On Two-Level Models of the Taylor–Bishop–Hill Type for Describing the Elastoplastic Deformation of Polycrystalline Bodies: One Option for Solving the Problem of Uncertainty in the Choice of Active Slip Systems

Abstract


One of the first two-level physically oriented models intended to describe plastic deformation was the rigid-plastic model of J.I. Taylor, the mathematical justification of which was subsequently presented in the works of J. Bishop and R. Hill. Various versions of models based on the main provisions of these pioneering works are usually called in the literature models of the Taylor–Bishop–Hill (TBH) type. Despite the prevalence of TBH-type models, they have disadvantages (the presence of a connection is a condition of incompressibility, the uncertainty of choosing a set of five slip systems when the condition of activation of six or more systems is met). Taking into account elastic deformations, introduced in the later model of T.G. Lin, made it possible to overcome the disadvantage associated with the presence of a constraint. At the same time, it became possible to realize elastic-plastic deformations when less than five slip systems are activated. However, the most important disadvantage is the uncertainty in choosing a set of active slip systems – remains. It should be emphasized that the limitation of the number of slip systems to five when the representing point in the stress space hits a vertex of a higher order than the fifth is due only to the procedure for solving the velocities (or increments) of shears and stresses. There is no physical justification for such a limitation. In this regard, since the 70s of the twentieth century, two-level elastoviscoplastic (i.e., sensitive to strain rate) models have become most widespread. It was shown that when the velocity sensitivity parameter tends to zero, the resulting solution converges to the solution of the elastoplastic model. However, in this case, the system of equations of the constitutive model becomes rigid, which leads to the need to use implicit integration schemes and a significant decrease in computational efficiency. Taking this circumstance into account, numerous attempts have been made to get rid of this most important disadvantage of TBH-type models, however, the options known to the authors are reduced to various mathematical procedures that do not have proper physical justification. In this work, we propose a version of a physically based elastic-plastic model that uses the basic provisions of TBH-type models, but is free from the disadvantages noted above. When more than 5 slip systems are simultaneously activated, they are all considered “equal” for the implementation of plastic deformation by shear. An iterative procedure is proposed to determine the rates (increments) of shears for all slip systems that are potentially active at the moment of deformation under consideration.

Full Text

Изделия из металлов и сплавов, несмотря на широкое внедрение полимерных и композиционных материалов, продолжают оставаться наиболее востребованными в различных отраслях промышленности. Непрерывно обновляющийся ассортимент сплавов и деталей из них, постоянно возрастающие требования к повышению эксплуатационных характеристик изделий, необходимость быстрой разработки технологий (в большинстве случаев – методами пластического деформирования) изготовления последних требуют создания математических моделей (ММ) для описания процессов термомеханической обработки (ТМО). «Сердцевиной» таких ММ, определяющими их адекватность и точность, являются используемые при их формулировке конститутивные модели (КМ) (определяющие соотношения (ОС)). Следует отметить, что краевые задачи, возникающие при исследовании технологических процессов пластической обработки металлов и сплавов, как правило, являются физически и геометрически нелинейными. Кроме того, данные задачи относятся к контактным проблемам, в которых априори неизвестны занимаемые исследуемыми телами области и их границы (включая области контакта с обрабатывающим инструментом). В связи с этим задачи данного класса рассматриваются обычно либо в приращениях, либо в скоростях; естественно, при этом и ОС необходимо формулировать в приращениях или скоростях. Для описания процессов обработки металлов и сплавов давлением (ОМД) до настоящего времени широко распространены ММ, основанные на классических теориях пластичности [1-5], используемые, в том числе, во многих коммерческих пакетах прикладных программ. Модели данного класса позволяют определять поля деформаций, напряжений, температур в исследуемых областях заготовок и инструментов, энергетические характеристики процессов обработки. Однако, как известно, физико-механические свойства материалов, а следовательно – эксплуатационные характеристики изделий, определяются главным образом их мезо и микроструктурой. К сожалению, классические теории пластичности (упруговязкопластичности, ползучести и т.д.) не позволяют явным образом описывать эволюционирующую структуру материалов. В связи с указанным обстоятельством в ХХ веке возник альтернативный подход, основанный на введении внутренних переменных 6-13, под которыми в настоящее время понимаются параметры, характеризующие строение материала на различных структурно-масштабных уровнях. В рамках данного подхода появились конститутивные многоуровневые модели, основанные на физических теория пластичности (упругопластичности, упруговязкопластичности) 14-23. Интенсивное развитие КМ данного класса получили, начиная с 70-х годов ХХ века, в связи с появлением высокопроизводительных ЭВМ. Первой двухуровневой КМ является предложенная Дж.И. Тейлором модель 14, математическое обоснование которой приведено в статьях Дж.Бишопа и Р.Хилла 15-16. Различные варианты моделей, базирующихся на основных положениях этих пионерских работ, в литературе принято называть моделями типа Тейлора – Бишопа – Хилла (ТБХ). Несмотря на распространенность моделей типа ТБХ, они не лишены недостатков. Исходная модель ТБХ основана на предположении о жесткопластическом поведении материала, что обусловливает возникновение связи – несжимаемости материала, поскольку пластические деформации, реализуемые сдвигами, не должны приводить к изменениям объема. Как известно, для материалов со связями определить отклик (напряжения) только по движению (деформациям) невозможно (К.Трусделл 24). Для случая изохоричности материала по деформациям определяется только девиатор напряжений, при этом для определения всех компонент девиатора напряжений требуется пять уравнений. В моделях типа ТБХ решение (величины сдвигов на системах скольжения, компоненты девиатора напряжений) ищется в вершинах многогранника текучести порядка не ниже пятого; при этом для реализации произвольной деформации количество активных систем скольжения должно быть не менее пяти. Число независимых систем скольжения не может превышать числа базисных тензоров в девиаторном пространстве, которое равно пяти; в качестве базисных в моделях ТБХ используются любые пять линейно независимых ориентационных тензора систем скольжения. Однако таких наборов базисных тензоров существует значительное (конечное) множество, что порождает известную проблему неединственности определения набора пяти активных систем скольжения и сдвигов по ним. Для преодоления данной трудности Тейлором было предложено использовать принцип минимума мощности диссипации, согласно которому из всех потенциально возможных (т.е. удовлетворяющих критерию Шмида активации) наборов из 5 систем скольжения (СС) действительным является доставляющий минимум мощности работы касательных напряжений на сдвигах по этим системам. При использовании изотропного закона упрочнения из него следует принцип минимуму суммарного сдвига по активным СС. В цитируемых выше работах Бишопа и Хилла приведено доказательство данного принципа, однако при этом число возможных СС не ограничивается пятью. Однако при числе активных СС, превышающем пять, предписанное приращение (или скорость) деформации может быть реализовано бесконечным множеством способов в силу линейной зависимости совокупности ориентационных тензоров активных СС. При постановке задачи в скоростях или приращениях сдвигов по системам скольжения ее можно рассматривать как проблему линейного программирования, решения которой определяются в вершинах многогранника ограничений. В связи с этим в моделях типа ТБХ решение ищется в вершинах многогранника текучести порядка не ниже пятого, при этом количество уравнений должно быть в точности равно пяти. В то же время в кристаллитах, как правило, существуют вершины порядка выше пятого; например, в ГЦК кристаллах в отсчетной естественной конфигурации имеются вершины 6-го и 8-го порядков. Системы скольжения, образующие такие вершины, обладают «равными правами» быть признанными активными в рассматриваемый момент деформирования. Данное обстоятельство обусловливает второй, и наиболее важный недостаток моделей типа ТБХ – неопределенность выбора наборов активных систем скольжения, число которых должно быть равно пяти. Как показано в некоторых работах, в зависимости от выбора наборов активных СС изменяются результаты решения задач исследования деформирования моно- и поликристаллических образцов [25-26] . Позднее появилась работа Т.Г.Линя 27, в которой были учтены упругие деформации, и тем самым преодолены недостатки, связанные с наличием связи (несжимаемости) и возможностью реализации упругопластической деформации при активации менее пяти систем скольжения. Однако важнейший недостаток – неопределенность выбора набора активных систем скольжения, – сохранился. Следует подчеркнуть, что ограничение числа систем скольжения пятью при попадании изображающей точки в пространстве напряжений в вершину более высокого, чем пятый, порядка обусловлено только процедурой нахождения скоростей (или приращений) сдвигов и напряжений. Физического обоснования такого ограничения не существует. От этого ограничения свободны появившиеся в 70-х годах ХХ века двухуровневые упруговязкопластические (т.е. чувствительные к скорости деформации) модели 27-34. Было показано, что при стремлении параметра скоростной чувствительности к нулевому значению получаемое решение сходится к решению упругопластической модели [35-36]. Однако в этом случае система уравнений конститутивной модели становится жесткой, что приводит к необходимости использования неявных схем интегрирования и существенному снижению вычислительной эффективности 36-37. Учитывая данное обстоятельство, были предприняты многочисленные попытки освободиться от указанного важнейшего недостатка моделей типа ТБХ. К наиболее простым методам решения проблемы неопределенности относятся такие, как случайный выбор систем скольжения [38], использование среднего по всем возможным наборам сдвигов по активным СС [39], определение активных систем скольжений через внесение случайных возмущений в критические напряжения [40], выбор 5 активных систем скольжения по величине запасенной на них энергии [41], итерационная процедура выбора 5 СС, обеспечивающих максимальный вклад при разложении тензора деформации скорости по тензорам ориентации СС [42], применение обобщенной обратной (или псевдообратной) матрицы для решения системы уравнений, из которой определяются скорости сдвигов [36,43-48]. Еще один вариант решения данной проблемы связан с модификацией закона упрочнения. В работах [49-50] рассматриваются условия единственности решения задачи определения сдвигов в зависимости от вида используемого закона упрочнения. Показано, что если матрица модулей упрочнения Hij является положительно полуопределенной, то имеет место единственность при определении зависимости скорости напряжений от скорости деформаций, но при этом не будет единственности в определении скоростей сдвигов (т.е. текстура также будет определяться неоднозначно). Если же матрица является положительно определенной, то будет существовать единственное решение задачи определения скоростей сдвигов. Аналогичный подход к решению рассматриваемой проблемы неединственности использован в работах [51-52]. Однако в цитируемых работах не обсуждаются вопросы выбора наборов активных СС, определения скоростей сдвигов на них; при этом неявным образом предполагается, что активными являются одновременно не более 5 СС. Кроме того, законы упрочнения зависят от свойств конкретных материалов, их нельзя «приспосабливать» к математическим процедурам. В некоторых работах для преодоления рассматриваемого недостатка моделей типа ТБХ используют энергетические соображения. Например, в работе [53] предлагается использовать условие минимума мощности работы на пластических деформациях по отношению к интенсивности накопленной деформации. В [54] для определения на шаге нагружения наилучшего набора приращений сдвигов по потенциально активным СС использовано дополнительное условие, по терминологии авторов – «минимальности второго порядка» работы на пластических деформациях, т.е. , где ΔА – приращение работы на шаге нагружения, Δγ(k) – приращение сдвига по k-й системе скольжения, σ – тензор напряжений Коши, М(k) – ориентационный тензор k-й СС. Строго доказательства данной гипотезы не приводится, однако авторы на ряде примеров (стесненной осадки монокристаллов при различных ориентациях, прокатки крупнозернистого поликристаллического алюминиевого образца) показывают удовлетворительное соответствие экспериментальным данным результатов расчета с использованием модифицированной модели типа ТБХ. Сопоставление результатов расчетов с помощью указанного выше подхода с экспериментальными данными и расчетными результатами с использованием других методов для случаев стесненной осадки трикристалла и листовой прокатки крупнозернистых алюминиевых образцов рассмотрено в [25]. В [55] для преодоления неоднозначности определения набора СС в моделях типа ТБХ предлагается численная процедура максимизации лагранжиана (мощность напряжений на пластических деформациях). В лагранжиан введены два дополнительных члена; первый из них, введенный с множителями Лагранжа, отвечает за выполнение условия пластичности. Второй член, используемый для регуляризации процедуры максимизации, вводится как штрафная функция (при превышении действующим напряжением величины напряжения течения) с параметром штрафа, роль которого играет фиктивная вязкость; этот член отвечает за выполнение условия согласованности пластического деформирования. Для реализации модели используется неявная схема Эйлера и итерационная процедура Ньютона – Рафсона. В то же время отмечается, что однозначное определение скоростей сдвигов невозможно из-за линейной зависимости соотношений, устанавливающих ограничения. Для их вычисления используется специальный алгоритм, названный автором «псевдо-обратным». В развитие данного подхода в [56] предлагается два алгоритма, основанные на инкрементальных вариационных принципах, из минимизации которых следует как балансовые уравнения (сохранения количества движения), так и определяющие соотношения. Для выполнения условия продолжающегося активного нагружения используется метод проектирования напряжений на многогранник текучести (the return-mapping scheme) или ее аналог. Для решения проблемы вырожденности системы ограничений и неединственности решения применяются регуляризация и метод штрафных функций. С математической точки зрения определение искомых переменных на каждом шаге нагружения сводится к решению нелинейной задачи оптимизации (или нелинейного программирования). Следует отметить, что решение задачи существенно зависит от назначения параметров алгоритма (регуляризации, множителя штрафной функции), для определения которых не приведены физически обоснованные критерии. Принцип максимума мощности на скоростях сдвигов для определения наборов активных СС на каждом шаге нагружения при использовании упругопластической модели предлагается использовать также в работе [57]. Результаты расчетов для деформирования поликристалла с ГЦК решеткой сопоставляются с данными, полученными с помощью упруговязкопластической модели со степенным законом вязкопластичности и высоким показателем степени. Отмечается, что результаты оказываются близкими для случая только деформационного упрочнения, однако при существенном латентном упрочнении имеет место некоторое их различие. Еще одним приемом, заимствованным из макрофеноменологических теорий пластичности, является замена сингулярной поверхности (многогранника) текучести гладкой поверхностью 58-62. При использовании данного приема упругопластическая модель является аналогом упруговязкопластической КМ. Исходя из приведенного краткого обзора работ, посвященных решению проблемы неединственности выбора набора активных СС в моделях типа ТБХ (физических упругопластических теорий), можно констатировать, что на настоящий момент не существует общепринятого подхода к ее решению. В значительной части работ делаются попытки обосновать выбор набора из не более, чем пяти активных СС. В публикациях, в которых допускается одновременная активация большего числа СС, определение скоростей (или приращений) сдвигов основано на сложных математических процедурах, не имеющих должного физического обоснования. Как представляется, основной проблемой является несоответствие размерности пространства, в котором разыскиваются скорости или приращения сдвигов (по сути – пятимерное пространство девиаторов напряжений Коши), и пространства девиаторов пластической составляющей градиента скорости (или приращения) перемещений, размерность которого равна восьми. Следует отметить, что из определения напряжений Коши не следует его симметрии. При наличии упругого закона, записанного в терминах несимметричных мер напряжений и деформаций, для рассматриваемой проблемы неединственности просто нет места, однако на сегодняшний день такие формулировки аналога закона Гука отсутствуют 63. В настоящей работе предлагается возможный вариант преодоления указанного недостатка упругопластических моделей типа ТБХ, опирающийся на хорошо известные положениях физических теорий пластичности. Рассматривается двухуровневая статистическая конститутивная упругопластическая модель для описания поведения представительного макрообъема (моно- или поликристаллического тела). Для построения КМ используются закон Шмида, любой из возможных законов упрочнения для систем скольжения, гипоупругий закон, разложение движения на квазитвердое и деформационное. В силу нелинейности конститутивной модели для ее реализации используется пошаговая процедура (по времени или неубывающему параметру). В текущий момент нагружения активность СС определяется по условию Шмида, при этом независимо от числа активируемых систем все они принимаются «равноправными». Для определения скоростей (приращений) сдвигов на каждом шаге нагружения наряду с гипоупругим соотношением и законом упрочнения предлагается применение итерационной процедуры, использующей разложение пластической составляющей меры скорости деформации по линейно независимым диадам систем скольжения («косоугольному базису» пространства несимметричных девиаторов). Максимальное число базисных диад при этом равно восьми. Следует отметить, что в силу последнего превышение числа одновременно активных систем скольжения (равное порядку вершин многогранников текучести) размерности пространства (т.е. 8) независимо от типа решетки представляется маловероятным. В известных авторам работах по физическим теориям упругопластичности примеров многогранников текучести с вершинами порядка выше восьмого не встречалось.

About the authors

P. V Trusov

Perm National Research Polytechnic University, Perm, Russian Federation

P. A Gladkikh

Perm National Research Polytechnic University, Perm, Russian Federation

References

  1. Хилл Р. Математическая теория пластичности. – М.: Гостехиздат, 1956. – 407 с
  2. Ильюшин А.А. Пластичность. Основы общей математической теории. – М.: АН СССР, 1963. – 272 с.
  3. Ильюшин А.А. Пластичность. Ч.1. Упруго-пластические деформации. – М.: Логос, 2004. – 388 с
  4. Васин Р.А. Определяющие соотношения теории пластичности // Итоги науки и техники. Сер. Механика деформируемого твердого тела. ВИНИТИ. – 1990. –Т. 21. – С. 3–75
  5. Ишлинский А.Ю., Ивлев Д.Д. Математическая теория пластичности. – Москва: Физматлит, 2001. – 701 с.
  6. Rice J.R. Inelastic constitutive relations for solids: an internal-variable theory and its application to metal plasticity // J. Mech. Phys. Solids. – 1971. – Vol.19. – P. 433–455. doi: 10.1016/0022-5096(71)90010-
  7. Коларов Д., Балтов А., Бончева Н. Механика пластических сред. – М.: Мир, 1979. – 302 с
  8. Можен Ж. Механика электромагнитных сплошных сред. – М.: Мир, 1991. – 560 с
  9. McDowell D.L. Internal state variable theory// In: Handbook of Materials Modeling, S. Yip (ed.). – Springer, 2005. – P. 1151–1169. doi: 10.1007/978-1-4020-3286-8_5
  10. Ашихмин В.Н., Волегов П.С., Трусов П.В. Конститутивные соотношения с внутренними переменными: общая структура и приложение к текстурообразованию в поликристаллах // Вестник Пермского государственного технического университета. Математическое моделирование систем и процессов. – 2006. – № 14. – С. 11–26
  11. Трусов П.В. и др. Определяющие соотношения и их применение для описания эволюции микроструктуры / Трусов П.В., Ашихмин В.Н., Волегов П.С., Швейкин А.И. // Физическая мезомеханика. – 2009. – Т.12, №3. – С. 61–71
  12. Horstemeyer M.F., Bammann D.J. Historical review of internal state variable theory for inelasticity // Int. J. Plasticity. — 2010. — Vol. 26. — Р. 1310—1334. doi: 10.1016/j.ijplas.2010. 06.00
  13. Maugin G.A. The saga of internal variables of state in continuum thermo-mechanics (1893-2013) // Mechanics Research Communications. – 2015. – Vol.69. – P.79–86. doi: 10.1016/j.mechrescom.2015.06.0
  14. Taylor G.I. Plastic strain in metals // J. Inst. Metals. – 1938. – Vol.62. – P. 307–324
  15. Bishop J.F., Hill R. A theory of the plastic distortion of a polycristalline aggregate under combined stresses // Phil. Mag. Ser.7. – 1951. – Vol.42, No.327. – P. 414–427. doi: 10.1080/14786445108561065
  16. Bishop J.F.W., Hill R. A theoretical derivation of the plastic properties of a polycristalline face – centered metal // Phil. Mag. Ser.7. – 1951. – Vol.42. – No.334. – P. 1298–1307. DOI: 10.1080/ 1478644410856138
  17. Лихачев В.А., Малинин В.Г. Структурно – аналитическая теория прочности. – СПб.: Наука, 1993. – 471 с
  18. Horstemeyer M.F. Multiscale modeling: A review / J. Leszczynski and M.K. Shukla (eds.); Practical Aspects of Computational Chemistry.– Springer Science + Business Media B.V., – 2009. – Р. 87–135. doi: 10.1007/978-90-481-2687-3_
  19. McDowell D.L. A perspective on trends in multiscale plasticity // Int. J. Plasticity. – 2010. – Vol.26. – Р. 1280–1309. doi: 10.1016/j.ijplas.2010. 02.00
  20. Roters F. Advanced material models for the crystal plasticity finite element method: Development of a general CPFEM framework. – RWTH Aachen: Aachen, 2011. – 226 р. doi: 10.18154/RWTH-CONV-14486
  21. Трусов П.В., Волегов П.С. Физические теории пластичности: теория и приложения к описанию неупругого деформирования материалов. Ч.1. Жесткопластические и упругопластические модели // Вестник ПГТУ. Механика. – 2011. –№.1. – С. 5–45
  22. Трусов П.В., Волегов П.С. Физические теории пластичности: теория и приложения к описанию неупругого деформирования материалов. Ч.2. Вязкопластические и упруговязкопластические модели // Вестник ПГТУ. Механика. – 2011. – №.2. – С. 101–131
  23. Трусов П.В., Швейкин А.И. Многоуровневые модели моно- и поликристаллических материалов: теория, алгоритмы, примеры применения. — Новосибирск: Издательство СО РАН, 2019. — 605 с. doi: 10.15372/MULTILEVEL2019TP
  24. Трусделл К. Первоначальный курс рациональной механики сплошных сред. – М.: Мир, 1975. – 592 с
  25. Bacroix B. et al. Grain reorientation during the plastic deformation of f.c.c. metals / Bacroix B., Jonas J.J., Montheillet F., Skalli A. // Acta Metall.– 1986. – Vol.34, Is.5. – P. 937–950. doi: 10.1016/0001-6160(86)90067-
  26. Гладких П.А., Трусов П.В. Влияние выбора активных систем скольжения в двухуровневых упругопластических моделях типа Тейлора – Бишопа – Хилла на отклик поликристаллических материалов // Прикладная математика и вопросы управления. – 2023. – № 3. – С. 22–38. doi: 10.15593/2499-9873/2023.3.0
  27. Lin T.H. Analysis of elastic and plastic strains of a face – centered cubic crystal // J. Mech. Phys. Solids. – 1957. – Vol.5, Is.1. – P. 143–149. doi: 10.1016/0022-5096(57)90058-
  28. Hutchinson J.W. Bounds and self-consistent estimates for creep of polycrystalline materials // Proc. R. Soc. Lond. Ser. A. Math. Phys. Sci. – 1976. – Vol.348, Is.1652. – P. 101–126. doi: 10.1098/rspa.1976.0027
  29. Peirce D., Asaro, R.J., Needleman A., Material rate dependence and localized deformation in crystalline solids // Acta Metall. — 1983. — Vol. 31. — P. 1951–1976. doi: 10.1016/0001-6160(83)90014-
  30. Asaro R.J., Needleman A. Texture development and strain hardening in rate dependent polycrystals // Acta Metall. – 1985. – Vol. 33. – P. 923–953. doi: 10.1016/0001-6160(85)90188-
  31. Tokuda M., Kratochvil J., Ohno N. Inelastic behaviour of polycrystalline metals under complex loading condition // Int. J. Plasticity. –1985. – Vol.1. – P. 141–150. doi: 10.1016/0749-6419(85)90025-
  32. Mathur K.K., Dawson P.R. On modeling the development of crystallographic texture in bulk forming processes // Int. J. Plasticity. — 1989. — Vol. 5. — P. 67–94. doi: 10.1016/0749-6419(89)90020-
  33. Kalidindi S.R. Incorporation of deformation twinning in crystal plasticity models // J. Mech. Phys. Solids. – 1998. –Vol.46, No.2. – P. 267–290. doi: 10.1016/S0022-5096(97)00051-
  34. Havner K.S. Comparative evaluation of a viscoplastic power-law and rate-independent crystal plasticity in channel die compression// Mechanics of Materials. – 2013. – Vol.59. – Р. 126–141. doi: 10.1016/j.mechmat.2012. 09.00
  35. Neale K.W. Use of crystal plasticity in metal forming simulations // Int. J. Mech. Sci. – 1993. – Vol.35(12). – Р. 1053–1063. doi: 10.1016/0020-7403(93)90055-
  36. Anand L., Kothari M. A computational procedure for rate–independent crystal plasticity // J. Mech. Phys. Solids. –1996.– Vol.44, No.4.– P. 525–558. doi: 10.1016/0022-5096(96)00001-
  37. Steinmann P., Stein E. On the numerical treatment and analysis of finite deformation ductile single crystal plasticity // Comput. Methods Appl. Mech. Engrg. – 1996. – Vol.129, No.3. – P. 235–254. doi: 10.1016/0045-7825(95)00913-210.1002/abio.37004021
