complex cases of loading and supercritical bending of an arch without an elastic base, the results are obtained when holding three, four and five members of the Fourier series, the maximum deflections and critical loads differed by no more than 2.5%. On the basis of numerical experiments, the features of the arch behavior caused by the rearrangement of geometry during loading are revealed. The processes of stability loss of the arch and its supercritical behavior are investigated. The effect of symmetric deformation in the case of kinematic loading is found, namely, it is revealed that at a certain value of the concentrated force, an infinite number of equilibrium forms are possible. Arches on an elastic base, as well as with variable thickness are considered (the results are presented in the form of load–displacement diagrams and in the form of pictures of deformed arch shapes). An interesting effect has been revealed based on numerical experiments. It turned out that the increase in thickness when moving away from the supports does not change the nature of the load–displacement diagram, i.e., with some load, a slap occurs. On the contrary, a decrease in thickness when moving away from the supports leads to a flattening of the diagram, and after a certain thickness value in the center, its further decrease leads to the fact that the arch does not occur.

Full Text

Задаче о закритическом поведении элементов конструкций начиная с проблем устойчивости и анализа больших прогибов стержня при сжатии, решенных Л.Эйлером (см., например, в [1]), посвящалось большое количество работ, в том числе и задачам о больших прогибах стержней в упругой среде (см. например, [2-12]). Задача о больших прогибах пологих цилиндрических бесконечно длинных панелей была впервые исследована в работе [7]. После этого появился ряд публикаций, в которых эта задача исследовалась при других геометрических формах панелей, других условиях нагружения, а также в случае панелей, образованных из пластин предварительным сжатием. Был обнаружен эффект, который не наблюдался в [7], а именно, было выявлено [8], что при некотором значении сосредоточенной силы при симметричной деформации возможно бесконечное число форм равновесия. В частности, для предварительно изогнутой пластины это достигается после прохождения нагрузкой ее максимальной величины и уменьшения её до нулевого значения. Для задач о потере устойчивости конструкций на упругом основании было выявлено, что в отличие от решения Эйлера при определенных геометрических параметрах стержня после потери устойчивости для дальнейшей деформации стержня в упругой среде требуется уже меньшая сила, чем критическая [9, 10]. Фактически происходит хлопок, как это имеет место в большинстве случаев при поперечном нагружении арок или предварительно искривленных стержней. В [11] представлено аналитическое исследование нелинейно упругого поведения после выпучивания пологих круглых арок, имеющих неодинаковые упругие вращательные торцевые ограничения. Для вывода дифференциальных уравнений равновесия используется принцип стационарности потенциальной энергии. Установлено, что арка с упругими концевыми заделками не может выгибаться в бифуркационном режиме. В [12]. представлено аналитическое исследование процесса обрушения шарнирно закрепленной неоднородной пологой круглой арки под действием равномерного радиального давления. Достоверность аналитического результата проверяется путем сравнения с результатами МКЭ. В развитие [7, 8] в работах [13,14] рассмотрены арки, изготовленные из линейно-упругого функционально-градиентного материала и подверженные воздействию сосредоточенной радиальной или вертикальной мертвой силы. Для описания поведения используется те же гипотезы, что и в [7, 8], а дифференциальные уравнения задачи выводятся из принципа виртуальной работы. Вариационной постановке задачи устойчивости геометрически нелинейного деформирования тонкостенных конструкций посвящено немало работ. При этом обычно в задачах нелинейного деформирования стержней используется вариационное уравнение в виде принципа возможных перемещений, как это отмечается в [15]. (см. также [10, 1-17]). В ней на примере плоской задачи показывается, что с использованием энергетически сопряженных векторов усилий и деформаций вариационную задачу можно сформулировать в виде задачи поиска точки стационарности функционала типа Лагранжа. При этом появляется возможность двумя способами получить уравнения устойчивости: как уравнения в вариациях для исходной дифференциальной постановки, а также как уравнения Эйлера для второй вариации функционала Лагранжа. Рассмотрена плоская круговая двухшарнирная арка, нагруженная потенциальной «мертвой» нагрузкой, для статических задач получены точные нелинейные дифференциальные уравнения задачи. Доказана эквивалентность дифференциальной и вариационной постановок. Получены точные уравнения устойчивости, учитывающие геометрически нелинейное деформирование в докритическом состоянии. Задачам о больших прогибах, а также закритическом поведении арок и в последние годы продолжается уделяться немало внимания. Например, в [16] рассматривается плоская круговая двухшарнирная арка, нагруженная потенциальной «мертвой» нагрузкой. Для описания напряженно-деформированного состояния и устойчивости равновесия используется геометрически точная теория, в соответствии с которой каждая точка стержня имеет две трансляционные степени свободы и одну вращательную, не зависящую от трансляционных. Для получения решения не используются никакие упрощения о величинах перемещений и углов поворота, а также учитываются все жесткости стержня – продольная, сдвиговая и изгибная. Получены точные нелинейные дифференциальные уравнения статической задачи. Сформулирована вариационная постановка в виде задачи поиска точки стационарности функционала типа Лагранжа. Доказана эквивалентность дифференциальной и вариационной постановок. Получены точные уравнения устойчивости, учитывающие геометрически нелинейное деформирование в докритическом состоянии. На основе полученных уравнений решена задача устойчивости равновесия круговой арки при действии «мертвого» радиального давления с учетом всех жесткостей стержня. Получено характеристическое трансцендентное уравнение, а также асимптотическое решение этого уравнения в виде простых формул, пригодных для практического применения. Выполнено сравнение полученного решения, учитывающего все жесткости стержня, с классическим решением, учитывающим только изгибную жесткость. Немало работ, посвященных практически важным задачам. Например, в [17] проводится расчет на устойчивость криволинейных стержневых элементов сплошностенчатых стальных арок по изгибно-крутильной форме, в [18] проводится анализ большепролетных арок (крыш велодромов) при разных условиях закрепления, в [19] исследуется устойчивость многослойных цилиндрических прямоугольных в плане панелей, выполненных из поперечно-клееной древесины. Продолжаются и теоретические исследования (например, в [20] выводятся непротиворечивые уравнения теории плоских криволинейных стержней при конечных перемещениях, а в [21] исследуются вопросы разрешимости уравнений в геометрически нелинейных краевых задачах для пологих оболочек по теории типа Тимошенко). Рассматриваются и нестандартные условия закрепления, например, в [22, 23] исследуется нелинейное поведение и устойчивость пологих арок с упругими горизонтальными и вертикальными опорами. Аналогичное исследование в [24] сопровождается сравнением с экспериментальными результатами. В [25] также учитывается упругая податливость опор и представлено аналитическое исследование потери устойчивости многослойной арки. При этом обнаружено, что арка может терять устойчивость либо в режиме предельной точки, либо в режиме бифуркации (как это было отмечено ранее и в работе [8]), а ее поведение очень чувствительно к жесткости опоры. Проведено сравнение с результатами, полученными методом конечных элементов. Этому же направлению посвящена работа [26], в которой неустойчивость в плоскости пологой арки исследуется в зависимости от перемещений и поворотов опор. В [27] исследуется влияние формы сечения на потерю устойчивости как в плоскости, так и из плоскости арки. Аналогичное исследование, но численным методам проведено в [28]. В [29, 30] аналитически решаются задачи с учетом нелинейно упругой податливости опор повороту оси. В [31] приведены экспериментальные и аналитические результаты, но уже с учетом упруго пластических, а в [32] –аналитические решения с учетом вязкоупругих деформаций. Ниже также рассматривается пологая панель или арка (см. рис.1), которая может иметь упругое основание, упругие опоры, совокупность различных нагрузок. В этом случае использование уравнений равновесия приводит к трудностям, поскольку нелегко найти их точные решения на каждом участке и сшивать их. В таких случаях целесообразнее использовать вариационные методы. Они удобны и в оптимизационных задачах, поэтому задачи разработки простых методов их решения остаются актуальными.

