Full Text

Введение Несущая способность оснований и фундаментов в значительной степени определяется правильной оценкой напряженно-деформированного состояния грунтов и рациональностью выбранных типов оснований [1-6]. Математическое моделирование и оптимальное проектирование современных зданий и сооружений во многом зависят от качества грунта в основании фундамента, которое без перенапряжения должно воспринимать все нагрузки, действующие на конструкцию, обеспечивая ее прочность, жесткость и устойчивость. И в этой связи любые исследования, связанные с модернизацией и совершенствованием методов расчета оснований фундаментов, являются актуальными и перспективными. Представленная обзорно-тематическая научно-практическая работа посвящена приложению новых формул фундаментальной двумерной задачи теории упругости [7, 8, 10-13, 17, 21, 27-29] к уточненной количественной оценке напряжений, деформаций и перемещений в основании длинного жесткого фундамента при его одноразовом нагружении [1, 3-6]. Рассмотрим сосредоточенную нагрузку Р, нормальную к границе х = 0 упругодеформируемой полуплоскости , материал которой - однородный, сплошной, изотропный и подчиняется закону Гука, а распределение силового параметра Р по координатной оси z является равномерным (рис. 1). Cуществует фундаментальное решение этой задачи, называемое простым радиальным напряженным состоянием (1) которое получил в 1892 г. французский ученый А. Фламан [7-10] на основе осесимметричной пространственной математической модели Буссинеска [3, 14, 15]. Формулы (1) удовлетворяют двум уравнениям равновесия без учета объемных сил и условию сплошности среды или уравнению Мориса Леви в полярных координатах r, θ [7, 8, 10-12, 27-23]: (2) (3) (4) (r) x K O σr τ a l θ P y dθ a a z x B O σr σθ τ τ ν u r r dz d θ P = const y dQ = P · dz L,49 L Рис. 1. Расчетная схема напряженного состояния в плоскости xOy Fig. 1. Design scheme of stress-strain state in the xOy plane где - нормальные и касательное напряжения в произвольной точке полуплоскости (см. рис. 1). Граничные условия также соблюдаются, вследствие того что функции тождественно равны нулю, а результирующая внутренних усилий по принципу Сен-Венана [27-29] заменяется эквивалентной нагрузкой, распределенной по поверхности полуцилиндра малого радиуса , т.е. (5) Оказывается далее, что если провести окружность произвольного диаметра d с центром на оси х, касающуюся верхнего края полуплоскости, где приложена сила Р (см. рис. 1), то для любой точки этого круга, за исключением нулевой [7, 8, 14], (6) и на основании (1) (7) При этом и наибольшее касательное напряжение также остается постоянным [8, 20, 21]: (8) Продолжая решение задачи в напряжениях (1), Фламан [9] вывел функциональные соотношения для радиального и кольцевого перемещений точек, расположенных на границе полуплоскости при (см. рис. 1), что, как известно, имеет большое практическое значение для многих технических приложений, связанных прежде всего с физико-математическим моделированием плоских контактных задач [17-20], лежащих в основе расчета подшипников скольжения, цилиндрических катков [15, 17, 26, 32], балок на упругом основании [21, 33] и т.д. Соответствующие формулы применительно к плоской деформации выглядят следующим образом [2, 17]: (9) (10) где - модуль упругости и коэффициент Пуассона материала; l - координата произвольно выбранной точки K оси (см. рис. 1), где (11) Перемещение считается положительным, если оно направлено в сторону увеличения угла θ [7]. В данном случае (см. рис. 1), и это отражено в равенстве (10). Можно заметить, что классические зависимости (9), (10) содержат известные и физически не обоснованные противоречия о том, что в случае (согласно принципу Сен-Венана [7]) обе функции - (9), (10) - должны равняться нулю, т.е. (12) однако условия (12) не соблюдаются, так как при (13) Парадоксальный результат (13) не соответствует и базовому решению Буссинеска (рис. 2) [7, 14, 21], в случае перпендикулярно направленной силы Р на полупространство, в котором отсутствуют вышеуказанные противоречия на граничной плоскости и , как следствие, (14) откуда, в предельном случае , получаются нулевые ответы: (15) Для устранения физико-математической некорректности - парадокса (13) - вводим максимально расширенную, по сравнению с (1), модификацию напряженного состояния, возникающего в упругодеформируемой полуплоскости (см. рис. 1): (16) Горизонтальная черта над буквенными символами является отличительным признаком принадлежности того или иного параметра к усовершенствованной расчетной модели, изображенной на рис. 1. O P x P r r Рис. 2. Пространственная расчетная модель Буссинеска [7, 14, 17] и общий гиперболический характер изменения краевых функций в виде пунктирной кривой линии Fig. 2. The Boussinesq spatial analysis model [7, 14, 17] and the General hyperbolic nature of the edge functions’ change - a dashed curve line θ θ α α r o α α Плоское полупространство o r а б Рис. 3. Схемы углового выреза (а) и клиновидной области (б), математически аппроксимируемые выражением (17) Fig. 3. Schemes of angular cut (a) and wedge-shaped region (b), mathematically approximated by the expression (17) В процессе определения внутренних силовых характеристик используем общую фундаментальную формулу [7] (17) функции напряжений , применяемую для расчета элементов конструкций, имеющих форму вырезов и клиньев, включающих угловую точку «О» и плоские боковые поверхности, ограничивающие однородное изотропное полупространство (рис. 3). Зависимость (17) содержит 6 констант (любое число), которые подбирают, руководствуясь конкретной расчетной схемой, граничными условиями и физико-математическим смыслом рассматриваемой задачи. Доказано также [7], что функция (17) является точным решением однородных дифференциальных уравнений (2)-(4) [7-11, 23, 27] в случае (18) Учитывая специфические особенности осесимметричной модели рис. 1, сформулированную уточненную задачу в напряжениях (16) и возможность устранения противоречий (13), принимаем в аппроксимации (17) и на рис. 3, а, б: В результате, на основании (18) и [7, 22] будем иметь: (19) (20) (21) Первое граничное равенство (22) выполняется, а из второго краевого условия (23) находим (24) и тогда, с учетом известных замен [22], (25) получаем с точностью до постоянной С2 функциональные соотношения: (26) (27) (28) Для определения коэффициента С2, по аналогии с моделью (1) [7-11], вырезаем из полуплоскости (см. рис. 1) элемент, ограниченный цилиндрической поверхностью малого радиуса Далее проектируем на ось х внутренние силы, действующие по криволинейной границе полуцилиндра, и внешнюю нагрузку Р: (29) Раскрывая с помощью [22, 25] и (26), (28) интегралы в уравнении равновесия (29) при , вычисляем константу С2: (30) (31) Исключая С2 в соответствии с (31) из зависимостей (26)-(28), представляем три компоненты напряжений согласно предпосылке (16): (32) (33) (34) Подтверждено практическими расчетами и исследованиями, что фактическое перераспределение давления по подошве жесткого фундамента с равнодействующей незначительно изменяет напряжения в грунте на глубине менее половины размера 2а [1, 3-6]. Полученные функции (32)-(34), в отличие от известных формул (1) [7-11], включают дополнительный параметр а2, появление которого возможно обосновать [7], так как расчетная схема рис. 1 является идеализированной. В точке приложения линейной сосредоточенной нагрузки Р теоретические напряжения , поскольку конечная сила Р при r = 0 действует на бесконечно малой площади. Ось симметрии a Р a 0 45° 45° 0,4502 0,4502 0,6366 0 39,23° P б 0,8488 a 0,3796 0 0 0 0,4244 63,43° -45° Р Р a 0 0 0,49 a -35,26° 35,26° 0,49 L Рис. 4. Безразмерные эпюры напряжений на полуокружности произвольного радиуса r = a: а - по фундаментальной модели (1) [9]; б - в соответствии с выведенными формулами (32)-(34) Fig. 4. Dimensionless stress diagrams on a semicircle of arbitrary radius r = a: a) on the fundamental model (1) [9]; b) according to the derived formulas (32)-(34) Фактически же нагрузка Р распределяется на площадке хотя и малой, но конечной ширины, в качестве которой будем принимать линейный размер 2а (см. рис. 1). Численное значение а либо может быть задано, как при исследовании давления жесткого плоского штампа шириной 2а на упругое тело-полуплоскость [18-20], либо определяется в ходе решения конкретной прикладной задачи, например - контактной о первоначальном взаимодействии по линии z (см. рис. 1) двух параллельных цилиндров, когда параметр а является переменной величиной [17-19], зависящей от Р и физико-геометрических характеристик рассматриваемой механической системы. Сравнительная оценка решений (1) и (32)-(34) наглядно проиллюстрирована на рис. 4 в количественном и качественном отношениях. Продолжая уточненное решение задачи с использованием формул (6), (32)-(34), легко доказать, что, как и в классическом случае (1) (см. рис. 1), существуют круги Буссинеска [14, 27], или линии равных напряжений (изобары [1, 8]), наличие которых экспериментально подтверждено результатами поляризационно-оптических исследований на лабораторных образцах из прозрачных материалов [28]. В расширенной модели (32)-(34) такими изобарами будут окружности с одинаковыми растягивающими напряжениями (рис. 5) (35) r yα xα Bθ θ d P Рис. 5. Траектории постоянных нормальных напряжений Fig. 5. Trajectories of constant normal stresses В инженерной практике при расчете фундаментов необходимо знать распределение напряжений в массиве основания фундамента по горизонтальным и вертикальным сечениям [1-6]. Поэтому переходим с помощью известных аналитических зависимостей [7, 8, 11, 27] (см. рис. 1) (36) (37) от напряжений (32)-(34), т.е. , выраженных через полярные координаты , к соответствующим внутренним силовым факторам в декартовой системе отсчета xOy (рис. 6) при допущении [1-6], что грунт представляет собой сплошное линейно-деформируемое однородное тело: (38) (39) (40) x O r x θ P y y Рис. 6. Схематическая модель к определению напряжений , , , по формулам (38)-(40) Fig. 6. The schematic model for stress determination , , , by formulas (38)-(40) Рис. 7, а, б иллюстрируют соответственно уточненные эпюры , , и построенные по классическим аналитическим соотношениям [8, 11, 27, 29] (41) для одного горизонтального уровня х = а (эпюры ) и одного вертикального сечения y = а (эпюры ). Наибольшие расчетные значения функций , , , , , в виде [8, 29] (42) (43) (44) отмечены на рис. 7, б для двух сечений и , а экстремумы зависимостей , , , , , , как и упрощенные - , , (см. (42)-(44)), удовлетворяющие необходимым условиям [22, 29] (45) записываются следующим образом (см. рис. 7, а): (46) (47) (48) где место максимума функции , т.е. координата хо, в общем случае при любой величине переменной y, определяется выражением (49) Анализ расчетных данных (42)-(44), (46)-(48) и характера эпюр рис. 7 позволяет отметить некоторые принципиальные особенности новых формул (38)-(40). Прежде всего, это существенно большие численные абсолютные значения экстремальных нормальных напряжений , и пониженная касательная составляющая в прямоугольной области , , близкой к границе (подошве) фундамента. Во-вторых, равенство нулю параметра в точках, расположенных на оси симметрии х при (см. (41)), по сравнению с (50) и различие в знаках напряжений , . По мнению авторов этой работы, граничное неравенство и условие (50) являются более объективными с физико-механической точки зрения (см. рис. 6, 7). С целью вычисления перемещений и верхней границы материала упругой среды (см. рис. 1) дополняем соотношения (32)-(34): · дифференциальными уравнениями Коши [7, 8, 10, 11] (51) x O a а - эпюра б - эпюра a 0,1061 0,1592 0,6366 0,8488 y 0,577a 0 0,0603 1,5a 0,207 0,0171 0,0796 x O y а - эпюра б - эпюра a 1,5a а - эпюра б - эпюра 0,486a P О y a a a a a a 0,577a 0,54 0,2122 0,0238 0,207 0,1592 0,0509 0 0 Ось симметрии x Рис. 7. Эпюры безразмерных напряжений , , , , , в виде соответствующих размерных характеристик, умноженных на : а - по уточненной физико-математической модификации (38)-(40); б - в соответствии с формулами (41), базирующимися на фундаментальном решении Фламана (1) Fig. 7. , , , , , dimensionless stress epures in the form of the corresponding