Full Text

Введение Одним из наиболее опасных режимов динамического деформирования конструкций является резонансный, реализующийся в конструкции при совпадении частот ее собственных колебаний с частотой внешнего циклического воздействия. При таком режиме нагружения, как известно, многократно возрастают амплитудные значения параметров динамического напряженно-деформированного состояния. Корректное и достоверное их теоретическое определение с необходимой для практических целей точностью требует надлежащего учета в расчетных соотношениях демпфирующих свойств материалов конструкции, обусловленных внутренним трением. Методам их определения и построению для их описания соответствующих математических моделей посвящена обширная научная литература [1-12 и др.]. Традиционные конструкционные материалы (металлы и их сплавы), характеризующиеся большими значениями упругих и прочностных параметров, как правило, обладают малыми показателями демпфирующих свойств [9, 10]. В связи с этим для снижения виброактивности и динамической напряженности элементов тонкостенных конструкций широко используются различные по исполнению демпфирующие покрытия [13-16]. В фундаментальной монографии [17] рассмотрен широкий круг вопросов по проблеме демпфирования колебаний реальных конструкций и, в частности, тонкостенных конструкций с использованием поверхностных демпфирующих слоев. Показано влияние на демпфирование различных физических факторов: температуры, частоты колебаний, толщины слоев, уровня нагружения и т.д. Результаты этих исследований легли в основу создания международного стандарта по экспериментальному методу измерения демпфирующих свойств материалов1. В качестве материалов для демпфирующих слоев используются эластомеры на основе каучука или термопласты на основе битума с различного рода наполнителями: волокнами, известняком, глиной, усилителем клейкости и т.д. для достижения необходимых характеристик демпфирования [18-20]. При этом классическими являются однослойные покрытия со свободным и связанным демпфирующими слоями [17]. В первом случае демпфирование колебаний происходит в основном за счет деформаций растяжения-сжатия, во втором - за счет поперечного сдвига демпфирующего слоя, что не позволяет эффективно демпфировать колебания во всех областях конструкции при колебаниях на высоких собственных формах. С этой точки зрения более перспективным является интегрированный вариант демпфирующего покрытия, состоящего по толщине из двух слоев материала с ярко выраженными вязкоупругими свойствами, между которыми располагается тонкий армирующий слой из высокомодульного материала (металлической фольги, углеткани и пр.), обладающего высокой жесткостью при растяжении-сжатии и ничтожной жесткостью на изгиб (рис. 1). При статических и низкочастотных режимах деформирования можно принять классическую модель, в которой связанный слой находится в состоянии однородного поперечного сдвига, а свободный слой - в состоянии неоднородного растяжения-сжатия. Однако при резонансных колебаниях на более высоких частотах напряженно-деформированное состояние демпфирующих слоев может быть качественно другим за счет влияния на него сил инерции, что приводит к необходимости учета всех компонент напряженного состояния при определении рассеяния энергии в демпфирующих слоях пластины. Связанный слой Свободный слой Армирующий слой Рис. 1. Структура интегрального демпфирующего покрытия Fig. 1. The structure of the integral damping coating 1. Физические зависимости для вязкоупругого материала При динамическом деформировании вязкоупругого материала связь компонент тензора напряжений с компонентами тензоров деформаций и скоростей деформаций может быть представлена в виде зависимостей . В случае одноосного напряженно-деформированного состояния простейшая из таких зависимостей соответствует известной модели Кельвина - Фойгта [2, 7, 10, 21 и др.] . (1.1) Здесь E - динамический модуль упругости [22-24]; b - коэффициент вязкости материала. Рассмотрим случай, когда материал деформируется по гармоническому закону: ( - амплитуда деформации, - круговая частота). Найдем площадь петли гистерезиса, образуемой зависимостью (1.1) за один цикл колебаний с периодом T: . (1.2) Определенные интегралы в (1.2) имеют значения . С учетом этого получаем . Максимальная энергия за цикл колебаний: . Это дает возможность определить логарифмический декремент колебаний материала (ЛДК) как половину относительного рассеяния энергии в единице объема за один цикл колебаний [2, 7, 9 и др]: . Отсюда следует усредненный за цикл колебаний коэффициент , выраженный через ЛДК d, определяющий демпфирующие свойства материала при растяжении-сжатии: . (1.3) С учетом (1.3) модель (1.1) принимает вид . (1.4) Зависимость (1.4) можно обобщить на случай сложного напряженного состояния вязкоупругого материала: . (1.5) Векторы , содержат компоненты напряженного и деформированного состояний; , - соответственно матрица жесткости и матрица вязкого демпфирования материала. Для изотропного вязкоупругого материала, находящегося в плоском напряженном состоянии, матрицы и будут такими: (1.6) Здесь E, G, , - динамические модули упругости и ЛДК материала соответственно при растяжении-сжатии и сдвиге; - коэффициент Пуассона. 2. Конечный элемент удлиненной пластины с интегральным демпфирующим покрытием, аппроксимация перемещений и геометрические зависимости Для моделирования динамической реакции удлиненной пластины с интегральным демпфирующим покрытием предлагается использовать метод конечных элементов [25-28 и др.]. При этом возможно использование традиционных подходов, состоящих в представлении пластины по длине и толщине в виде совокупности типовых конечных элементов: основной и демпфирующие слои можно представить прямоугольными элементами [28]; армирующий слой - стержневыми безмоментными элементами. Однако проведенные численные эксперименты при статическом нагружении недемпфированной пластины показали, что для достижения приемлемых результатов число элементов по толщине и длине пластины должно быть достаточно большим. Исходя из этого разработан специальный четырехслойный конечный элемент с 14 степенями свободы (рис. 2): слой 1 (основной материал) работает в рамках гипотез Кирхгофа - Лява; демпфирующие слои 2 и 4 находятся в плоском напряженном состоянии; армирующий слой 3 работает на растяжение-сжатие (толщина данного слоя считается пренебрежимо малой). Независимыми узловыми параметрами элемента являются перемещения ui, wi (i = 1, 2, …, 6) и углы поворота φ1, φ4 поперечных сечений слоя 1, представляемые вектором . Рис. 2. Конечный элемент удлиненной пластины с интегральным демпфирующим покрытием Fig. 2. The finite element of the elongated plate with the integral damping coating Слой 1 элемента находится в состоянии растяжения-сжатия и изгиба. Для воспроизведения данного состояния перемещения произвольной точки, расположенной на оси данного слоя, аппроксимируются зависимостями (2.1) с вектором узловых перемещений и базисными функциями , . Деформация в точке, расположенной на расстоянии от оси слоя 1, определяется геометрической зависимостью . С учетом аппроксимаций (2.1) последнюю зависимость можно привести к виду , (2.2) где . Перемещения произвольной точки слоя 2 с координатами x, аппроксимируются билинейными зависимостями: (2.3) (2.4) Деформации и угол сдвига рассматриваемого слоя определяются геометрическими зависимостями: . С учетом аппроксимаций (2.3) и (2.4) величины и угол сдвига можно представить в виде , (2.5) где (2.6) (2.7) Перемещение произвольной точки армирующего слоя 3 аппроксимируется зависимостью , которая дает постоянную в пределах элемента деформацию . (2.8) Перемещения точки слоя 4 с координатами x, представляются зависимостями: (2.9) (2.10) Деформации и угол сдвига рассматриваемого слоя определяются геометрическими зависимостями: . С учетом представлений (2.9) и (2.10) получаем связь и с узловыми перемещениями конечного элемента: , (2.11) (2.12) (2.13) 3. Формирование матрицы жесткости, матрицы демпфирования и матрицы масс конечного элемента Матрица жесткости, матрица демпфирования и матрица масс элемента получаются путем прямого сложения соответствующих вкладов слоев, формируемых относительно вектора узловых перемещений : . Матрицы можно получить из выражений для потенциальной энергии деформации соответствующих слоев элемента. Найдем : . (3.1) Здесь b - ширина элемента, - динамический модуль упругости материала первого слоя. Величину с учетом (2.2) можно представить в виде . Подставляя последнее выражение в (3.1), получаем . После нахождения определенных интегралов выражение для можно привести к виду , где - матрица жесткости первого слоя относительно вектора узловых перемещений : , . Для перехода к матрице относительно вектора узловых перемещений всего элемента необходимо воспользоваться преобразованием , где - матрица связи вектора с вектором : (3.2) Потенциальная энергия деформации второго и четвертого слоев элемента: . (3.3) Матрицы жесткости материала имеют вид . Выражение (3.3) с учетом зависимостей (2.5) и (2.11) можно записать как , где (3.4) есть вклад слоя i в матрицу жесткости конечного элемента. Введем замену координат: ; ; (3.5) С учетом этого выражение (3.5) принимает вид . (3.6) Интеграл в (3.6) находится численно. Из выражений (2.6), (2.7), (2.12), (2.13) и введенной замены (3.5) следует, что произведение под интегралом квадратично зависит от координат , . В этом случае для точного вычисления интеграла следует использовать квадратурную формулу Гаусса с двумя точками по каждому координатному направлению [25, 29, 30]: . (3.7) Здесь , - координаты точек Гаусса, - весовые множители. Потенциальная энергия деформации третьего (армирующего) слоя . Здесь - динамическая жесткость слоя при растяжении-сжатии. С учетом соотношения (2.8) выражение для приводится к виду , где есть матрица жесткости армирующего слоя относительно узловых перемещений . Для перехода к матрице относительно вектора узловых перемещений всего элемента необходимо воспользоваться преобразованием , где - матрица связи вектора с вектором : . Перейдем к определению матриц демпфирования слоев элемента. Матрицы демпфирования слоев 1 и 3 (если учитывать их демпфирующие свойства), как следует из (1.4), могут быть получены путем умножения матриц жесткости соответственно на величины , где - ЛДК материала данных слоев при циклическом растяжении-сжатии: . Матрицы демпфирования слоев 2 и 4 получаются путем замены в соотношении (3.7) матриц матрицами , определяемыми согласно второму выражению в (1.6): . При формировании матриц масс слоев элемента считается, что их кинетическая энергия T(i) определяется только скоростями в направлении оси 1z (см. рис. 2). Для представления данных скоростей используются аппроксимации: , (3.8) , (3.9) . (3.10) Векторы состоят из блоков и : (3.11) , (3.12) (3.13) . (3.14) Найдем кинетическую энергию первого слоя: . Здесь - погонная масса слоя ( - плотность материала). С учетом (3.8) выражение для принимает вид . Отсюда следует матрица масс первого слоя относительно узловых скоростей : . После нахождения определенного интеграла получаем Для перехода к матрице относительно вектора узловых скоростей элемента необходимо использовать преобразование с матрицей , определяемой выражениями (3.2). Кинетическая энергия второго и четвертого слоев элемента . С учетом представления (3.9) выражение для можно привести к виду , где есть матрица масс слоя i (i = 2, 4) элемента относительно узловых скоростей . Перейдем к безразмерным координатам x, h, используя замену (3.5): . (3.15) Из выражений (3.5), (3.9) и (3.11)-(3.14) видно, что произведение в (3.15) квадратично зависит от координат x, h. Для вычисления определенного интеграла берется квадратурная формула Гаусса с двумя точками по каждой координате: при , и . Кинетическая энергия третьего слоя . Здесь - погонная масса слоя. С учетом (3.10) выражение для можно привести к виду , где есть матрица масс третьего слоя относительно узловых скоростей , . Для перехода к вектору узловых скоростей всего элемента используется преобразование , где - матрица связи скоростей и с вектором : . 4. Формирование системы разрешающих уравнений Предположим, что внешняя нагрузка приведена к узлам элемента и представлена вектором . Для получения уравнений движения конечного элемента воспользуемся уравнениями Лагранжа второго рода, беря в качестве обобщенных координат его узловые перемещения : . (4.1) Здесь , - соответственно кинетическая энергия и вектор обобщенных сил, учитывающий упругие, демпфирующие и внешние узловые силы конечного элемента. Выражение для можно представить в виде однородной квадратичной формы узловых скоростей элемента: . Это дает . (4.2) Вектор в (4.1) можно определить с использованием выражения , (4.3) где , - потенциальная энергия деформации конечного элемента и диссипативная функция Релея, представляемые в виде соответствующих квадратичных форм: . С учетом этого выражение (4.3) принимает вид . (4.4) После подстановки (4.2) и (4.4) в (4.1) приходим к системе дифференциальных уравнений движения конечного элемента . (4.5) Объединяя уравнения (4.5) по всем конечным элементам методом прямой жесткости [31, 32], получаем уравнение движения конечно-элементной модели пластины: . (4.6) Здесь , , , , - соответственно матрица масс, матрица демпфирования, матрица жесткости, вектор узловых перемещений и вектор внешних узловых сил отмеченной модели. Уравнения (4.6) можно использовать без каких-либо ограничений для анализа всевозможных динамических процессов. Рассмотрим резонансные колебания при действии нагрузки с амплитудой и частотой , где - одна из частот свободных колебаний пластины. В этом случае колебания пластины происходят по форме (моде) , соответствующей частоте : , (4.7) где - нормальная координата. Подставляя (4.7) в систему (4.6) при и применяя после этого процедуру метода Бубнова - Галеркина, получаем уравнение относительно координаты : (4.8) с модальными параметрами Решение уравнения (4.8) будем искать в виде , (4.9) где - сдвиг фазы нормальной координаты относительно вектора нагрузки . Подставляя (4.9) в уравнение (4.8) и сокращая после этого общий множитель , приходим к системе уравнений , (4.10) где , . Из системы (4.10) находятся составляющие и , по которым можно определить амплитуду и : . Уравнения (4.10) могут быть использованы для построения амплитудно-частотной и фазово-частотной характеристик пластины при колебаниях в резонансной зоне (при частоте и незначительном отклонении ее от ). При в силу равенства диагональные элементы матрицы системы (4.10) обнуляются, и тогда , , . Частоты и формы свободных колебаний пластины можно определить из системы однородных уравнений [29, 33 и др.] , (4.11) составляющей содержание обобщенной проблемы собственных значений и собственных векторов совокупности матриц и . Собственными значениями являются квадраты частот , собственными векторами - формы . Для решения проблемы (4.11) можно воспользоваться известным методом Якоби [34, 35 и др.], реализуемым встроенными функциями (решателями) популярных пакетов компьютерной математики MATLAB, Mathcad, Mathematica. Однако эти функции дают полный спектр собственных форм и частот, из которых практический интерес представляют лишь несколько низших собственных пар (форм и частот). Поэтому предпочтительными будут методы, основанные на итерировании матриц [29, 33, 36], из которых наиболее подходящим является метод итераций в подпространстве [29, 33], позволяющий итерировать одновременно несколько низших форм и частот. В работе [37] изложены меры, направленные на обеспечение безусловной устойчивости и повышение скорости сходимости отмеченного метода. Остановимся на вопросе определения амплитуд напряжений в вязкоупругих (демпфирующих) слоях пластины и ее ЛДК dj при резонансных колебаниях по форме . Для определения амплитуд напряжений в демпфирующих слоях 2, 4 конечных элементов в качестве исходных можно использовать физические зависимости . (4.12) Амплитуды деформаций определяются через амплитуды узловых перемещений конечных элементов с использованием геометрических соотношений (4.13) с матрицами связи , блоки которых определяются выражениями (2.6), (2.7) (для i = 2) и (2.12), (2.13) (для i = 4). Векторы определяются выражением , (4.14) где - компоненты формы , относящиеся к рассматриваемому конечному элементу. С учетом (4.13) и (4.14) зависимости (4.12) принимают вид . Величина dj определяется выражением , где и - соответственно рассеянная и максимальная энергии в объеме пластины за один цикл резонансных колебаний по форме : . 5. Численные эксперименты Для проведения численных экспериментов выбрана удлиненная шарнирно-опертая пластина с интегральным демпфирующим покрытием (рис. 3). На пластину действует погонная нагрузка с амплитудой q0 = 0,08 кН/м и частотой p, совпадающей с одной из собственных частот wj. Геометрические параметры пластины: длина L = 200 мм; ширина b = 20 мм; толщина h1=1 мм. Толщины демпфирующих слоев: h2 = h4 = 1,8 мм. Армирующий слой имеет толщину h3 = 0,12 мм. Материал пластины - алюминиевый сплав Д16АТ с динамическим модулем упругости E = = 5,54·104 МПа, ЛДК при растяжении-сжатии d = 0,005 и плотностью ρ = 2700 кг/м3. Материал демпфирующих слоев - техническая резина. Динамические модули упругости и ЛДК резины при растяжении-сжатии и сдвиге (по данным работы [22]): E = 20,1 МПа; G = 2,6 МПа, de = 1,23, dg = 1,1. Плотность резины ρ = 1345 кг/м3, коэффициент Пуассона n = 0,49. Армирующий слой - углелента ЭЛУР-П (динамический модуль упругости E = 10,5·104 МПа, ЛДК при растяжении-сжатии d = 0,006, плотность ρ = 1200 кг/м3). Пластина разбивалась на 100 конечных элементов одинаковой длины. Рис. 3. Удлиненная пластина с интегральным демпфирующим покрытием Fig. 3. An elongated plate with the integral damping coating Определялось напряженно-деформированное состояние пластины при резонансных колебаниях по нескольким нечетным формам (четные формы не рассматривались, так как модальные силы от нагрузки в уравнении (4.8) на данных формах для шарнирно-опертой пластины получаются нулевыми). На рис. 4, 5 приведены амплитуды нормальных напряжений , и касательного напряжения в срединных поверхностях связанного и свободного демпфирующих слоев при резонансных колебаниях пластины соответственно по первой и седьмой формам. а б Рис. 4. Амплитуды напряжений в связанном (а) и свободном (б) демпфирующих слоях пластины при резонансных колебаниях по первой форме: 1 - sx,0; 2 - sz,0; 3 - τxz,0 Fig. 4. The amplitudes of the stresses in the bound (a) and free (b) damping plate layers with resonant oscillations in the first form: 1 - sx,0; 2 - sz,0; 3 - τxz,0 Анализ данных результатов показывает, что при резонансных колебаниях пластины по первой (основной) форме в связанном слое доминируют касательные напряжения (рис. 4, а), а в свободном слое в преобладают нормальные напряжения (рис. 4, б). При колебаниях по седьмой форме в связанном слое на фоне напряжений появляются значительные напряжения и (рис. 5, а) (амплитуда составляет приблизительно 63 % от величины , а амплитуда напряжения почти сравнивается с ). В свободном слое (рис. 5, б) кроме напряжения появляются значительные напряжения и , из которых наиболее существенным является напряжение от поперечного обжатия слоя. а б Рис. 5. Амплитуды напряжений в связанном (а) и свободном (б) демпфирующих слоях пластины при резонансных колебаниях по седьмой форме: 1 - sx,0; 2 - sz,0; 3 - τxz,0 Fig. 5. The amplitudes of the stresses in the bound (a) and free (b) damping plate layers with resonant vibrations in the seventh form: 1 - sx,0; 2 - sz,0; 3 - τxz,0 В табл. 1 приведены циклические частоты свободных колебаний пластины, найденные из системы (4.10) методом итераций в подпространстве, и ЛДК при резонансных колебаниях по 8 нечетным формам . Наблюдаемое увеличение значений на высоких формах колебаний (начиная с 11-й формы) можно объяснить влиянием нормальных напряжений sz на общий уровень демпфирования пластины, возникающих за счет сил инерции в демпфирующих слоях, что важно при решении задач прохождения звуковых волн через конструкции с вязкоупругими демпфирующими слоями и покрытиями. Для сравнения в последнем столбце табл. 1 приведены ЛДК , полученные без учета рассеяния энергии за счет нормальных напряжений sz при поперечном обжатии демпфирующих слоев пластины. Значения , полученные без учета влияния sz, по мере увеличения номера формы колебаний становятся существенно меньше ЛДК , найденных с учетом всех трех компонент напряженного состояния. Таблица 1 Циклические частоты fj свободных колебаний пластины и ЛДК dj при резонансных колебаниях по формам Fj Table 1 The cyclic frequencies fj of free plate oscillations and LVDs dj at resonance oscillations in the forms of Fj j fj, Гц 1 70,1 0,576 0,575 3 358,7 0,436 0,435 5 859,1 0,239 0,237 7 1594,3 0,157 0,148 9 2554,9 0,137 0,106 11 3705,8 0,165 0,086 13 4974,3 0,243 0,078 15 6241,5 0,382 0,076 Для оценки достоверности полученных результатов проверено условие выполнения энергетического баланса, состоящего в равенстве рассеянной энергии в объеме пластины за один цикл колебаний работе внешних сил . В табл. 2 приведены результаты проверки условия при резонансных колебаниях пластины по первым трем нечетным формам . Таблица 2 Результаты проверки условия ΔWj = Aj Table 2 The test results of condition ΔWj = Aj j ΔWj, Дж Aj, Дж 1 0,596601 0,596601 3 0,003333 0,003333 5 0,000382 0,000382 Выводы 1. Дано обобщение модели Томпсона-Кельвина - Фойгта для описания вязкоупругих свойств материала при растяжении-сжатии на случай сложного напряженного состояния для учета упругих и демпфирующих свойств материала вязкоупругих слоев интегрального демпфирующего покрытия пластины. 2. Разработана конечно-элементная методика определения динамической реакции удлиненной пластины с интегральным демпфирующим покрытием на основе четырехслойного конечного элемента с 14 степенями свободы: основной материал работает в рамках гипотез Кирхгофа - Лява, демпфирующие слои находятся в плоском напряженном состоянии, армирующий слой работает на растяжение-сжатие. 3. Проведены численные эксперименты по апробации разработанной методики на примере удлиненной шарнирно-опертой пластины с интегральным демпфирующим покрытием, состоящим из двух слоев технической резины, между которыми расположен тонкий армирующий слой из углеленты ЭЛУР-П. Выявлено существенное возрастание поперечного напряжения sz в демпфирующих слоях пластины при высоких частотах колебаний, приводящее к увеличению ее демпфирующих свойств. 4. Проверено условие выполнения энергетического баланса, состоящего в равенстве рассеянной энергии в объеме пластины и работе внешних сил за один цикл резонансных колебаний.

About the authors

V N Paimushin

Kazan National Research Technical University A.N. Tupolev; Kazan Federal University

V A Firsov

Kazan National Research Technical University A.N. Tupolev

V M Shishkin

Vyatka State University

References

Statistics

Views

Abstract - 417

PDF (Russian) - 295