About the authors

R. A Kayumov

Kazan State University of Architecture and Engineering, Kazan, Russian Federation

References

  1. Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела. - М.: Наука, 1988. – 712 с
  2. Вольмир А.С. Устойчивость упругих систем. - М.: Физматгиз, 1963. - 880 с
  3. Алфутов Н.А. Основы расчета на устойчивость упругих систем. - М.: Машиностроение, 1978. - 312 с
  4. Григолюк Э.И., Кабанов В.В. Устойчивость оболочек. - М.: Наука, 1978. – 359 с
  5. Тимошенко С.П. Устойчивость стержней, пластин и оболочек.- М.: Наука, 1971. - 808 с.
  6. Динник А.Н. Устойчивость арок. М.: Гостехтеориздат, 1946. 128 с.
  7. Корнишин М. С., Муштари Х. М. Устойчивость бесконечно длинной пологой цилиндрической панели под действием нормального равномерного давления // Известия Казанского филиала Академии наук СССР. Серия физ.-мат. и техн. наук. - 1955. - № 7. - С. 36-50
  8. Каюмов Р. А., Тазюков Б. Ф. Устойчивость изогнутой тонкой упругой пластины, нагруженной поперечной силой // Известия ВУЗов. Авиационная техника. - 2001. - № 4. - С. 12-15
  9. Астапов Н.С., Корнев В.М. Закритическое поведение идеального стержня на упругом основании// Прикладная механика и техническая физика. 1994. - Т.35, - №2. - C.130-142
  10. Каюмов Р.А. Закритическое поведение сжатых стержней в упругой среде // Известия РАН. Механика твердого тела. – 2017. - №5.- С. 122-129. doi: 10.3103/S002565441705012
  11. Pi Y.L., Bradford M.A. Non-linear buckling and postbuckling analysis of arches with unequal rotational end restraints under a central concentrated load // International Journal of Solids and Structures. - 2012. – No.26(49). - Pp. 3762-3773.
  12. Sun-ting Yan, Xiao-li Shen, Zhi-jiang Jin. On collapse of non-uniform shallow arch under uniform radial pressure // Engineering Structures. - 2018.- No.160. - Pp. 419-438. doi: org/10.1016/j.engstruct.2018.01.027
  13. Bateni, M., Eslami, M.R. Non-linear in-plane stability analysis of FGM circular shallow arches under central concentrated force // International Journal of Non-Linear Mechanics. - 2014. - No. 60. - pp. 58–69. doi: 10.1016/j.ijnonlinmec.2014.01.001
  14. László Kiss. Stability of fixed-fixed shallow arches under arbitrary radial and vertical forces// June 2020. Magazine of Civil Engineering.- No. 95(3). - pp. 31-41. doi: 10.18720/MCE.95.
  15. Лалин В.В., Розин Л.А., Кушова Д.А. Вариационная постановка плоской задачи геометрически нелинейного деформирования и устойчивости упругих стержней // Инженерно-строительный журнал. -2013. - №1. - С. 87-96
  16. Lalin V.V., Dmitriev A.N., Diakov S.F. Nonlinear deformation and stability of geometrically exact elastic arches // Magazine of Civil Engineering. - 2019. - No.5 (89). - Pp.39-51. doi: 10.18720/MCE.89.
  17. Белый Г.И., Уразгильдеев Д.В. К расчету на устойчивость криволинейных стержневых элементов сплошностенчатых стальных арок по изгибно-крутильной форме//Вестник гражданских инженеров. - 2018.- № 2 (67). - С. 54-59
  18. Gusevs, J., Serdjuks, D., Artebjakina, G.I, Afanasjeva, E.A, Goremikins, V. Behaviour of load-carrying members of velodromes longspan steel roof // Magazine of Civil Engineering. - 2016. – No. 65(5). - Pp. 3-16. doi: 10.5862/MCE.65.1. 45.
  19. Каменев И. В., Карпов В. В., Кондратьева Л. Н. Устойчивость цилиндрических CLT-панелей // Вестник гражданских инженеров. - 2022. - № 6 (95).- С. 30-38. doi: 10.23968/1999-5571-2022-19-6-30-3