  38. Kallend J.S., Davies G.J. A simulation of texture development in f.c.c. metals // Philosophical Magazine. –1972. – Vol. 25. – P. 471–490. doi: 10.1080/1478643720822681
  39. Van Houtte P., Aernoudt E. Lösung für die verallgemeinerte Taylor-Theorie des plastischen Fließens // Int. J. Materials Research. – 1975. – Vol. 66, No. 4. – P. 202–209. doi: 10.1515/ijmr-1975-66040
  40. Bettaieb M.B. et al. On the numerical integration of rate independent single crystal behavior at large strain /, Débordes O., Dogui A., Duchкne L., Keller C. // Int. J. Plasticity. – 2012. – Vol. 32–33. – Р.184-217. doi: 10.1016/j.ijplas.2011.10.01
  41. Zhang L. et al. A stochastic approach to capture crystal plasticity / Zhang L., Dingreville R., Bartel T., Lusk M.T. // Int. J. Plasticity. – 2011. – Vol. 27. – Р. 1432–1444. doi: 10.1016/j.ijplas.2011.04.00
  42. Zisman A.A., Ermakova N.Yu. Rate-independent selection of slip patterns on grain and subgrain scales: state of the art // Materials Physics and Mechanics — 2022. — Vol. 49. — P. 160–172. doi: 10.18149/MPM.4912022_1
  43. Knockaert R., Chastel Y., Massoni E. Rate-independent crystalline and polycrystalline plasticity, application to FCC materials // Int. J. Plasticity. — 2000. — Vol. 16. — P. 179–198. doi: 10.1016/S0749-6419(99)00071-
  44. Schröder J., Miehe C. Aspects of computational rate-independent crystal plasticity // Computational Materials Science — 1997. — Vol. 9. — P. 168–176. doi: 10.1016/S0927-0256(97)00072-4
  45. Miehe C., Schröder J. A comparative study of stress update algorithms for rate‐independent and rate‐dependent crystal plasticity // Int. J. Numerical Methods in Engineering. – 2001. – Vol. 50. — P. 273–298. doi: 10.1002/1097-0207(20010120)50:2-273::AID-NME17-3.0.CO;2-
  46. McGinty R.D., McDowell D.L. A semi-implicit integration scheme for rate independent finite crystal plasticity // Int. J. Plasticity. – 2006. – Vol. 22. – P. 996–1025. doi: 10.1016/j.ijplas. 2005.06.00
  47. Zuo Q.H. On the uniqueness of a rate-independent plasticity model for single crystals // Int. J. Plasticity. – 2011. – Vol. 27. – Р. 1145–1164. DOI: 10.1016/ j.ijplas.2010.12.00
  48. Mánik T., Holmedal B. Review of the Taylor ambiguity and the relationship between rate-independent and rate-dependent full-constraints Taylor models // Int. J. Plasticity. – 2014. – Vol.55. – P. 152–181. doi: 10.1016/j.ijplas.2013.10.00
  49. Hill R. Generalized constitutive relations for incremental deformation of metal crystals for multislip // J. Mech. Phys. Solids. — 1966. — Vol. 14. — P. 95–102. doi: 10.1016/0022-5096 (66)90040-8
  50. Hill R., Rice J.R. Constitutive analysis of elastic-plastic crystals at arbitrary strain // J. Mechanics and Physics of Solids — 1972. — Vol. 20. — P. 401–413. doi: 10.1016/0022-5096(72)90017-
  51. Havner K.S. On unification, uniqueness and numerical analysis in plasticity // Int. J. Solids and Structures — 1977. — Vol.13. — P. 625–635. doi: 10.1016/0020-7683(77)90045-
  52. Franciosi P., Zaoui A., Crystal hardening and the issue of uniqueness // Int. J. Plasticity. — 1991. — Vol. 7. — P. 295–311. doi: 10.1016/0749-6419(91)90037-
  53. Renouard M., Wintenberger M. Calculation of the extent of slips in the homogeneous plastic deformation of a single-crystal under given stresses and strains // Comptes Rendus De L Academie Des Sciences Serie Li. –1981. – Vol. 292. – P. 385–388
  54. Driver J.H., Skalli A., Wintenberger M. A theoretical and experimental study of the plas-tic deformation of f.c.c. crystals in plane strain compression // Philosophical Magazine A. – 1984. – Vol.49, No.4. – P. 505–524. doi: 10.1080/0141861840823655
  55. Schmidt-Baldassari M. Numerical concepts for rate-independent single crystal plasticity // Comput. Methods Appl. Mech. Engrg. – 2003. – Vol.192, Iss.11-12. – P. 1261–1280. doi: 10.1016/s0045-7825(02)00563-
  56. Fohrmeister V., Mosler J. Rate-independent gradient-enhanced crystal plasticity theory — Robust algorithmic formulations based on incremental energy minimization // Int. J. Solids and Structures. – 2024. – Vol. 288. – 112622 (15 p.). doi: 10.1016/j.ijsolstr.2023.11262
  57. Orthaber M., Antretter T., Gänser H.-P. On the selection of active slip systems in rate independent crystal plasticity // Key Engineering Materials. – 2013. – Vols. 554–557. – P.1147-1156. doi: 10.4028/www.scientific.net/KEM.554-557.114
  58. Gambin W. Plasticity of crystals with interacting slip systems // Engineering Transactions — 1991. — Vol. 39, No.3-4. — P. 303–324.
  59. Gambin W. Refined analysis of elastic-plastic crystals // Int. J. Solids Structures — 1992. — Vol. 29, Is.16. — P. 2013–2021. doi: 10.1016/0020-7683(92)90191-U
  60. Gambin W., Barlat F. Modeling of deformation texture development based on rate independent crystal plasticity // Int. J. Plasticity. — 1997. — Vol. 13. — P. 75–85. doi: 10.1016/S0749-6419(97)00001-
  61. Holmedal B. Regularized yield surfaces for crystal plasticity of metals // Crystals. – 2020. – Vol. 10. – P. 1076-1093. doi: 10.3390/cryst1012107
  62. Arminjon M. A regular form of the Schmid law. Application to the ambiguity problem // Textures and Microstructures. – 1991. – Vols 14-18. – P. 1121–1128. doi: 10.1155/TSM.14-18.112
  63. Трусов П.В. О несимметричных мерах напряженного и деформированного состояния и законе Гука // Вестник ПНИПУ. Механика. – 2014. – № 2. – С. 220–237
  64. Поздеев А.А., Трусов П.В., Няшин Ю.И. Большие упругопластические деформации: теория, алгоритмы, приложения. – М.: Наука, 1986. – 232 с
  65. Трусов П.В., Швейкин А.И., Янц А.Ю. О разложении движения, независимых от выбора системы отсчета производных и определяющих соотношениях при больших градиентах перемещений: взгляд с позиций многоуровневого моделирования // Физическая мезомеханика. – 2016. – Т.19, №2. – С.47-65. doi: 10.24411/1683-805X-2016-00052
  66. Трусов П.В., Швейкин А.И. О разложении движения и определяющих соотношениях в геометрически нелинейной упруговязкопластичности кристаллитов // Физическая мезомеханика. – 2016. – Т.19, №3. – С. 25–38. doi: 10.24411/1683-805X-2016-0006
  67. Трусов П.В., Ашихмин В.Н., Швейкин А.И. Анализ деформирования ГЦК–металлов с использованием физической теории упругопластичности // Физическая мезомеханика. – 2010. – Т.13. №3. – С. 21–30
  68. Shveykin A.I., Romanov K.A. Trusov P.V. Some issues with statistical crystal plasticity models: description of the effects triggered in fcc crystals by loading with strain-path changes // Materials. – 2022. – Vol.15. – 6586 (21 p.). doi: 10.3390/ma1519658

Statistics

Views

Abstract - 8

PDF (Russian) - 6

Cited-By


PlumX


Copyright (c) 2024 Trusov P.V., Gladkikh P.A.

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial 4.0 International License.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies