Full Text

Введение Настоящая работа является логическим продолжением исследования [1], в котором была поставлена и решена задача о статическом расширении цилиндрической полости в сжимаемой упругопластической среде. Также подчеркнем, что аналогичная задача о расширении сферической полости была рассмотрена в работах [2, 3]. Заметим, что вывод моделей, описывающих расширение полости в среде, - один из эффективных способов оценки сопротивления среды прониканию. Развитию этого подхода посвящено большое число работ, отметим классические работы: исследования советских [4-6] и зарубежных ученых [7-10]; обширные монографии [11, 12]; исследования последних лет, среди которых выделяются работы нижегородских [13-21] и израильских специалистов [22, 23], также отметим обзорные работы [24, 25] и монографию [26], которые содержат важные выводы о связи моделей локального взаимодействия с моделями, описывающими расширение полости. Более подробно обзорная часть представлена в работе [1]. В настоящей статье рассмотрена задача о динамическом расширении цилиндрической полости в сжимаемой упругопластической среде с учетом конечных деформаций, нелинейной сжимаемости, зависимости предела текучести от давления. Получена модель сопротивления среды динамическому прониканию тонкого заостренного тела вращения, проведена верификация модели на базе ряда экспериментальных результатов, взятых из справочника [27]. 1. Постановка задачи и построение аналитического решения Приведенная в работе [1] постановка задачи о статическом расширении цилиндрической полости в полупространстве содержит основные соотношения, которые также используются в настоящей работе, отличие возникает только для уравнения движения, в которое включена инерционная составляющая. Поэтому здесь ограничимся перечислением основных формул и уравнений. Рассматривается пространственно-одномерная задача (с осевой симметрией) о динамическом расширении цилиндрической полости в полупространстве под действием нормальной распределенной нагрузки на границе. Вводятся следующие обозначения: r, x - лагранжевая и эйлеровая координата; R0, R - начальный и конечный радиус полости (рис. 1). Расширение цилиндрического отверстия в материале осуществляется от начального R0 до конечного радиуса R, в области расположена зона пластических деформаций, за границей - упругая зона. Кроме того, справедливы соотношения: , , (1) где - перемещение частицы с координатой r. Рис. 1. Схема расширения полости: 1 - полость; 2 - область пластических деформаций; 3 - область упругих деформаций Fig. 1. The scheme of the cavity expansion: 1 is a cavity; 2 is a plastic regime; 3 is anelastic regime Закон сохранения массы выделенного материального объема принимается в форме [28] , (2) где , ρ - начальная и текущая плотность; , - начальный и текущий элементарный объем частицы. Связь между главными компонентами лагранжевого (отмечены символом «*») и эйлерового тензоров напряжений [28] записывается в виде: , . (3) Уравнение движения примем в форме [5, 28] . (4) В упругой области девиаторные компоненты тензора напряжений в главных осях определяются из соотношений закона Гука в дифференциальной форме: , , (5) где G - модуль сдвига; - главные компоненты девиатора тензора напряжений и деформаций. Условие пластичности принимается в форме Кулона [4]: , (6) где τ, σ - касательное и нормальное напряжение на площадке; c - сцепление; φ - угол внутреннего трения. В компонентах тензора напряжений и для пространственно-одномерного случая с осевой симметрией условие (6) принимает вид [4] , (7) где , , знак перед - «минус», если , в противном случае «плюс». Уравнение состояния запишем в единой форме (для металлов и пористых сред): , (8) где - коэффициенты (объемные модули) при линейном и нелинейном слагаемом. Начальный (касательный) объемный модуль материала имеет вид . (9) Выражение (8), записанное в общем виде, позволяет переходить к частным случаям. Вариант А. Поскольку металлы являются пластически несжимаемыми, то и из (8) следует известное уравнение состояния (рис. 2, кривая 1): . (10) Рис. 2. Зависимость уравнения состояния: 1 - для металла; 2 - для пористого материала Fig. 2. The dependence for the equation of state in the metal (1) and porous material (2) Вариант Б. Для описания сжимаемости пористой среды ( ) необходимо