  20. Паймушин В.Н., Полякова Н.В. Непротиворечивые уравнения теории плоских криволинейных стержней при конечных перемещениях и линеаризованные задачи устойчивости // Прикладная математика и механика. - 2009. - Т. 73.- № 2. - С. 303-324
  21. Тимергалиев С.Н. Метод интегральных уравнений в нелинейных краевых задачах для пологих оболочек типа Тимошенко со свободными краями // Известия ВУЗов. Математика. - 2017.-№4.- С.59-75
  22. Han Q., Cheng Y., Lu Y., Li T., Lu P. Nonlinear buckling analysis of shallow arches with elastic horizontal supports // Thin-Walled Structures. - 2016. - No. 109. - Pp. 88–102. doi: 10.1016/j.tws.2016.09.016
  23. Zhou Y., Yi Z., Stanciulescu I. Nonlinear Buckling and Post-buckling of Shallow Arches with Vertical Elastic Supports // Journal of Applied Mechanics. - 2019. - No. 6(86). - Pp. 1–16. doi: 10.1115/1.404257
  24. Lu Y., Cheng Y., Han Q. Experimental investigation into the in-plane buckling and ultimate resistance of circular steel arches with elastic horizontal and rotational end restraints // Thin-Walled Structures. - 2017. - No. 118. - pp. 164–180. doi: 10.1016/j.tws.2017.05.010
  25. Zixiang Zhang, Airong Liu, Jiyang Fu, Jie Yang, Yuanyuan Liu, Yonghui Huang. A theoretical study on nonlinear in-plane buckling of shallow angle-ply laminated arches with elastic supports // Composite Structures. - 2021. – Vol. 269. 114009, ISSN 0263-8223
  26. Hanwen Lu, Lulu Liu, Airong Liu, Yong-Lin Pi, Mark Andrew Bradford, Yonghui Huang. Effects of movement and rotation of supports on nonlinear instability of fixed shallow arches// Thin-Walled Structures. - 2020. - Vol. 155.- 106909. - ISSN 0263-8231, doi: org/10.1016/j.tws.2020.10690
  27. Qinghua Han, Yuhao Cheng, Yan Lu, Tao Li, Peng Lu. Nonlinear buckling analysis of shallow arches with elastic horizontal supports// Thin-Walled Structures. – 2016. – Vol. 109. – Pp. 88-102, ISSN 0263-8231. doi: org/10.1016/j.tws.2016.09.016
  28. Josef Machacek. Buckling lengths of steel circular arches respecting non-uniform arch axial forces// Thin-Walled Structures. - 2022.- Vol. 180. - 109916, ISSN 0263-8231, doi: org/10.1016/j.tws.2022.109916
  29. Каюмов Р.А. Закритическое поведение сжатых стержней с нелинейно упругими опорами// Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. – 2022. – № 3. – С. 23–31. doi: 10.15593/perm.mech/2022.3.03
  30. Хайдаров Л.И., Каюмов Р.А., Шмелев Г.Н., Гимазетдинов А.Р. Продольный изгиб сжатого упругого стержня с одинаковыми нелинейными поворотными закреплениями на концах с учётом начальной кривизны // Известия КГАСУ. 2022. № 3 (61). С. 23-35, doi: 10.52409/20731523_2022_3_23
  31. Salih Can Rakici, Fatmir Menkulasi, Out-of-plane buckling strength of free standing singly symmetric hollow pinned circular arches// Journal of Constructional Steel Research. – 2021.- Vol. 186. - 106914, ISSN 0143-974X. doi: org/10.1016/j.jcsr.2021.106914
  32. Каюмов Р.А., Тазюков Б.Ф., Мухамедова И.З., Шакирзянов Ф.Р. Большие прогибы вязкоупругих панелей//Известия высших учебных заведений. Математика. – 2019. - № 11. - С. 80-86

Statistics

Views

Abstract - 31

PDF (Russian) - 20

Cited-By


PlumX


Copyright (c) 2024 Kayumov R.A.

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial 4.0 International License.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies