Full Text

Задаче о закритическом поведении элементов конструкций начиная с проблем устойчивости и анализа больших прогибов стержня при сжатии, решенных Л.Эйлером (см., например, в [1]), посвящалось большое количество работ, в том числе и задачам о больших прогибах стержней в упругой среде (см. например, [2-12]). Задача о больших прогибах пологих цилиндрических бесконечно длинных панелей была впервые исследована в работе [7]. После этого появился ряд публикаций, в которых эта задача исследовалась при других геометрических формах панелей, других условиях нагружения, а также в случае панелей, образованных из пластин предварительным сжатием. Был обнаружен эффект, который не наблюдался в [7], а именно, было выявлено [8], что при некотором значении сосредоточенной силы при симметричной деформации возможно бесконечное число форм равновесия. В частности, для предварительно изогнутой пластины это достигается после прохождения нагрузкой ее максимальной величины и уменьшения её до нулевого значения. Для задач о потере устойчивости конструкций на упругом основании было выявлено, что в отличие от решения Эйлера при определенных геометрических параметрах стержня после потери устойчивости для дальнейшей деформации стержня в упругой среде требуется уже меньшая сила, чем критическая [9, 10]. Фактически происходит хлопок, как это имеет место в большинстве случаев при поперечном нагружении арок или предварительно искривленных стержней. В [11] представлено аналитическое исследование нелинейно упругого поведения после выпучивания пологих круглых арок, имеющих неодинаковые упругие вращательные торцевые ограничения. Для вывода дифференциальных уравнений равновесия используется принцип стационарности потенциальной энергии. Установлено, что арка с упругими концевыми заделками не может выгибаться в бифуркационном режиме. В [12]. представлено аналитическое исследование процесса обрушения шарнирно закрепленной неоднородной пологой круглой арки под действием равномерного радиального давления. Достоверность аналитического результата проверяется путем сравнения с результатами МКЭ. В развитие [7, 8] в работах [13,14] рассмотрены арки, изготовленные из линейно-упругого функционально-градиентного материала и подверженные воздействию сосредоточенной радиальной или вертикальной мертвой силы. Для описания поведения используется те же гипотезы, что и в [7, 8], а дифференциальные уравнения задачи выводятся из принципа виртуальной работы. Вариационной постановке задачи устойчивости геометрически нелинейного деформирования тонкостенных конструкций посвящено немало работ. При этом обычно в задачах нелинейного деформирования стержней используется вариационное уравнение в виде принципа возможных перемещений, как это отмечается в [15]. (см. также [10, 1-17]). В ней на примере плоской задачи показывается, что с использованием энергетически сопряженных векторов усилий и деформаций вариационную задачу можно сформулировать в виде задачи поиска точки стационарности функционала типа Лагранжа. При этом появляется возможность двумя способами получить уравнения устойчивости: как уравнения в вариациях для исходной дифференциальной постановки, а также как уравнения Эйлера для второй вариации функционала Лагранжа. Рассмотрена плоская круговая двухшарнирная арка, нагруженная потенциальной «мертвой» нагрузкой, для статических задач получены точные нелинейные дифференциальные уравнения задачи. Доказана эквивалентность дифференциальной и вариационной постановок. Получены точные уравнения устойчивости, учитывающие геометрически нелинейное деформирование в докритическом состоянии. Задачам о больших прогибах, а также закритическом поведении арок и в последние годы продолжается уделяться немало внимания. Например, в [16] рассматривается плоская круговая двухшарнирная арка, нагруженная потенциальной «мертвой» нагрузкой. Для описания напряженно-деформированного состояния и устойчивости равновесия используется геометрически точная теория, в соответствии с которой каждая точка стержня имеет две трансляционные степени свободы и одну вращательную, не зависящую от трансляционных. Для получения решения не используются никакие упрощения о величинах перемещений и углов поворота, а также учитываются все жесткости стержня – продольная, сдвиговая и изгибная. Получены точные нелинейные дифференциальные уравнения статической задачи. Сформулирована вариационная постановка в виде задачи поиска точки стационарности функционала типа Лагранжа. Доказана эквивалентность дифференциальной и вариационной постановок. Получены точные уравнения устойчивости, учитывающие геометрически нелинейное деформирование в докритическом состоянии. На основе полученных уравнений решена задача устойчивости равновесия круговой арки при действии «мертвого» радиального давления с учетом всех жесткостей стержня. Получено характеристическое трансцендентное уравнение, а также асимптотическое решение этого уравнения в виде простых формул, пригодных для практического применения. Выполнено сравнение полученного решения, учитывающего все жесткости стержня, с классическим решением, учитывающим только изгибную жесткость. Немало работ, посвященных практически важным задачам. Например, в [17] проводится расчет на устойчивость криволинейных стержневых элементов сплошностенчатых стальных арок по изгибно-крутильной форме, в [18] проводится анализ большепролетных арок (крыш велодромов) при разных условиях закрепления, в [19] исследуется устойчивость многослойных цилиндрических прямоугольных в плане панелей, выполненных из поперечно-клееной древесины. Продолжаются и теоретические исследования (например, в [20] выводятся непротиворечивые уравнения теории плоских криволинейных стержней при конечных перемещениях, а в [21] исследуются вопросы разрешимости уравнений в геометрически нелинейных краевых задачах для пологих оболочек по теории типа Тимошенко). Рассматриваются и нестандартные условия закрепления, например, в [22, 23] исследуется нелинейное поведение и устойчивость пологих арок с упругими горизонтальными и вертикальными опорами. Аналогичное исследование в [24] сопровождается сравнением с экспериментальными результатами. В [25] также учитывается упругая податливость опор и представлено аналитическое исследование потери устойчивости многослойной арки. При этом обнаружено, что арка может терять устойчивость либо в режиме предельной точки, либо в режиме бифуркации (как это было отмечено ранее и в работе [8]), а ее поведение очень чувствительно к жесткости опоры. Проведено сравнение с результатами, полученными методом конечных элементов. Этому же направлению посвящена работа [26], в которой неустойчивость в плоскости пологой арки исследуется в зависимости от перемещений и поворотов опор. В [27] исследуется влияние формы сечения на потерю устойчивости как в плоскости, так и из плоскости арки. Аналогичное исследование, но численным методам проведено в [28]. В [29, 30] аналитически решаются задачи с учетом нелинейно упругой податливости опор повороту оси. В [31] приведены экспериментальные и аналитические результаты, но уже с учетом упруго пластических, а в [32] –аналитические решения с учетом вязкоупругих деформаций. Ниже также рассматривается пологая панель или арка (см. рис.1), которая может иметь упругое основание, упругие опоры, совокупность различных нагрузок. В этом случае использование уравнений равновесия приводит к трудностям, поскольку нелегко найти их точные решения на каждом участке и сшивать их. В таких случаях целесообразнее использовать вариационные методы. Они удобны и в оптимизационных задачах, поэтому задачи разработки простых методов их решения остаются актуальными.

About the authors

R. A Kayumov

Kazan State University of Architecture and Engineering, Kazan, Russian Federation

References

Statistics

Views

Abstract - 125

PDF (Russian) - 74