учесть экспериментальный факт существования некоторой степени уплотнения , начиная с которой сопротивление уплотнению существенно возрастает. Этот эффект связан с выборкой начальной пористости материала. В этом случае уравнение состояния принимаем в форме [2]: , (11) где - предельная деформация пористой среды (рис. 2, кривая 2). Существует предельный объем , связанный с предельной деформацией зависимостью . Переходя в этой формуле от объемов к плотностям, получим связь между предельной деформацией грунта и предельной плотностью в виде соотношения . Используя второе соотношение (5), можно получить связь между текущей плотностью, предельной деформацией и давлением для пористых сред: , (12) и металлов: (13) Предполагаем отсутствие деформации в направлении оси цилиндрической полости поэтому в упругой области справедлива связь Также полагаем, что это соотношение сохраняется и в пластической области для [29]. Используя условие пластичности (7) в условиях цилиндрической симметрии, можно выразить все компоненты тензора напряжений в пластической области через давление: , . (14) Полагая, что и μ - постоянные величины, преобразуем уравнение (4) к виду . (15) Обозначим , умножим уравнение (15) на и проинтегрируем по лагранжевой координате от R0 до r с учетом граничных условий и . Получим выражение для распределения давления в пластической области при (или ): , (16) где - внешняя граница пластической области. Необходимо отметить, что в выражение (16) входит интеграл (обозначим его ), который отражает влияние сил инерции. При вычислении интеграла будем опираться на предположение о постоянстве плотности (это предположение применяется только при оценке сил инерции) , откуда следует: . Дифференцируем два раза последнее выражение, получим: , . Выразим : . (17) С учетом (17) преобразуем интеграл и перейдем к интегрированию по x: . (18) Вычислим интеграл (18): . (19) Предполагаем, что во внешней (упругой) области при (или ) справедливо обычное упругое статическое решение при малых деформациях. Общее решение упругой задачи, следуя [29]: , , , (20) где D - неизвестная постоянная. Следуя методике [2, 3] получения решения задачи о расширении сферической полости, требуем на границе упругой и пластической областей [29] непрерывности напряжений , и радиального перемещения u, откуда находим значение неизвестной D и значение Подставляя последнее выражение в (16) и используя связь (18), получим: (21) где , , , , Аналогичным образом определяется удельное сопротивление материала расширению полости: (22) где - нормальное напряжение на границе полости (внешнее воздействие). Связь между параметрами и имеет вид Чтобы получить соответствующие (21), (22) выражения для металлов, осуществим предельный переход при Воспользовавшись правилом Лопиталя, получим: (23) (24) Из соотношения (12), выразив и подставив его в уравнение неразрывности, получим окончательное нелинейное уравнение для определения радиуса цилиндрической полости R в пористой среде с заданными характеристиками под действием внутреннего давления : (25) Проводя аналогичные выкладки для соотношения (13), получим нелинейное уравнение для определения радиуса цилиндрической полости в металле: . (26) Выражение для (22) и (24) позволяет оценить сопротивление среды динамическому расширению полости: (27) где первое слагаемое отражает собственное сопротивление, второе и третье слагаемые характеризуют инерционное сопротивление. Безразмерные параметры определяются соотношениями: - для металлов: (28) - для пористых сред (грунтов): (29) Оценка параметра входящего в соотношения (28) и (29), получена в [1], где предложена следующая аппроксимирующая зависимость: (30) где В работе [1] также был проведен комплекс расчетов для ряда сплавов и геологических сред на основе большого числа данных и получены следующие параметры аппроксимирующей зависимости (30): С = 1,300 (магниевые сплавы); С = 1,435 (алюминиевые сплавы); С = 1,359 (титановые сплавы); С = 1,283 (стали); С = 1,319 (пески); С = 1,313 (супеси); С = 1,460 (суглинки); С = 1,888 (глины). Отметим, что относительная ошибка аппроксимации для всех зависимостей не превосходит 1 %. 2. Модель динамического проникания Построим инженерную модель динамического проникания жесткого заостренного тела в пластичную преграду при условии вязкого образования кратера. В качестве основного допущения используем известную модель А.Я. Сагомоняна [5] - модель радиального расширения отверстия, справедливую для заостренных ударников. Предполагаем, что частицы материала преграды движутся в радиальном направлении в процессе проникания и образования кратера. Будем предполагать, что радиус кратера ограничен поверхностью ударника, за исключением лицевых слоев преграды, где наблюдается инерционное расширение отверстия. Пренебрегая последним, при средних скоростях проникания (при ударе по нормали) примем радиус кратера равным границе поверхности ударника : , (31) где f - уравнение образующей ударника; - координата, отсчитываемая от кончика ударника вдоль его оси (рис. 3). Уравнение образующей кратера зависит от текущего положения ударника при проникании, поэтому в зависимости (31) удобно перейти к координате y, отсчитываемой от лицевой поверхности, и к текущей глубине проникания ударника L: . Тогда (31) перейдет к виду . (32) Рис. 3. Схема проникания ударника в преграду Fig. 3. The scheme of the impactor penetration into the shield Отметим, что для цилиндрического ударника с конической головной частью высотой и углом полураствора конуса при вершине α уравнение образующей имеет вид (33) Найдем производные первого и второго порядка от выражения (32): , (34) (35) Отметим, что в общем случае (см. рис. 3) . (36) Для ударника с конической головной частью с учетом (33) получим: , . (37) Формулы (37) справедливы при условии , что соответствует скорости и ускорению расширения радиуса кратера для конической части ударника. Цилиндрическая часть ударника (согласно допущению) не приводит к расширению кратера, и производная в этом случае будет равна нулю. Используем основное предположение модели А.Я. Сагомоняна о радиальном расширении частиц материала преграды при проникании жесткого заостренного ударника, а именно: полагаем, что сопротивление материала образованию кратера (см. рис. 3) совпадает с удельным сопротивлением расширению цилиндрической полости , определяемым формулой (27): (38) В этом случае нормальное на границе удельное сопротивление прониканию для цилиндрического ударника с конической головной частью согласно (37): - для конической части , (39) - для цилиндрической части . Сопротивление прониканию ударника, обусловленное удельным сопротивлением материала , , (40) и трением - . (41) Тогда уравнение движения ударника массы m примет вид . (42) В выражении (42) принято, что , где - коэффициент трения. Уравнение движения (42) с учетом соотношений (34), (35), (27) можно привести к виду (43), по форме совпадающему с известным уравнением, основанным на эмпирической двухчленной зависимости сопротивления прониканию [30]: . (43) Принципиальное отличие уравнения (43) от эмпирической зависимости состоит в наличии «присоединенной массы» , которая меняется в ходе процесса проникания. В результате этого получаем уравнение движения материальной точки с переменной массой. В уравнении (43) , (44) , (45) (46) Следуя [23, 26], можно вывести формулы в явном виде для «интегральных характеристик» проникания, а именно - баллистического предела (БП) : , (47) и остаточной скорости (ОС) : , (48) где - начальная скорость (скорость удара); h - высота головной (конической или оживальной) части ударника; b - толщина плиты. Под баллистическим пределом понимается такая скорость удара, при которой ударник пробивает преграду конечной толщины b и покидает ее с нулевой остаточной скоростью . Приведем также более простую модель проникания конического ударника без учета влияния присоединенной массы и трения на сопротивление прониканию: (49) В случае проникания в однородную пластину в соотношении (49) можно вычислить интегралы и получить следующую зависимость: , (50) где выражение в круглых скобках соответствует удельному сопротивлению проникания (27) при нулевом третьем слагаемом. 3. Верификация модели проникания на основе натурных экспериментов Для верификации модели из справочника [27] были выбраны пять экспериментальных работ по прониканию ударников с конической и оживальной головной частью в алюминиевую плиту [8-10, 31, 32]. Выбор экспериментов для верификации был продиктован, во-первых, соответствием условий проникания допущениям модели (тонкий заостренный ударник, средние скорости проникания и т.д.), а во-вторых, доступностью информации по механическим характеристикам испытываемых материалов, в частности, по динамическому пределу текучести. Отметим, что в рамках данной статьи верификация модели на геологических средах не рассматривается, т.е. формулы (29) не использовались, все расчеты проведены с применением формул (28). Еще одно замечание касается учета трения. Для оценки коэффициента трения использовался результат экспериментальной работы [33]. Основной вывод данной работы: при ударном проникании влияние трения на расход кинетической энергии ударника составляет 3 %. Поскольку расход начальной кинетической энергии ударника равен работе силы сопротивления преграды прониканию ударника на конечную глубину по мере его движения в полубесконечной плите, то на базе экспериментальных данных можно оценить коэффициент трения. Рис. 4. Зависимость скорости ударника от глубины проникания, расчет на основе экспериментальных данных [32]: 1 - без переменной массы; 2 - с переменной массой; 3 - глубина проникания (эксперимент) Fig. 4. The dependence of the impactor velocity on the penetration depth, the calculation is based on the experimental data [32]: 1 - without variable mass; 2 - with variable mass; 3 - penetration depth (experiment line) Результаты вычислений по данным экспериментальных работ [8-10, 31, 32] составили В упомянутых экспериментальных работах в качестве материала преграды использовались следующие алюминиевые сплавы: сплав 6061-Т651 в [8], сплав 5083-H131 в [9], сплав 7075-Т651 в [10], сплав 6061-Т6511 в [31] и сплав 65-S в [32]. Для этих сплавов в расчетах применялись следующие значения динамического предела текучести: 500 МПа для сплавов 6061-Т651 и 6061-Т6511 (согласно работам [34, 35]), 700 МПа для сплава 7075-Т651 (согласно исследованию [36]) и 430 МПа для сплава 5083-H131 (согласно [37]). В перечисленных работах приведены эксперименты и численные расчеты по оценке динамического предела текучести указанных сплавов. К сожалению, информация по динамическому пределу текучести для сплава марки 65-S отсутствует, однако работа [32] представляет интерес, поскольку в ней варьировались углы при вершине конической части ударника. Поэтому динамический предел текучести подбирался для самого острого ударника (α = 10°). Таким способом оценивался диапазон углов полураствора конуса, при котором справедлива используемая модель проникания. Также был оценен вклад «присоединенной массы», образуемой в процессе движения ударника в преграде. Исходя из графиков на рис. 4, можно заключить, что влияние «присоединенной массы» увеличивается с ростом угла полураствора конуса, однако остается незначительным - разница между двумя кривыми на графиках составляет несколько процентов. Учитывая основное допущение о радиальном расширении отверстия, справедливое для заостренных ударников, рассматривать большие углы при вершине конуса не имеет смысла, поэтому вкладом «присоединенной массы» можно пренебречь, полагая Этот результат подтверждается и по экспериментальным данным других работ. Отметим, что влияние «присоединенной массы» может оказаться значительным для затупленных форм ударника, в таком случае в процессе проникания возможно образование пробки, однако эти варианты проникания выходят за рамки настоящей статьи. В табл. 1 содержатся результаты сравнения теоретических и экспериментальных значений глубины проникания (ГП). Ошибка отклонения теоретических результатов от экспериментальных вычислялась по формуле (51) где - ГП, полученная в эксперименте; - ГП, рассчитанная по формулам (28), (30), (43)-(46), коэффициент трения в расчетах принят . Согласно полученным результатам относительная ошибка не превосходит 10 % для ударников с углом полураствора не выше 20°. Отметим, что при ошибка примерно равна 10 %, а при уже превосходит 20 %. Предлагается следующее условие применимости модели для конических ударников: угол полураствора не выше 25°. Таблица 1 Сравнение результатов расчета глубины проникания конического ударника в алюминиевый сплав 65-S с экспериментальными данными [32] Table 1 Comparing the calculated and measured penetration depths of a conical impactor into the 65-S aluminum shield [32] Угол α, град. Скорость удара, м/с ГП (экспериментальная), мм ГП (теоретическая), мм ω, % 10 650 105,2 103,6 -1,5 762 >137,2 132,6 -3,3 15 644 94,7 92,6 -2,2 761 127,0 119,8 -5,7 20 661 92,7 87,8 -5,3 760 118,6 107,6 -9,3 25 654 85,3 78,2 -8,3 768 111,5 97,2 -12,8 30 670 84,6 72,3 -14,5 793 113,8 88,9 -21,9 40 657 76,2 54,8 -28,1 771 99,6 64,5 -35,3 50 646 71,4 39,9 -44,2 752 90,9 45,2 -50,1 60 632 67,1 26,9 -60,0 774 92,2 30,7 -66,7 В табл. 2 приведены результаты испытаний, расчетов и их сравнение по глубине проникания (ГП) в полубесконечную преграду оживальных ударников с отношением радиуса дуги окружности оживальной формы к максимальному диаметру (калибру), равным трем. Коэффициент трения в расчетах принят равным 0,02. Как и ранее, относительная ошибка вычисляется по формуле (51). На рис. 5, 6 сравниваются остаточная скорость (ОС) и баллистический предел (БП) для цилиндрического ударника диаметром 8,31 мм с конической головной частью высотой 14,83 мм ( ) на базе работы [9]. Здесь маркеры - экспериментальные результаты, а кривые - теоретические БП и ОС, вычисленные по формулам (47) и (48) соответственно. Относительная ошибка вычисления значений ОС и БП, представленных на рис. 5, 6, определялась по формуле, аналогичной (51). В целом можно отметить, что, за исключением случаев сравнения по остаточной скорости для скоростей удара, близких к баллистическому пределу, ошибка отклонения лежит в пределах 10 %. Отметим, что сопоставление результатов проводилось по значениям, которые удовлетворяли допущениям модели, т.е. высокие скорости проникания опускались. Сравнение с результатами других экспериментальных работ подтвердило непригодность модели в случае проникания конических ударников с углами полураствора более 30°. Также модель непригодна при низких ударных скоростях (менее 200 м/с) и при проникании в тонкие преграды. Таблица 2 Сравнение результатов расчета глубины проникания оживального ударника в алюминиевые сплавы с экспериментальными данными: 6061-T651 [8], 7075-T651 [10], 6061-T6511 [31] Table 2 Comparing the calculated and measured penetration depths of an ogive impactor into an aluminum shield: 6061-T651 [8], 7075-T651 [10], 6061-T6511 [31] Источник Скорость удара, м/с ГП (экспериментальная), мм ГП (теоретическая), мм ω, % [8] 440 44 43 -3,2 730 94 91 -3,2 790 105 102 -2,8 [10] 372 26 28 5,7 695 70 70 0,4 [31] 569 58 56 -3,9 570 55 56 1,6 679 72 73 1,0 821 102 96 -5,6 794 103 93 -9,4 Рис. 5. Зависимость баллистического предела от толщины преграды, расчет на основе экспериментальных данных [9] Fig. 5. The dependence of the ballistic limit velocity on the shield thickness, the calculation is based on the experimental data [9] Сравнительный анализ полученной модели проникания с данными натурных экспериментов позволяет заключить, что новую модель можно применять для тонких конических ударников (и их аналогов в форме оживала) с углом полураствора не более 25°, проникающих в металлические плиты средней толщины и более, при скоростях проникания 200-800 м/с. Рис. 6. Зависимость остаточной скорости ударника от скорости удара, расчет на основе экспериментальных данных [9]: 1 - преграда толщиной 12,7 мм; 2 - преграда толщиной 50,8 мм; 3 - преграда толщиной 76,2 мм Fig. 6. The dependence of the residual velocity of the impactor on the impactor velocity, the calculation is based on the experimental data [9]: 1 - the shield thickness is 12,7 mm; 2 - the shield thickness is 50,8 mm; 3 - the shield thickness is 76,2 mm Заключение Представлена новая постановка задачи о динамическом расширении цилиндрической полости в упругопластической сжимаемой среде с учетом конечных деформаций. Приведено разрешающее выражение в виде интегрального уравнения, определяющего сопротивление динамическому расширению полости и размер пластической зоны для различных материалов. Предложены аппроксимирующие соотношения для определения основных параметров, характеризующих сопротивление среды динамическому расширению полости. С учетом полученного решения разработана новая модель проникания при основном допущении радиального расширения полости, предложенном А.Я. Сагомоняном. Новая модель применима при оценке сопротивления сжимаемой среды прониканию тонкого заостренного тела при скоростях удара 200-800 м/с.

About the authors

A R Khasanov

Perm State National Research University

References

Statistics

Views

Abstract - 462

PDF (Russian) - 343