Full Text

Введение Вопросы потребления и экономии энергии вышли на передний план во всем мире. Они связаны как с истощением энергоресурсов на Земле, так и экологическими и климатическими (влиянием потребляемой энергии на изменение климата в Земном масштабе) проблемами. Решение этих проблем в настоящее время является одной из главных задач в научных исследованиях, в том числе в сфере машиностроения: проектировании и расчете различного оборудования, машин, устройств и др. Связь проблем экологии с метрологией, точностью моделей расчета систем, точностью обработки показана в работе [1]. Использование обнаруженного А. Зоммерфельдом в начале прошлого века (1902 г.) известного явления - эффекта Зоммерфельда, показывающего тесную связь динамического взаимодействия источника энергии и объекта потребления энергии, - может вносить некоторый вклад в решение этих проблем. Несмотря на то, что в течение более 50 лет проводился ряд попыток объяснения этого явления, систематическое исследование и теоретическое обоснование данного эффекта было проведено В.О. Кононенко. Им была опубликована получившая мировую известность первая основополагающая монография в этом направлении, вышедшая в 1964 г. [2] и изданная также в Англии [3]. Эти исследования привели к возникновению достаточно известного в теории колебаний нового направления под названиями «теория колебательных систем с ограниченным возбуждением», «теория взаимодействия колебательных систем с источниками энергии», «теория колебательных систем с неидеальными источниками энергии». В дальнейшем данная теория была развита его последователями. Состояние и развитие этой теории нашло отражение в книге [4] и множестве статей широкого круга исследователей во всем мире. Как показано в [4], с увеличением колебательной нагрузки начинается сильное динамическое взаимодействие между колебательной системой и источником энергии. Кроме того, между колебаниями, следовательно, уровнем потребляемой энергии, возникающими при функционировании деталей, и точностью их обработки имеется значительная связь, что показано в [1]. В различных отраслях техники (радиотехника, цветная металлургия, производство бумаги и стекла, транспортировка, системы автоматического управления с логическими устройствами, электроника и др.) широко распространены системы с запаздыванием [5-8]. Явление запаздывания может встречаться не только в технических объектах, но и в экономике, биологии и др. Запаздывание может быть полезным или вредным, привести к возникновению колебаний в системе. Обусловленные наличием запаздывания колебания возникают в прокатных станах, регуляторах, следящих системах и др. В ряде систем, например низкочастотных, можно пренебречь влиянием запаздывания. Однако в высокочастотных системах нельзя сделать это. Запаздывание оказывает большое влияние на процесс регулирования и устойчивость системы. Для анализа нелинейных колебательных систем существует ряд приближенных методов нелинейной механики: усреднения, энергетического баланса, гармонической линеаризации и др. [9-19]. Из них в теории колебательных систем с ограниченным возбуждением основным является метод усреднения [9]. Использование этого метода связано со значительными трудовыми и временными затратами, что зависит от вида нелинейной характеристики. Такие затраты присущи также другим известным методам нелинейной механики. Метод прямой линеаризации (МПЛ), описанный в монографии [20] и ряде статей [21-25 и др.], принципиально отличается от этих методов. Следующие свойства МПЛ обусловливают его преимущество в сравнении с известными методами нелинейной механики: простота применения; отсутствие трудоемких и сложных приближений различных порядков; возможность получения конечных расчетных соотношений независимо от конкретного вида и степени нелинейности; на несколько порядков меньше затраты труда и времени. Сравнение ряда результатов, полученных известными методами нелинейной механики и МПЛ, содержится в [20, 24] и некоторых других работах автора. Оно показывает их качественное (полное) и количественное (в зависимости от параметра точности - от полного совпадения до нескольких процентов несовпадения) совпадение. Целью работы является рассмотрение с помощью МПЛ самого сложного класса смешанных колебаний (взаимодействие вынужденных, параметрических и автоколебаний) при наличии в системе запаздывания в упругости и ограниченной мощности источника энергии. 1. Модель системы и уравнения движения Динамическая модель фрикционной автоколебательной системы представлена на рис. 1. Эта модель хорошо описывает фрикционные автоколебания, возникающие во множестве технических систем различного назначения: в направляющих металлорежущих станков, текстильном оборудовании, тормозах и целом ряде других объектов машиностроения [26-32]. Лента, на которой лежит тело 1 с массой m, приводится в движение двигателем с моментной характеристикой , где - скорость вращения ротора двигателя. Тело находится под внешними воздействиями: вынуждающей силы и параметрического возбуждения Зависящая от относительной скорости сила трения T(U) может обусловливать автоколебания тела 1. Уравнения движения системы имеют вид (1) где - коэффициент жесткости пружины 2; - коэффициент сопротивления демпфера 3; t - постоянный временной фактор запаздывания в силе упругости пружины; f(x) - нелинейная часть силы упругости. Величины m, , , l, , n, b, p, I, являются постоянными. Рис. 1. Модель фрикционной автоколебательной системы Fig. 1. The model of the friction self-oscillating system Характеристики сил часто бывают неизвестными на практике и являются, как правило, нелинейными. При описании этих сил в большинстве случаев пользуются полиномиальными функциями, которыми и представим нелинейные силы F(x) и T(U): (2) где , , s = 2, 3, 4,…, i = 1, 2, 3,…, - нормальная сила реакции, при и при ; в случае относительного покоя, т.е. , имеет место . Сумму в выражении учтем в дальнейшем как нелинейную функцию от , записывая ее в форме , где коэффициенты зависят от и , т.е. Заметим, что сила трения T(U) на практике широко распространена в форме (3) где - положительные постоянные. Форма (3) силы трения наблюдалась также при рассмотрении проблемы измерения сил трения в космических условиях [33]. 2. Решение по методу прямой линеаризации Функции и по методу прямой линеаризации [20] можно заменить линейными функциями ; , (4) где BF, kF, Bf и kf - коэффициенты линеаризации, определяемые выражениями при s = 2, 4, 6,… (s - четное); (5) при s = 3, 5, 7,… (s - нечетное); при n = 0, 2, 4,… (n - четное); при n = 1, 3, 5,… (n - нечетное). Здесь r - параметр точности линеаризации. Независимо от величины r, имеют место для s = n = 0 и для s = n =1. Как показано в [20], хотя интервал выбора величины r не ограничен, ее можно выбрать в промежутке (0, 2). В таблице приведено сравнение результатов по методу прямой линеаризации и методу усреднения для различных значений степени n переменной в полиномиальной функции. Из таблицы видна достаточная близость чисел по этим методам. Уравнения (1) с учетом (4) принимают вид , (6) где , . Сравнение результатов по методам прямой линеаризации и усреднения Comparison of results using direct linearization and averaging methods n 0 1 2 3 4 5 6 7 r = 0,65 1 0,53 0,365 0,277 Метод усреднения 1 0,50 0,375 0,312 r = 1,85 1 0,77 0,626 0,5275 Метод усреднения 1 0,75 0,625 0,5468 В системе (1) могут возникать различного вида колебательные процессы, в том числе резонансные. Поскольку на практике главный интерес представляют основные резонансы, возникающие при малых расстройках частот, когда и то рассмотрим решения (6) для них. Решения уравнений (6) будем строить методом замены переменных с усреднением [20] и применением описанной в [23-25] процедуры для расчета взаимодействия колебательных систем с источниками энергии ограниченной мощности. Отметим, что, как показано в [4], характеры решений для x и при и принципиально различны. В соответствии с этим рассмотрим отдельно случаи и , введя , Эти решения для определения нестационарных значений амплитуды а, фазы x колебаний и скорости источника энергии W на основе следующие: а) (7, а) б) (7, б) где Поскольку в области резонанса , можно принять Из уравнений (7) при , , следуют уравнения стационарных движений, из которых имеем следующие соотношения для определения амплитуды и фазы колебаний: где Амплитуда стационарных колебаний при определяется выражением aw » u. Третье уравнение (7) доставляет выражение для определения нагрузки на источник энергии. В случае оно имеет вид Стационарные значения скорости u определяются уравнением (8) или точкой пересечения кривых и . В случае имеет место уравнение вида (8) с учетом aw » u в выражении . 3. Условия устойчивости стационарных движений Для анализа устойчивости стационарных движений составляем уравнения в вариациях для (7) и пользуемся критериями Рауса - Гурвица. В результате имеем следующие условия устойчивости стационарных колебаний: , , , (9) где В случае имеем (10, а) В случае изменяются лишь коэффициенты (10, б) где 4. Пример расчета Для получения информации о влиянии запаздывания на систему были проведены расчеты с использованием параметров: При расчетах использована характеристика трения в форме (3), где Рис. 2. Зависимости амплитуды от частоты Fig. 2. Dependences of the amplitude on the frequency Зависимости амплитуды от частоты a(n), показанные на рис. 2, получены для скорости u = 1,2 в случае линейной характеристики силы упругости. Расчеты проводились при параметре точности линеаризации r =1,5 и соответственно Сплошная кривая Г1 соответствует значению запаздывания t = 0, двухпунктирная кривая Г2 - , штриховая кривая Г3 - штрихпунктирная кривая Г4 - Амплитуда автоколебаний при t = 0 обозначена как аа. Как видно, амплитудная кривая при незначительно отличается по характеру и численно от кривой при t = 0, но смещена влево - в область меньших частот. А в случаях и запаздывание сильно влияет на амплитуду - уменьшает ее, особенно при частоте n = 2 и достаточно близких к ней частотах. Тонкими штриховыми линиями на кривых и показаны неустойчивые участки. Колебания устойчивы, если крутизна Q характеристики источника энергии находится в пределах заштрихованного сектора. Неустойчивый при идеальном источнике энергии и устойчивый (слабо) при неидеальном источнике участок кривой показан тонкой линией. Для кривой на участке между точками А и В тонкая штриховая линия соответствует неустойчивым колебаниям как при идеальном, так и при неидеальном источнике энергии. При наличии запаздывания в системе происходят такие же эффекты, как и при его отсутствии. Поскольку результаты анализа системы (1) и целый ряд эффектов при отсутствии запаздывания подробно описаны в [4], останавливаться на этом не будем. Заметим лишь то, что появление этих эффектов сильно зависит от свойств источника энергии. Заключение Рассмотрен самый сложный класс смешанных колебаний (взаимодействие автоколебаний, вынужденных колебаний и параметрических колебаний) при запаздывающей упругости и неидеальном источнике энергии, поддерживающем колебания. Результаты получены с использованием метода прямой линеаризации. Они показывают, что аналогичны тем, которые можно получить на основе известных методов нелинейной механики. В то же время метод прямой линеаризации на несколько порядков снижает затраты труда и времени по сравнению с известными методами анализа нелинейных систем. Это весьма значительно повышает эффективность метода прямой линеаризации на практике и особенно ценно с точки зрения расчета реальных объектов различного назначения, поскольку применение его достаточно просто.

About the authors

A. A Alifov

Blagonravov Mechanical Engineering Research Institute of RAS

References

Statistics

Views

Abstract - 352

PDF (Russian) - 268