Full Text

Процессы тонкого измельчения имеют важное значение в современном производстве. Например, от степени дисперсности исходного материала во многом может зависеть качество конечного продукта [1-4]. В промышленности преимущественное распространение получили разнообразные механические способы измельчения, обладающие относительной простотой осуществления [1-8]. Частицы материала разрушаются, если внешние усилия превышают предел прочности (предел временного сопротивления) материала для соответствующего вида деформации (сжатия, растяжения, изгиба, сдвига). Поэтому для измельчения материала на него необходимо оказать какое-либо внешнее воздействие [9-11]. В практике измельчения широкое применение получил способ динамического воздействия на частицы материала свободным ударом. При соударении твердых тел возникают большие силы, что используется в технике для создания интенсивных воздействий на обрабатываемые материалы и среды [6-8, 12-16]. Ударное нагружение также позволяет обеспечить высокие значения кинетической энергии, прикладываемой к измельчаемым частицам [1, 3, 4, 5, 17, 18]. В общем виде процесс разрушения свободным ударом можно представить следующим образом. При соударении с недеформируемой твердой поверхностью частица теряет скорость вплоть до полной остановки, кинетическая энергия частицы превращается в потенциальную энергию деформации, накапливающуюся в виде напряжений в некотором объеме частицы и приводящую к образованию трещин и разрушению этого объема. Таким образом, в процессе измельчения каждая частица среды нагружается внешним силовым ударным воздействием, под влиянием которого в объеме тела частицы создается напряженно-деформированное состояние, при этом усилие, необходимое для создания предельных напряжений и разрушения частицы, с уменьшением ее размера возрастает [4, 7, 8, 19-24]. Известно [19-23], что частицу материала нельзя механическим путем разрушить до бесконечно малой величины, осуществляя одно и то же по виду и параметрам воздействие. С увеличением дисперсности частиц их измельчение затрудняется, а начиная с некоторой, предельной для данного материала и процесса измельчения дисперсности - прекращается. Другими словами, для каждого материала и режима измельчения существует предельный размер, до которого можно измельчить частицы материала. В связи с этим получение ответов на вопросы о том, частицы какой крупности могут быть разрушены в данном измельчителе, когда наступит предел измельчения, какие параметры процесса необходимы для разрушения частиц от заданной крупности до требуемой и другие, остается актуальным. Одной из важных задач при измельчении материалов является установление возможности количественного определения параметров, характеризующих процесс измельчения, например, крупности измельченного материала для выбранного способа и применяющегося в измельчительном оборудовании механизма разрушения. Для проведения практических расчетов и прогнозирования результата процесса измельчения необходима адекватная модель процесса разрушения частиц материала в зависимости от характеристик материала и параметров процесса. Эта модель должна содержать понятные и несложные в плане практического применения расчетно-теоретические зависимости и иметь инженерное применение. Например, эта модель могла бы быть использована для описания работы и правильного выбора основных параметров измельчителей при их проектировании. Однако получение модели измельчения, которая давала бы точную количественную оценку процесса измельчения, является сложной задачей. Разработка математической модели процесса измельчения, его детальное описание затруднены сложностью явлений, происходящих при измельчении и разрушении твердых тел, протеканием в измельчителе различных по своей природе процессов и влиянием на эти процессы большого числа факторов [19, 22, 23, 25, 26]. К настоящему времени различными исследователями создан ряд теорий или гипотез измельчения [11, 18, 23, 25-28], объясняющих условия разрушения в твердых материалах и устанавливающих связь между механизмом разрушения частиц и затрачиваемой энергией; обзор сделан авторами в работах [29, 30]. Существующие гипотезы удовлетворительно отражают качественную сторону процесса измельчения, но малопригодны для его количественной оценки [31] и не позволяют практически рассчитывать и прогнозировать процесс измельчения, оценивать результат измельчения по таким параметрам, как крупность измельченных частиц, предел измельчения и др. Основными недостатками этих гипотез являются сложность, необходимость определения ряда коэффициентов, различных для разных измельчаемых материалов, нахождение действующих сил различной природы, что и вызывает существенные трудности при практическом использовании гипотез. Сегодня в исследованиях, особенно зарубежных, вопросам прикладного механико-математического моделирования процесса измельчения частиц твердого материала не уделяется достаточного внимания [6, 7, 8, 32-37]. И тем более мало кто рассматривает именно процесс измельчения с точки зрения механики упругого тела. Некоторые вопросы, связанные с поведением твердых тел при внешних силовых воздействиях, рассмотрены, например, в работах [38-42]. Однако и положения, использованные в данных работах, и полученные результаты малопригодны для описания и моделирования процесса разрушения частицы, в том числе свободным ударом. Ранее авторами на основе положений механики упругого тела уже была решена задача о разрушении частицы в форме бруса при соударении с жестким полупространством [29]. Однако в практике механико-математического моделирования и описания процесса тонкого измельчения твердого хрупкого материала форму частиц принято моделировать шаром [6, 7, 8, 21, 23, 26, 17, 18, 24, 31, 43, 44]. При этом в решении задач о разрушении частиц шарообразной формы и в форме бруса ударом о жесткое полупространство имеются принципиальные различия [45, 46]. Таким образом, в настоящей работе рассматривается задача об ударе по абсолютно жесткому полупространству частицы сферической формы, предлагается новое уточненное решение данной задачи, описывающее процесс разрушения шарообразной частицы, которое может быть положено в основу прикладной модели процесса измельчения материала свободным ударом в зависимости от размера частицы и параметров процесса измельчения. Предлагаемая модель измельчения позволит прогнозировать результат и производить расчет процесса измельчения материала свободным ударом, осуществлять расчет или подбор измельчительного оборудования, а также может быть положена в основу компьютерного моделирования процесса измельчения. Решаемая задача измельчения частицы твердого вещества сферической формы рассматривается с точки зрения механики разрушения. Задача разрушения частицы является предельным частным случаем [13] конструктивно-нелинейной [47] контактной задачи механики упругого тела об ударном взаимодействии двух шаров [14], движущихся вдоль оси, соединяющей их центры, со скоростями v1 и v2, после контакта (рис. 1) при условии, что одно из тел представляет собой неподвижное абсолютно жесткое полупространство с нулевой кривизной границы х = 0, а ударяющий груз весом Р имеет упругую сферическую поверхность радиусом R (рис. 2). Рис. 1. Классическая схема соударения шарообразных элементов по Герцу [14, 48] Fig. 1. The classical scheme of the collision of spherical elements according to Hertz [14, 48] Рис. 2. Приближенная модель [14, 49] прямого удара шара о неподвижную жесткую преграду х = 0 с эпюрой динамической реактивной нагрузки qу = qy(r, t) Fig. 2. An approximate model [14, 49] of the direct impact of a ball on a fixed rigid obstacle x = 0 with a dynamic load diagram qу = qy(r, t) В основе разрабатываемой теоретической модели разрушения шарообразной частицы [13, 14, 50] лежит предположение Г. Герца [48] о том, что «комбинируя статическое сжатие в частях тел, лежащих непосредственно у места соприкосновения, с общими уравнениями движения для остальных частей тел, мы, вероятно, могли бы получить закон для соударения тел любой формы». Однако следует отметить, что точная теория удара, связанная с изучением местных деформаций, вследствие соприкосновения конструкций, перемещающихся с различными скоростями, а также с колебательно-волновым распространением напряжений в упругом теле, оказывается сложной задачей. Поэтому для решения задачи измельчения частицы твердого вещества сферической формы принята приближенная одномерная расчетная схема (см. рис. 2) прямого удара, возникающего в системе «шар - полупространство», обладающей физической линейностью [47]. В качестве первого приближения к решению прикладной задачи измельчения твердой частицы сферической формы, а также для выяснения адекватности количественной оценки реального процесса разрушения частиц ударом с помощью существующих моделей рассмотрим известную энергетическую модель Т. Юнга [14, 49], дополненную фундаментальной формулой Герца - Штаермана [48, 50, 51] о статическом давлении P между двумя сферическими телами, когда v1 = v2 = 0 (см. рис. 1): (1) где R1, R2 - радиусы шаров; u - сближение взаимодействующих тел в результате их местной деформации; m1, m2, Е1, Е2 - соответственно коэффициенты Пуассона и модули упругости контактирующих материалов. Применительно к обозначениям рис. 2 зависимость (1) преобразуется к виду (R1 = ¥, R2 = R, Е1 = ¥, Е2 = Е, m2 = m) (2) где m, Е - упругие постоянные шарового элемента. Идеализированная теория расчета [14, 49], модифицированная к модели рис. 2, базируется на теореме об изменении кинетической энергии движущегося со скоростью v0 тела [14, 52], а также на соотношении (2) и следующих допущениях [14, 47, 52]: а) материал частицы - однородный, сплошной, изотропный, линейно-упругий (подчиняется закону Гука); б) соударяющиеся поверхности предполагаются абсолютно гладкими, т.е. не имеющими шероховатости [14]; в) вследствие разрушения объема частицы в зоне ее контакта с недеформируемой поверхностью удар принимается неупругим с нулевым значением коэффициента восстановления [52, 53]; г) характер аналитических соотношений между усилиями Р, Ру и перемещениями u, uу остается неизменным при статической Р и динамической Ру = Ру(t) силах (t - время), т.е. (3) а функция Р(u) аппроксимируется формулой (2); д) механические константы материала m, Е остаются неизменными в условиях динамического нагружения, что допустимо до скоростей удара 100 м/с [54]; е) установлено [13], что вибрации и колебания, возникающие в движущемся шаре при ударе, не оказывают заметного влияния на его продолжительность и величину напряжений в материале; ж) момент времени соударения t = 0 соответствует абсолютной динамической деформации u(t) = u(0) = 0 (см. рис. 2) и скорости v0 = max перемещения груза Р, т.е. в случае t > 0 равнодействующая Ру функции контактного давления qy = qy(r,t), представляемая эллиптическим соотношением Герца - Штаермана [48, 51] , 0 £ r £ ay (4) с экстремумом (5) в центре r = 0 круговой площадки (на рис. 2 она заштрихована) радиусом aу << R становится равной нулю (Ру = 0, t > 0); з) кинетическая энергия Eк шара в момент удара целиком переходит в потенциальную энергию U местной максимальной деформации uм, распространяющейся практически мгновенно (см. рис. 2 и формулу (3)) [13, 14, 49, 55]: (6) откуда (7) где m - масса движущегося тела (частицы), кг; (8) где rм - плотность материала частицы [56]. Имея, в соответствии с (7), деформацию uм, находим для модели Юнга - Герца, согласно (3), (5) и зависимости [50] (9) искомые выражения для определения максимальных параметров Рм = Ру(0), aм = aу(0), q0м = q0у(0) для времени t = 0: (10) (11) (12) Из анализа полученного на основе существующих гипотез Т. Юнга и Г. Герца элементарного решения (7), базирующегося на законе сохранения энергии [14, 49], следует: 1) соотношения (7), (9)-(12) тождественны упрощенной теории Г. Герца о соударении упругих сферических тел [13, 14, 48, 50]; 2) формула (12) является приближенной, так как давление q0м = q0м(R) = const не зависит от размера R шарообразной частицы и времени контакта t; 3) зависимость (12) дает многократно завышенные результаты, и изменение характеристик Рм, q0м, aм, uм будет отличаться от того, что мы имеем по гипотетическому предположению г) [13]. Например, для гранита с пределом прочности sвр = = 3 МПа и коэффициентом Пуассона m = 0,1...0,15 [57] (константы, определяющие прочность диаметрально сжатого, сферического тела из хрупкого материала [50, 58]), у которого Е = 49∙103МПа, rм = 2700 кг/м3 [57, 59], при v0 = 10 м/с, найденное с использованием формулы (12) радиальное главное напряжение srм = srt(0)>0, действующее по граничной окружности контактной плоскости х = 0 радиусом aм = aу(0) [50, 58] (см. рис. 2), составляет srм = 855,4 МПа >> sвр = 3 МПа. Вышеприведенные данные наглядно подтверждают неточность и некорректность идеализированного решения по моделям Юнга и Герца [14, 49] в виде конечной формулы (12). Таким образом, существующие решения задачи разрушения ударом твердой частицы сферической формы на основе моделей Т. Юнга и Г. Герца обладают существенными недостатками и не могут быть использованы для моделирования и регулирования процесса измельчения твердого вещества, поскольку не учитывают размеры частиц измельчаемого материала и их связь с прочностными характеристиками частиц (напряжениями в измельчаемом материале), хотя зависимость прочности частиц от их размера общеизвестна. Также эти решения предполагают удар мгновенным, т.е. не учитывают продолжительность соударения. Такая неполнота существующих решений задачи измельчения твердой частицы сферической формы приводит к весьма далекому от реальности результату количественной оценки процесса измельчения. С другой стороны, с практической точки зрения у прикладной модели процесса измельчения должна быть возможность определения, варьирования и подбора размера измельчаемой частицы (например, радиуса R), характеризующего качество и требуемую крупность измельчения, в зависимости от напряженно-деформированного состояния материала частицы в области удара и параметров процесса (например, скорости соударения), чего существующие модели измельчения лишены. Для устранения указанных недостатков существующих моделей разрушения ударом твердой частицы сферической формы в уточненную модель разрушения материала свободным ударом необходимо ввести размер измельчаемой частицы, выраженный, например, через ее радиус R, и время соударения (время контакта) частицы с поверхностью t, что и будет отличать предлагаемую модель от существующих и сделает ее более адекватной реальному процессу. Дополним прикладную теорию удара [14, 49], отмечая горизонтальной чертой над буквенными символами принадлежность того или иного параметра к уточненной механико-математической модели разрушения, следующими зависимостями: - уравнением согласно закону сохранения импульса (количества движения) для функции скорости соударения v = v(t) в сечении х = 0 [14, 50] (см. рис. 2) (13) которое учитывает местные экстремальные динамические деформации ūу=ūу(t) и описывает закон движения шара [52, 60], когда время контакта частицы с жестким полупространством t ³ 0; - известными статическими выражениями Штаермана - Герца [48, 50, 51], связывающими одноименные параметры , , , контактного взаимодействия в предположении г), т.е. их адаптируемости к решению поставленной задачи на удар [13, 14, 48, 50, 54] (см. рис. 2): - приближенной формулой колебательно-волновой технической теории, моделирующей соударение упругих тел в месте контакта (см. соотношение (280) в [50]) Þ (17) при очевидном тождестве между нормальным напряжением s в сечении х = 0 и реактивным давлением , а также с учетом того, что С - скорость распространения звуковых волн (м/с) в направлении оси х при сжатии по направлению, противоположному оси х (см. рис. 2) [14, 50], (18) где v - скорость, сообщаемая материалу частицы (скорость изменения напряжения s = s(t)). Если считать неподвижную плоскость х = 0 абсолютно твердой (см. рис. 2), то при t = 0 [50] (19) и начальное граничное давление сжатия, в соответствии с (17), (20) Совместно рассматривая равенства (14)-(16) как систему алгебраических уравнений, будем иметь (21) Заменяя m, v, и Ру в (13), руководствуясь (8), (17), (18), (21), получаем однородное нелинейное дифференциальное уравнение относительно контактного напряжения , действующего в точке с координатами r = 0, x = 0 (см. рис. 2): (22) где K - постоянный коэффициент, зависящий от упругих характеристик Е, m измельчаемого вещества, м4/кг2, (23) Разделяя переменные в (22) [56] и учитывая начальное условие (20), получаем в замкнутом виде искомый интеграл, представляющий собой уточненное решение задачи о разрушении ударом частицы твердого вещества сферической формы t ³ 0. (24) В предельном случае t = 0, аналогичном упрощенной модели (12), когда удар мгновенный (что нереально), , что, естественно, совпадает с граничным значением (20). Имея формулу (24) уточненного решения задачи о разрушении ударом сферической частицы для наибольшего контактного давления q0y(t), сравним результаты определения расчетного растягивающего напряжения [50, 58] по упрощенной модели Т. Юнга [14, 49], когда srм = 855,4 МПа, с решением, полученным на основе выведенной зависимости (24) для той же шарообразной частицы из гранита, но теперь с учетом ее радиуса R = 0,00001 м = 10 мкм для времени соударения t = 0 и t = 0,001 c: - находим скорость распространения звуковой волны на основании (18): С = 4260,1 м/с; - находим численные значения радиальных нормальных напряжений sr(0) для t = 0 по соотношению (20) и sr(10-3 с) для t = 0,001 с по соотношению (24) с учетом (23): МПа; (25) (26) Из двух результатов - (25), (26) - более точным, объективным и наиболее близким к реальности следует считать sr(10-3c) = 10,5 МПа, так как фактическое время соударения t > 0 не может равняться нулю. Из сравнения результатов, полученных в трех расчетах, по модели Юнга (с использованием формулы (12)) и с использованием формул (20) и (24), также видно, что учет времени соударения t > 0 и радиуса частицы R в формуле (24) уточненной модели измельчения вносит существенную поправку в результат расчета в сторону повышения точности количественной оценки процесса измельчения. Так, при расчете разрушения гранита по модели Юнга радиальное напряжение srм = 855,4 МПа >> sвр = 3 МПа, что очень далеко от реальности, в то время как при расчете с использованием формулы (20) sr(0) = 27,2 МПа, а при расчете с использованием формулы (24) sr(10-3 c) = = 10,5 МПа, что наиболее близко к реальному процессу разрушения гранита. Таким образом, результат расчета по уточненной модели с использованием формулы (24) в 81,5 раза точнее, чем по модели Юнга, и в 2,6 раза точнее, чем по формуле (20), что делает предлагаемую уточненную модель разрушения сферической частицы ударом более пригодной для практического использования по сравнению с классическими гипотезами. В завершение приведем пример теоретической оценки несущей способности частицы твердого вещества в процессе ее измельчения на примере гранита. Для решения этой прикладной задачи формулируем условие прочности (МПа) сферической частицы измельчаемого материала в соответствии с (18), (23), (24) при заданном сопротивлении на растяжение sвр = 3 МПа, времени соударения t = 0,001 с и произвольно принятом радиусе шарообразной частицы R: (27) откуда можно найти граничную величину (28) радиуса шара R, т.е. половины всего размера (диаметра) частицы, меньше которой частица гранита не будет разрушаться. На рис. 3 приведен график зависимости (27), построенный по нижепредставленным данным с учетом (28), когда t = 0,001 с, скорость v0 = 10 м/с и размер R изменяется в пределах 0 £ R £ 1 мкм (жирным выделено значение граничного радиуса частицы R при предельном значении напряжения sr): R, мкм 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 sr, МПа 0 1,14 1,61 1,97 2,27 2,54 2,78 3,0 3,21 3,4 3,58 Рис. 3. Графическая иллюстрация функции (27) и стационарной зависимости (28) для гранита при t = 0,001 с Fig. 3. Graphical illustration of the function (27) and the stationary dependence (28) for granite at t = 0.001 s По результатам работы можно сделать следующие выводы: 1. Доказана практическая неприменимость известных, предельно упрощенных моделей разрушения твердой частицы сферической формы Юнга и Герца [13, 14, 48, 49], которые приводят к значительно завышенным результатам по главному радиальному нормальному напряжению sr > 0, не зависящему от продолжительности удара и линейного размера частицы R, что исключает возможность с достаточной точностью проконтролировать и количественно описать стадии разрушения частицы в процессе ее измельчения. 2. Получено уточненное решение задачи динамики о разрушении упругого тела сферической формы при прямом соударении с абсолютно жестким полупространством, учитывающее, в отличие от известных моделей, параметр времени t и радиус шара R и являющееся основой уточненной модели процесса измельчения ударом частиц материала, доведенное до расчетных зависимостей (24), (27), (28) и проиллюстрированное численным примером, применительно к разрушаемой частице из гранита (см. рис. 3). 3. Возможен комплексный подход к описанию и исследованию качественных и количественных характеристик [61] динамического процесса разрушения частиц материала путем регулирования и подбора оптимальных параметров v0, R, t, обеспечивающих требуемое качество измельчения, например, подбор величины скорости соударения v0 для обеспечения требуемого размера частиц измельчаемого материала. 4. Для повышения адекватности уточненной модели при количественной оценке процесса измельчения необходимо более точно определить продолжительность удара t, например, экспериментальным путем. После экспериментальной проверки предложенной прикладной инженерной модели расчета также возможно внесение в уравнения модели корректировочных коэффициентов для повышения ее точности и адекватности реальному процессу измельчения. 5. После экспериментальной проверки и уточнения полученная прикладная модель может быть положена в основу создания программы компьютерного моделирования процесса измельчения материала свободным ударом.

About the authors

G A Guryanov

D. Serikbaev East Kazakhstan State Technical University

B M Abdeev

D. Serikbaev East Kazakhstan State Technical University

References

Statistics

Views

Abstract - 433

PDF (Russian) - 226