About mixed forced, parametric and self-oscillations by limited excitation and delayed elasticity

Abstract


Mixed forced, parametric, and self-oscillations are considered if there is a delay in the elastic force in the system. A dynamic model is a friction self-oscillation system describing the frictional self-oscillations that occur in many technical systems for various purposes (metal-cutting machines, textile equipment, brakes and a number of other engineering objects). The operation of the system is supported by the energy source of limited power. For the analysis we used the method of straight linearization which is easier than the known methods of analysis of nonlinear systems, has no time-consuming and complex approximations of different orders, provides an opportunity to obtain the final design ratios regardless of the specific type and degree of nonlinearity, thus reducing labor costs and time by several orders of magnitude. By using this method, we obtained solutions of a nonlinear system of differential equations describing the system's motion. The equations of non-stationary and stationary movements are derived. To analyze the stability of stationary movements, the stability conditions based on the Routh-Hurwitz criteria are compiled. Calculations were performed to obtain information about the effect of delay on the oscillation modes. It is shown that the delay affects both the magnitude of the amplitude and the location of the amplitude-frequency curve in the frequency range depending on the magnitude of the delay, the amplitude curve is shifted to the region of lower frequencies. The stability of stationary oscillations depends both on the energy source characteristics and lag value. The interaction of the oscillating system and the energy source leads to a number of effects, both in the presence and absence of the lag. However, their course may be different depending on the lag value.