dimensional characteristics multiplied by : a - on the refined physical and mathematical modification (38)-(40); b - according to the formulas (41) based on Flamant fundamental solution (1) (52) (53) связывающими относительные деформации , , с функциями , ; · зависимостями закона Гука для плоской деформации (54) в классической интерпретации [8-12]: (55) (56) (57) (58) где - нормальное напряжение по направлению оси z (см. рис. 1). Путем совместного рассмотрения формул (51), (52), (56), (57) получаем систему неоднородных дифференциальных уравнений относительно перемещений и [7, 17, 23]: (59) (60) откуда, после интегрирования [22, 25], (61) (62) где из очевидных кинематических условий задачи (63) следует принять при и (см. рис. 1) (64) Выражения (61), (62) с учетом (64) подставляем в третье физико-геометрическое равенство правых частей соотношений (53) и (58), которое соблюдается тождественно. Наличие аргумента r2 в знаменателе гиперболических зависимостей (61), (62) гарантирует выполнение необходимых пределов (65) при нулевых значениях (64) произвольных переменных интегрирования для всех точек упругодеформируемого материала рис. 1, аналогичных трехмерной модели Буссинеска (14), (15) [7, 14, 15] (см. рис. 2). В итоге полностью исключаются вышеуказанные противоречия (13) двумерного процесса Фламана [7-12], касающиеся полученных (61), (62) функциональных параметров , в ходе решения данной плоской задачи. Воспользовавшись соотношениями (36) между переменными и выражаем деформационные характеристики (61), (62), учитывая (64), через декартовые аргументы (см. рис. 1): (66) (67) Полагая в (66), (67) , находим горизонтальное и вертикальное перемещения границы полуплоскости: (68) (69) Правомерность расчета (см. (68)) можно обосновать тем, что в инженерно-технических задачах, например контактных [1-3, 18, 19, 27, 28], на действие поперечной эквивалентной силы при малых смещениях решающее влияние оказывает функциональный параметр , а компонента не принимается во внимание. В связи с неопределенностью (произвольностью) координаты закрепленной точки K (см. рис. 1) невозможно количественно сопоставить неправильное решение (10) [2, 7, 9, 17] и новый результат (69), однако в качественном отношении такую сравнительную оценку сделать вполне реально, и это показано на рис. 8, графики которого построены по безразмерным формулам (70) (71) адекватным выражениям (10), (69), и по численным данным табл. 1. Таблица 1 Значения функций (70) (71) при Table 1 Functions value (70) (71) at 0 a 2a 4a 6a 8a 10a ∞ 1,7918 1,0986 0,4055 0 -0,2877 -0,5108 -∞ 0,3333 0,0833 0,0208 0,0093 0,0052 0,0033 0 Из сравнения выражений (10) и (69) также следует, во-первых, полная определенность в знаке гиперболической функции , в отличие от логарифмической зависимости (10), вследствие четности по переменной при направлении смещения в сторону увеличения координаты х, а во-вторых - тот очевидный факт, что некорректная формула (10) аппроксимирует только относительную величину на замкнутом интервале , в отличие от уточненной квадратичной гиперболы (69), позволяющей определять абсолютную осадку границы полуплоскости без привязки к точке K (см. рис. 1, 8) в неограниченном теоретически диапазоне Ось симметрии x O r P y r K а б 2a 2a 2a 2a 2a -0,2877 -0,5108 0,4055 0 1,0986 1,7978 а Рис. 8. Общий характер изменения функциональных зависимостей (10) и (69) в безразмерных интерпретациях (70) и (71): а - из решения Фламана [9, 10-12] при ; б - по выведенной формуле (71) на основе (69) Fig. 8. General nature of changes in functional dependencies (10) and (69) in dimensionless interpretations (70) and (71): a - from Flaman solution [9, 10-12] at ; b - according to the derived formula (71) based on (69) Далее переходим к определению реактивного давления и соответствующей ему упругой осадки S ленточного фундамента [1, 3-6] с шириной подошвы 2a (жесткого штампа) из решения классической контактной задачи [7, 10-12, 19, 20], основу которой, в соответствии с формулой (69), представляет новое неоднородное интегральное уравнение Фредгольма первого рода [10, 11, 30, 31] (рис. 9) (72) где - искомая силовая функция в виде реакции полуплоскости на участке (73) приводимая к известной равнодействующей Р, согласно условию равновесия [10, 11, 17-19] (74) при допущении, что сила Р проходит через середину фундамента (см. рис. 9); t - вспомогательная переменная, изменяющаяся в пределах и представляющая собой координату произвольной точки А, вертикальное перемещение которой от элементарной нагрузки (75) составляет (см. (69) и (72)) (76) с учетом обоснованного практикой допущения [1, 4, 5] об отсутствии касательных напряжений (сил трения) на жесткой прямолинейной границе , когда заданная функциональная зависимость [30] равна осадке фундамента (рис. 9 и формула (72)). O P y t Заданная нагрузка A Жесткий фундамент а x а y dy 0,3183 0,4224 ∞ ∞ Ось симметрии Упругое основание q* Рис. 9. Расчетно-графическая модель контактной задачи Fig. 9. Computational and graphical model of the contact problem В отличие от абстрактно-идеализированного оригинала (69), в котором направления силы P и перемещения совпадают (см. рис. 8), в формулах (72), (76) знак «минус» указывает на противоположность действия контактного давления - вверх и кинетической характеристики - вниз (см. рис. 9). Уравнение (72) решаем обратным методом [27, 30, 31], руководствуясь экспериментальными данными [1, 5, 6], показывающими, что реактивная нагрузка распределяется неравномерно по подошве жесткого фундамента (штампа), увеличиваясь теоретически до бесконечности по краям и понижаясь к центру поверхности контакта (см. рис. 9). Основываясь на опытных результатах [1, 3-6] и после многократных проверок различных функций, аппроксимируем контактное давление следующей аналитической зависимостью: (77) где С - постоянный коэффициент. Вычисляем константу С из равенства (74) с использованием справочных таблиц [25]: (78) т.е. (79) Подставляя в соответствии с (77), (79) в исходное уравнение (72), получаем, раскрывая необходимые для этой процедуры интегралы [22, 25]: (80) (81) откуда будем иметь (82) что подтверждает правильность подобранной функциональной зависимости (80), являющейся точным решением интегрального уравнения (72), когда (см. рис. 1), а ширина подошвы фундамента 2а и ее проектная длина L находятся в соотношении [1, 4-6], обеспечивающем адекватность и механико-математическую корректность использованной здесь расчетной схемы плоского деформированного состояния (32)-(34), (38)-(40), (54)-(58). Представляет практический интерес оценка предложенной уточненной аппроксимирующей формулы (80) с точки зрения ее сопоставимости с классическим результатом С.А. Чаплыгина и М. Садовского [7, 8, 11] (83) полученным на основе логарифмической зависимости (10), базирующейся на упрощенной модели Фламана [7-11] простого радиального напряженного состояния (1) (см. рис. 1). Итоги этого сравнения приведены в табл. 2 и на эпюрах рис. 9 в безразмерной модификации (84) (85) Таблица 2 Численная информация к построению эпюр реактивных давлений Table 2 Numerical information to plot the reactive pressure epure y 0 ±0,2a ±0,4a ±0,6a ±0,8a ±0,9a ±a 0,4244 0,4245 0,426 0,435 0,481 0,5793 ∞ 0,3183 0,3249 0,3473 0,3979 0,5305 0,7302 ∞ Приводим также характерные величины реактивных распределенных сил, согласно выражениям (84), (85) (см. рис. 9): - минимальные давления в центре «О» площадки контакта при (86) - средние значения (87) В обоих случаях (84) и (85) мы имеем для угловых точек (см. табл. 2 и рис. 9) (88) Совершенно очевидна зависимость осадки S от линейного размера 2а. Для учета этого параметра в соотношении (82) отметим прежде всего тот факт, что в условиях плоской деформации (54)-(58) теоретическая длина линейно-полосовой сосредоточенной силы P равна бесконечности по направлению координаты (см. рис. 1). Вследствие этой особенности вводим в решение поставленной контактной задачи общую известную рабочую нагрузку Q на фундамент, распределяя ее равномерно по реальной длине его подошвы (см. рис. 1 и 9): (89) где - параметр, учитывающий необходимую для реализации плоской деформации фактическую разницу между продольным L и поперечным 2а размерами контактной поверхности [1, 3-6], о чем уже было отмечено ранее в пояснении к зависимости (82); с другой стороны, произведение можно считать частью нагрузки Q, действующей на элемент штампа с площадью основания С учетом (89) формула (82) приобретает необходимый окончательный вид (90) и при этом в случае абсолютная деформация грунта при фиксированной нагрузке Q. В этой же связи с увеличением а, т.е. ширины граничной плоскости (см. рис. 1), осадка S будет уменьшаться, что реально и конструктивно обосновано. За пределами фундамента (см. рис. 9) на интервале , по аналогии с базовой квадратичной функцией (69), его вертикальное перемещение Sy может быть аппроксимировано гиперболической зависимостью (91) Естественно, что когда , (92) а если , то ; например, уже на расстоянии и будем иметь соответственно: и Комплексный анализ проведенных исследований позволяет сделать следующие выводы: 1. Представленное в данной фундаментально-прикладной работе усовершенствованное инновационное решение известной многофункциональной классической задачи Фламана [7-13, 27-29] является принципиально новым и уточненным по существу, так как учитывает три напряжения , , , в сравнении с одной компонентой в [7-11], а также дополнительный параметр 2а, характеризующий ширину малой площадки распределения локальной нагрузки Р, действующей по направлению нормали к границе полуплоскости (см. рис. 1). 2. Доказано существование цилиндрических поверхностей, где растягивающие тангенциальные напряжения (35) остаются постоянными на круговых образующих - изобарах (см. рис. 5). Аналогичные окружности Буссинеска [8, 11, 14, 27, 29] в виде сжимающих радиальных напряжений (7) выявлены и подтверждены экспериментально-теоретически (см. рис. 1) в упрощенной модели Фламана [28]. 3. На основе классической модификации плоской линейно-упругой деформации (54)-(58) выведены формулы функций перемещений (61), (62), (66)-(69), не имеющие противоречий - парадокса (13) [7, 11, 12, 17], вследствие равенства нулю, когда радиальная переменная r стремится к бесконечности, что свидетельствует о их корректности и адекватности с физико-механической точки зрения (см. рис. 8). 4. Получено точное решение (80), (90), (91) фундаментально-прикладной контактной задачи теории упругости о взаимодействии бесконечно длинного жесткого штампа с прямолинейной границей деформируемого однородного полупространства (см. рис. 9), материал которого подчиняется обобщенному закону Гука (55)-(58). В отличие от существующего типового решения (1), (9), (10), предложенная механико-математическая модель (32)-(44) позволяет определять не только реакцию основания (80), но и абсолютные вертикальные перемещения (90), (91) (а не идеализированное относительное (10) [17-20] с привязкой к произвольно расположенной точке K (см. рис. 1)) поверхности контакта в неограниченном диапазоне изменения переменной (см. рис. 9). С помощью существующих методик и алгоритмов [7, 8, 17-20] можно вычислить только контактные усилия, но не граничные перемещения края полуплоскости [19], где (см. рис. 1 и 9). 5. Результаты разработанной физико-математической модели, доведенные до расчетных аналитических зависимостей (38)-(40), (90), (91) в декартовых координатах х, y (рис. 6) и проиллюстрированные соответствующими характерными эпюрами (см. рис. 7 и 9), возможно непосредственно использовать для уточненной оценки напряженно-деформированного состояния оснований жестких длинных (ленточных) фундаментов и их упругой осадки [1-6], а также при решении специальных задач [12, 13, 18-20], возникающих в процессе проектирования разнообразных контактирующих деталей и конструкций, применяемых в современном машиностроении [2, 15, 26, 32] и строительстве [1-6, 33].

About the authors

B M Abdeev

D. Serikbayev East Kazakhstan State Technical University

T F Brim

D. Serikbayev East Kazakhstan State Technical University

G Muslimanova

D. Serikbayev East Kazakhstan State Technical University

References

Statistics

Views

Abstract - 461

PDF (Russian) - 408