Full Text

Введение Вопросы потребления и экономии энергии вышли на передний план во всем мире. Они связаны как с истощением энергоресурсов на Земле, так и экологическими и климатическими (влиянием потребляемой энергии на изменение климата в Земном масштабе) проблемами. Решение этих проблем в настоящее время является одной из главных задач в научных исследованиях, в том числе в сфере машиностроения: проектировании и расчете различного оборудования, машин, устройств и др. Связь проблем экологии с метрологией, точностью моделей расчета систем, точностью обработки показана в работе [1]. Использование обнаруженного А. Зоммерфельдом в начале прошлого века (1902 г.) известного явления - эффекта Зоммерфельда, показывающего тесную связь динамического взаимодействия источника энергии и объекта потребления энергии, - может вносить некоторый вклад в решение этих проблем. Несмотря на то, что в течение более 50 лет проводился ряд попыток объяснения этого явления, систематическое исследование и теоретическое обоснование данного эффекта было проведено В.О. Кононенко. Им была опубликована получившая мировую известность первая основополагающая монография в этом направлении, вышедшая в 1964 г. [2] и изданная также в Англии [3]. Эти исследования привели к возникновению достаточно известного в теории колебаний нового направления под названиями «теория колебательных систем с ограниченным возбуждением», «теория взаимодействия колебательных систем с источниками энергии», «теория колебательных систем с неидеальными источниками энергии». В дальнейшем данная теория была развита его последователями. Состояние и развитие этой теории нашло отражение в книге [4] и множестве статей широкого круга исследователей во всем мире. Как показано в [4], с увеличением колебательной нагрузки начинается сильное динамическое взаимодействие между колебательной системой и источником энергии. Кроме того, между колебаниями, следовательно, уровнем потребляемой энергии, возникающими при функционировании деталей, и точностью их обработки имеется значительная связь, что показано в [1]. В различных отраслях техники (радиотехника, цветная металлургия, производство бумаги и стекла, транспортировка, системы автоматического управления с логическими устройствами, электроника и др.) широко распространены системы с запаздыванием [5-8]. Явление запаздывания может встречаться не только в технических объектах, но и в экономике, биологии и др. Запаздывание может быть полезным или вредным, привести к возникновению колебаний в системе. Обусловленные наличием запаздывания колебания возникают в прокатных станах, регуляторах, следящих системах и др. В ряде систем, например низкочастотных, можно пренебречь влиянием запаздывания. Однако в высокочастотных системах нельзя сделать это. Запаздывание оказывает большое влияние на процесс регулирования и устойчивость системы. Для анализа нелинейных колебательных систем существует ряд приближенных методов нелинейной механики: усреднения, энергетического баланса, гармонической линеаризации и др. [9-19]. Из них в теории колебательных систем с ограниченным возбуждением основным является метод усреднения [9]. Использование этого метода связано со значительными трудовыми и временными затратами, что зависит от вида нелинейной характеристики. Такие затраты присущи также другим известным методам нелинейной механики. Метод прямой линеаризации (МПЛ), описанный в монографии [20] и ряде статей [21-25 и др.], принципиально отличается от этих методов. Следующие свойства МПЛ обусловливают его преимущество в сравнении с известными методами нелинейной механики: простота применения; отсутствие трудоемких и сложных приближений различных порядков; возможность получения конечных расчетных соотношений независимо от конкретного вида и степени нелинейности; на несколько порядков меньше затраты труда и времени. Сравнение ряда результатов, полученных известными методами нелинейной механики и МПЛ, содержится в [20, 24] и некоторых других работах автора. Оно показывает их качественное (полное) и количественное (в зависимости от параметра точности - от полного совпадения до нескольких процентов несовпадения) совпадение. Целью работы является рассмотрение с помощью МПЛ самого сложного класса смешанных колебаний (взаимодействие вынужденных, параметрических и автоколебаний) при наличии в системе запаздывания в упругости и ограниченной мощности источника энергии. 1. Модель системы и уравнения движения Динамическая модель фрикционной автоколебательной системы представлена на рис. 1. Эта модель хорошо описывает фрикционные автоколебания, возникающие во множестве технических систем различного назначения: в направляющих металлорежущих станков, текстильном оборудовании, тормозах и целом ряде других объектов машиностроения [26-32]. Лента, на которой лежит тело 1 с массой m, приводится в движение двигателем с моментной характеристикой , где - скорость вращения ротора двигателя. Тело находится под внешними воздействиями: вынуждающей силы и параметрического возбуждения Зависящая от относительной скорости сила трения T(U) может обусловливать автоколебания тела 1. Уравнения движения системы имеют вид (1) где - коэффициент жесткости пружины 2; - коэффициент сопротивления демпфера 3; t - постоянный временной фактор запаздывания в силе упругости пружины; f(x) - нелинейная часть силы упругости. Величины m, , , l, , n, b, p, I, являются постоянными. Рис. 1. Модель фрикционной автоколебательной системы Fig. 1. The model of the friction self-oscillating system Характеристики сил часто бывают неизвестными на практике и являются, как правило, нелинейными. При описании этих сил в большинстве случаев пользуются полиномиальными функциями, которыми и представим нелинейные силы F(x) и T(U): (2) где , , s = 2, 3, 4,…, i = 1, 2, 3,…, - нормальная сила реакции, при и при ; в случае относительного покоя, т.е. , имеет место . Сумму в выражении учтем в дальнейшем как нелинейную функцию от , записывая ее в форме , где коэффициенты зависят от и , т.е. Заметим, что сила трения T(U) на практике широко распространена в форме (3) где - положительные постоянные. Форма (3) силы трения наблюдалась также при рассмотрении проблемы измерения сил трения в космических условиях [33]. 2. Решение по методу прямой линеаризации Функции и по методу прямой линеаризации [20] можно заменить линейными функциями ; , (4) где BF, kF, Bf и kf - коэффициенты линеаризации, определяемые выражениями при s = 2, 4, 6,… (s - четное); (5) при s = 3, 5, 7,… (s - нечетное); при n = 0, 2, 4,… (n - четное); при n = 1, 3, 5,… (n - нечетное). Здесь r - параметр точности линеаризации. Независимо от величины r, имеют место для s = n = 0 и для s = n =1. Как показано в [20], хотя интервал выбора величины r не ограничен, ее можно выбрать в промежутке (0, 2). В таблице приведено сравнение результатов по методу прямой линеаризации и методу усреднения для различных значений степени n переменной в полиномиальной функции. Из таблицы видна достаточная близость чисел по этим методам. Уравнения (1) с учетом (4) принимают вид , (6) где , . Сравнение результатов по методам прямой линеаризации и усреднения Comparison of results using direct linearization and averaging methods n 0 1 2 3 4 5 6 7 r = 0,65 1 0,53 0,365 0,277 Метод усреднения 1 0,50 0,375 0,312 r = 1,85 1 0,77 0,626 0,5275 Метод усреднения 1 0,75 0,625 0,5468 В системе (1) могут возникать различного вида колебательные процессы, в том числе резонансные. Поскольку на практике главный интерес представляют основные резонансы, возникающие при малых расстройках частот, когда и то рассмотрим решения (6) для них. Решения уравнений (6) будем строить методом замены переменных с усреднением [20] и применением описанной в [23-25] процедуры для расчета взаимодействия колебательных систем с источниками энергии ограниченной мощности. Отметим, что, как показано в [4], характеры решений для x и при и принципиально различны. В соответствии с этим рассмотрим отдельно случаи и , введя , Эти решения для определения нестационарных значений амплитуды а, фазы x колебаний и скорости источника энергии W на основе следующие: а) (7, а) б) (7, б) где Поскольку в области резонанса , можно принять Из уравнений (7) при , , следуют уравнения стационарных движений, из которых имеем следующие соотношения для определения амплитуды и фазы колебаний: где Амплитуда стационарных колебаний при определяется выражением aw » u. Третье уравнение (7) доставляет выражение для определения нагрузки на источник энергии. В случае оно имеет вид Стационарные значения скорости u определяются уравнением (8) или точкой пересечения кривых и . В случае имеет место уравнение вида (8) с учетом aw » u в выражении . 3. Условия устойчивости стационарных движений Для анализа устойчивости стационарных движений составляем уравнения в вариациях для (7) и пользуемся критериями Рауса - Гурвица. В результате имеем следующие условия устойчивости стационарных колебаний: , , , (9) где В случае имеем (10, а) В случае изменяются лишь коэффициенты (10, б) где 4. Пример расчета Для получения информации о влиянии запаздывания на систему были проведены расчеты с использованием параметров: При расчетах использована характеристика трения в форме (3), где Рис. 2. Зависимости амплитуды от частоты Fig. 2. Dependences of the amplitude on the frequency Зависимости амплитуды от частоты a(n), показанные на рис. 2, получены для скорости u = 1,2 в случае линейной характеристики силы упругости. Расчеты проводились при параметре точности линеаризации r =1,5 и соответственно Сплошная кривая Г1 соответствует значению запаздывания t = 0, двухпунктирная кривая Г2 - , штриховая кривая Г3 - штрихпунктирная кривая Г4 - Амплитуда автоколебаний при t = 0 обозначена как аа. Как видно, амплитудная кривая при незначительно отличается по характеру и численно от кривой при t = 0, но смещена влево - в область меньших частот. А в случаях и запаздывание сильно влияет на амплитуду - уменьшает ее, особенно при частоте n = 2 и достаточно близких к ней частотах. Тонкими штриховыми линиями на кривых и показаны неустойчивые участки. Колебания устойчивы, если крутизна Q характеристики источника энергии находится в пределах заштрихованного сектора. Неустойчивый при идеальном источнике энергии и устойчивый (слабо) при неидеальном источнике участок кривой показан тонкой линией. Для кривой на участке между точками А и В тонкая штриховая линия соответствует неустойчивым колебаниям как при идеальном, так и при неидеальном источнике энергии. При наличии запаздывания в системе происходят такие же эффекты, как и при его отсутствии. Поскольку результаты анализа системы (1) и целый ряд эффектов при отсутствии запаздывания подробно описаны в [4], останавливаться на этом не будем. Заметим лишь то, что появление этих эффектов сильно зависит от свойств источника энергии. Заключение Рассмотрен самый сложный класс смешанных колебаний (взаимодействие автоколебаний, вынужденных колебаний и параметрических колебаний) при запаздывающей упругости и неидеальном источнике энергии, поддерживающем колебания. Результаты получены с использованием метода прямой линеаризации. Они показывают, что аналогичны тем, которые можно получить на основе известных методов нелинейной механики. В то же время метод прямой линеаризации на несколько порядков снижает затраты труда и времени по сравнению с известными методами анализа нелинейных систем. Это весьма значительно повышает эффективность метода прямой линеаризации на практике и особенно ценно с точки зрения расчета реальных объектов различного назначения, поскольку применение его достаточно просто.

About the authors

A. A Alifov

Blagonravov Mechanical Engineering Research Institute of RAS

References

  1. Alifov A.A. About calculation of self-oscillatory system delayed and limited excitation // “Ölçmə və keyfiyyət: problemlər, perspektivlər” mövzusunda Beynəlxalq Elmi-texniki konfransın materialları. - AzTU, Bakı, Azərbaycan, 21-23 noyabr 2018. - P. 289-293.
  2. Кононенко В.О. Колебательные системы с ограниченным возбуждением. - М.: Наука, 1964. - 236 с.
  3. Kononenko V.O. Vibrating Systems with Limited Power-Supply. - London: Iliffe Books, 1969.
  4. Alifov A.A., Frolov K.V. Interaction of Nonlinear Oscillatory Systems with Energy Sources. - New York, Washington, Philadelphia, London: Hemisphere Publishing Corporation, 1990, 327 p.
  5. Рубаник В.П. Колебания квазилинейных систем с запаздыванием. - М.: Наука, 1969. - 288.
  6. Zhou B. Input delay compensation of linear systems with both state and input delays by adding integrators // Systems and Control Letters. - 2015. - Vol. 82. - P. 51-63.
  7. Vunder N.A., Ushakov A.V. Sensitivity analysis of systems with a cascade compensator embedded in a Smith predictor to dead-time variation // Optoelectronics, Instrumentation and Data Processing. 2016. - Vol. 52, no. 3. - P. 274-279.
  8. Padhan D.G., Reddy B.R. A new tuning rule of cascade control scheme for processes with time delay // In Conference on Power, Control, Communication and Computational Technologies for Sustainable Growth. - 2015. - P. 102-105.
  9. Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. - М.: Наука, 1974. - 504 с.
  10. Вибрации в технике: справочник: в 6 т. / ред. совет: В.Н. Челомей (пред.). Т. 2. Колебания нелинейных механических систем / под ред. И.И. Блехмана. - М.: Машиностроение, 1979 - 351 с.
  11. Журавлев В.Ф., Климов Д.М. Прикладные методы в теории колебаний. - М.: Наука, 1988. - 328 с.
  12. Tondl A. On the interaction between self-exited and parametric vibrations. Monographs and Memoranda, No. 25. - Prague: National Research Institute for Machine Design, 1978. 127 р.
  13. Основы теории колебаний: учеб. руководство / В.В. Мигулин, В.И. Медведев, Е.Р. Мустель, В.Н. Парыгин; под ред. В.В. Мигулина. - 2-е изд., перераб. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988. - 392 с.
  14. Хаяси Т. Нелинейные колебания в физических системах. М.: Мир, 1968. - 432 с.
  15. Моисеев Н.Н. Асимптотические методы нелинейной механики. - М.: Наука, 1981. - 400 с.
  16. Бутенин Н.В., Неймарк Ю.И., Фуфаев Н.А. Введение в теорию нелинейных колебаний. - М.: Наука, 1976. - 384 с.
  17. Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1981. - 568 с.
  18. Бидерман В.Л. Теория механических колебаний: учебник для вузов. - М.: Высшая школа, 1980. - 408 с.
  19. Веретенников В.Г. Устойчивость и колебания нелинейных систем. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1984. - 320 с.
  20. Алифов А.А. Методы прямой линеаризации для расчета нелинейных систем. - М.; Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика». 2015. - 74 с.
  21. Alifov A.A. Method of the Direct Linearization of Mixed Nonlinearities // Journal of Machinery Manufacture and Reliability. - 2017. - Vol. 46, no. 2. - P. 128-131. doi: 10.3103/S1052618817020029.
  22. Alifov A.A., Farzaliev M.G., Dzhafarov Je.N. Dynamics of a Self-Oscillatory System with an Energy Source // Russian Engineering Research. -2018. - Vol. 38, no. 4. - P. 260-262. doi: 10.3103/S1068798X18040032.
  23. Alifov A.A. On the Calculation by the Method of Direct Linearization of Mixed Oscillations in a System with Limited Power-Supply // Advances in Computer Science for Engineering and Education II. ICCSEEA 2019 / Advances in Intelligent Systems and Computing. - 2020. - Vol. 938. - P. 23-31. Eds. Hu Z., Petoukhov S., Dychka I., He M. - Springer, Cham. DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-030-16621-2_3
  24. Alifov A.A. About Direct Linearization Methods for Nonlinearity // Advances in Artificial Systems for Medicine and Education III. AIMEE 2019 / Advances in Intelligent Systems and Computing. - 2020. - Vol. 1126. - P.105-114. Eds. Hu Z., Petoukhov S., He M. - Springer, Cham. DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-030-39162-1_10
  25. Alifov A.A. About application of methods of direct linearization for calculation of interaction of nonlinear oscillatory systems with energy sources // Proceedings of the second international symposium of mechanism and machine science (ISMMS - 2017). - Baku, Azerbaijan, Sep. 11-14, 2017. - P. 218-221.
  26. Климов Д.М. Об одном виде автоколебаний в системе с сухим трением // Изв. РАН. МТТ. - 2003. - № 3. - С. 6-12.
  27. Фролов К.В. Избранные труды: в 2 т. - М.: Наука, 2007.
  28. Пановко Я.Г. Основы прикладной теории колебаний и удара. - Л.: Машиностроение. 1976. - 320 с.
  29. Абдиев Ф.К. Автоколебания системы с запаздыванием и с неидеальным источником энергии // Изв. АН АзССР. Серия физико-технических и математических наук. - 1983. - № 4. - С. 134-139.
  30. Рубаник В.П., Старик Л.К. Об устойчивости автоколебаний резца в случае неидеального источника энергии // Научные труды вузов Лит. ССР. Вибротехника. - 1971. - № 2 (11). - С. 205-212.
  31. Мурашкин Л.С., Мурашкин С.Л. Прикладная нелинейная механика станков. - Л.: Машиностроение, 1977. - 192 с.
  32. Поперечные автоколебания силовых столов, вызванные силами трения / А.С. Пономарев [и др.] // Вестник Харьков. политехн. ин-та. Машиностроение. - 1977. - № 130, вып. 8. - С. 67-69.
  33. Броновец М.А., Журавлев В.Ф. Об автоколебаниях в системах измерения сил трения // Изв. РАН, МТТ. - 2012. - № 3. - С. 3-11.

Statistics

Views

Abstract - 17

PDF (Russian) - 13

Cited-By


PlumX


Copyright (c) 2020 Alifov A.A.

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial 4.0 International License.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies