Полный текст

Изделия из металлов и сплавов, несмотря на широкое внедрение полимерных и композиционных материалов, продолжают оставаться наиболее востребованными в различных отраслях промышленности. Непрерывно обновляющийся ассортимент сплавов и деталей из них, постоянно возрастающие требования к повышению эксплуатационных характеристик изделий, необходимость быстрой разработки технологий (в большинстве случаев – методами пластического деформирования) изготовления последних требуют создания математических моделей (ММ) для описания процессов термомеханической обработки (ТМО). «Сердцевиной» таких ММ, определяющими их адекватность и точность, являются используемые при их формулировке конститутивные модели (КМ) (определяющие соотношения (ОС)). Следует отметить, что краевые задачи, возникающие при исследовании технологических процессов пластической обработки металлов и сплавов, как правило, являются физически и геометрически нелинейными. Кроме того, данные задачи относятся к контактным проблемам, в которых априори неизвестны занимаемые исследуемыми телами области и их границы (включая области контакта с обрабатывающим инструментом). В связи с этим задачи данного класса рассматриваются обычно либо в приращениях, либо в скоростях; естественно, при этом и ОС необходимо формулировать в приращениях или скоростях. Для описания процессов обработки металлов и сплавов давлением (ОМД) до настоящего времени широко распространены ММ, основанные на классических теориях пластичности [1-5], используемые, в том числе, во многих коммерческих пакетах прикладных программ. Модели данного класса позволяют определять поля деформаций, напряжений, температур в исследуемых областях заготовок и инструментов, энергетические характеристики процессов обработки. Однако, как известно, физико-механические свойства материалов, а следовательно – эксплуатационные характеристики изделий, определяются главным образом их мезо и микроструктурой. К сожалению, классические теории пластичности (упруговязкопластичности, ползучести и т.д.) не позволяют явным образом описывать эволюционирующую структуру материалов. В связи с указанным обстоятельством в ХХ веке возник альтернативный подход, основанный на введении внутренних переменных 6-13, под которыми в настоящее время понимаются параметры, характеризующие строение материала на различных структурно-масштабных уровнях. В рамках данного подхода появились конститутивные многоуровневые модели, основанные на физических теория пластичности (упругопластичности, упруговязкопластичности) 14-23. Интенсивное развитие КМ данного класса получили, начиная с 70-х годов ХХ века, в связи с появлением высокопроизводительных ЭВМ. Первой двухуровневой КМ является предложенная Дж.И. Тейлором модель 14, математическое обоснование которой приведено в статьях Дж.Бишопа и Р.Хилла 15-16. Различные варианты моделей, базирующихся на основных положениях этих пионерских работ, в литературе принято называть моделями типа Тейлора – Бишопа – Хилла (ТБХ). Несмотря на распространенность моделей типа ТБХ, они не лишены недостатков. Исходная модель ТБХ основана на предположении о жесткопластическом поведении материала, что обусловливает возникновение связи – несжимаемости материала, поскольку пластические деформации, реализуемые сдвигами, не должны приводить к изменениям объема. Как известно, для материалов со связями определить отклик (напряжения) только по движению (деформациям) невозможно (К.Трусделл 24). Для случая изохоричности материала по деформациям определяется только девиатор напряжений, при этом для определения всех компонент девиатора напряжений требуется пять уравнений. В моделях типа ТБХ решение (величины сдвигов на системах скольжения, компоненты девиатора напряжений) ищется в вершинах многогранника текучести порядка не ниже пятого; при этом для реализации произвольной деформации количество активных систем скольжения должно быть не менее пяти. Число независимых систем скольжения не может превышать числа базисных тензоров в девиаторном пространстве, которое равно пяти; в качестве базисных в моделях ТБХ используются любые пять линейно независимых ориентационных тензора систем скольжения. Однако таких наборов базисных тензоров существует значительное (конечное) множество, что порождает известную проблему неединственности определения набора пяти активных систем скольжения и сдвигов по ним. Для преодоления данной трудности Тейлором было предложено использовать принцип минимума мощности диссипации, согласно которому из всех потенциально возможных (т.е. удовлетворяющих критерию Шмида активации) наборов из 5 систем скольжения (СС) действительным является доставляющий минимум мощности работы касательных напряжений на сдвигах по этим системам. При использовании изотропного закона упрочнения из него следует принцип минимуму суммарного сдвига по активным СС. В цитируемых выше работах Бишопа и Хилла приведено доказательство данного принципа, однако при этом число возможных СС не ограничивается пятью. Однако при числе активных СС, превышающем пять, предписанное приращение (или скорость) деформации может быть реализовано бесконечным множеством способов в силу линейной зависимости совокупности ориентационных тензоров активных СС. При постановке задачи в скоростях или приращениях сдвигов по системам скольжения ее можно рассматривать как проблему линейного программирования, решения которой определяются в вершинах многогранника ограничений. В связи с этим в моделях типа ТБХ решение ищется в вершинах многогранника текучести порядка не ниже пятого, при этом количество уравнений должно быть в точности равно пяти. В то же время в кристаллитах, как правило, существуют вершины порядка выше пятого; например, в ГЦК кристаллах в отсчетной естественной конфигурации имеются вершины 6-го и 8-го порядков. Системы скольжения, образующие такие вершины, обладают «равными правами» быть признанными активными в рассматриваемый момент деформирования. Данное обстоятельство обусловливает второй, и наиболее важный недостаток моделей типа ТБХ – неопределенность выбора наборов активных систем скольжения, число которых должно быть равно пяти. Как показано в некоторых работах, в зависимости от выбора наборов активных СС изменяются результаты решения задач исследования деформирования моно- и поликристаллических образцов [25-26] . Позднее появилась работа Т.Г.Линя 27, в которой были учтены упругие деформации, и тем самым преодолены недостатки, связанные с наличием связи (несжимаемости) и возможностью реализации упругопластической деформации при активации менее пяти систем скольжения. Однако важнейший недостаток – неопределенность выбора набора активных систем скольжения, – сохранился. Следует подчеркнуть, что ограничение числа систем скольжения пятью при попадании изображающей точки в пространстве напряжений в вершину более высокого, чем пятый, порядка обусловлено только процедурой нахождения скоростей (или приращений) сдвигов и напряжений. Физического обоснования такого ограничения не существует. От этого ограничения свободны появившиеся в 70-х годах ХХ века двухуровневые упруговязкопластические (т.е. чувствительные к скорости деформации) модели 27-34. Было показано, что при стремлении параметра скоростной чувствительности к нулевому значению получаемое решение сходится к решению упругопластической модели [35-36]. Однако в этом случае система уравнений конститутивной модели становится жесткой, что приводит к необходимости использования неявных схем интегрирования и существенному снижению вычислительной эффективности 36-37. Учитывая данное обстоятельство, были предприняты многочисленные попытки освободиться от указанного важнейшего недостатка моделей типа ТБХ. К наиболее простым методам решения проблемы неопределенности относятся такие, как случайный выбор систем скольжения [38], использование среднего по всем возможным наборам сдвигов по активным СС [39], определение активных систем скольжений через внесение случайных возмущений в критические напряжения [40], выбор 5 активных систем скольжения по величине запасенной на них энергии [41], итерационная процедура выбора 5 СС, обеспечивающих максимальный вклад при разложении тензора деформации скорости по тензорам ориентации СС [42], применение обобщенной обратной (или псевдообратной) матрицы для решения системы уравнений, из которой определяются скорости сдвигов [36,43-48]. Еще один вариант решения данной проблемы связан с модификацией закона упрочнения. В работах [49-50] рассматриваются условия единственности решения задачи определения сдвигов в зависимости от вида используемого закона упрочнения. Показано, что если матрица модулей упрочнения Hij является положительно полуопределенной, то имеет место единственность при определении зависимости скорости напряжений от скорости деформаций, но при этом не будет единственности в определении скоростей сдвигов (т.е. текстура также будет определяться неоднозначно). Если же матрица является положительно определенной, то будет существовать единственное решение задачи определения скоростей сдвигов. Аналогичный подход к решению рассматриваемой проблемы неединственности использован в работах [51-52]. Однако в цитируемых работах не обсуждаются вопросы выбора наборов активных СС, определения скоростей сдвигов на них; при этом неявным образом предполагается, что активными являются одновременно не более 5 СС. Кроме того, законы упрочнения зависят от свойств конкретных материалов, их нельзя «приспосабливать» к математическим процедурам. В некоторых работах для преодоления рассматриваемого недостатка моделей типа ТБХ используют энергетические соображения. Например, в работе [53] предлагается использовать условие минимума мощности работы на пластических деформациях по отношению к интенсивности накопленной деформации. В [54] для определения на шаге нагружения наилучшего набора приращений сдвигов по потенциально активным СС использовано дополнительное условие, по терминологии авторов – «минимальности второго порядка» работы на пластических деформациях, т.е. , где ΔА – приращение работы на шаге нагружения, Δγ(k) – приращение сдвига по k-й системе скольжения, σ – тензор напряжений Коши, М(k) – ориентационный тензор k-й СС. Строго доказательства данной гипотезы не приводится, однако авторы на ряде примеров (стесненной осадки монокристаллов при различных ориентациях, прокатки крупнозернистого поликристаллического алюминиевого образца) показывают удовлетворительное соответствие экспериментальным данным результатов расчета с использованием модифицированной модели типа ТБХ. Сопоставление результатов расчетов с помощью указанного выше подхода с экспериментальными данными и расчетными результатами с использованием других методов для случаев стесненной осадки трикристалла и листовой прокатки крупнозернистых алюминиевых образцов рассмотрено в [25]. В [55] для преодоления неоднозначности определения набора СС в моделях типа ТБХ предлагается численная процедура максимизации лагранжиана (мощность напряжений на пластических деформациях). В лагранжиан введены два дополнительных члена; первый из них, введенный с множителями Лагранжа, отвечает за выполнение условия пластичности. Второй член, используемый для регуляризации процедуры максимизации, вводится как штрафная функция (при превышении действующим напряжением величины напряжения течения) с параметром штрафа, роль которого играет фиктивная вязкость; этот член отвечает за выполнение условия согласованности пластического деформирования. Для реализации модели используется неявная схема Эйлера и итерационная процедура Ньютона – Рафсона. В то же время отмечается, что однозначное определение скоростей сдвигов невозможно из-за линейной зависимости соотношений, устанавливающих ограничения. Для их вычисления используется специальный алгоритм, названный автором «псевдо-обратным». В развитие данного подхода в [56] предлагается два алгоритма, основанные на инкрементальных вариационных принципах, из минимизации которых следует как балансовые уравнения (сохранения количества движения), так и определяющие соотношения. Для выполнения условия продолжающегося активного нагружения используется метод проектирования напряжений на многогранник текучести (the return-mapping scheme) или ее аналог. Для решения проблемы вырожденности системы ограничений и неединственности решения применяются регуляризация и метод штрафных функций. С математической точки зрения определение искомых переменных на каждом шаге нагружения сводится к решению нелинейной задачи оптимизации (или нелинейного программирования). Следует отметить, что решение задачи существенно зависит от назначения параметров алгоритма (регуляризации, множителя штрафной функции), для определения которых не приведены физически обоснованные критерии. Принцип максимума мощности на скоростях сдвигов для определения наборов активных СС на каждом шаге нагружения при использовании упругопластической модели предлагается использовать также в работе [57]. Результаты расчетов для деформирования поликристалла с ГЦК решеткой сопоставляются с данными, полученными с помощью упруговязкопластической модели со степенным законом вязкопластичности и высоким показателем степени. Отмечается, что результаты оказываются близкими для случая только деформационного упрочнения, однако при существенном латентном упрочнении имеет место некоторое их различие. Еще одним приемом, заимствованным из макрофеноменологических теорий пластичности, является замена сингулярной поверхности (многогранника) текучести гладкой поверхностью 58-62. При использовании данного приема упругопластическая модель является аналогом упруговязкопластической КМ. Исходя из приведенного краткого обзора работ, посвященных решению проблемы неединственности выбора набора активных СС в моделях типа ТБХ (физических упругопластических теорий), можно констатировать, что на настоящий момент не существует общепринятого подхода к ее решению. В значительной части работ делаются попытки обосновать выбор набора из не более, чем пяти активных СС. В публикациях, в которых допускается одновременная активация большего числа СС, определение скоростей (или приращений) сдвигов основано на сложных математических процедурах, не имеющих должного физического обоснования. Как представляется, основной проблемой является несоответствие размерности пространства, в котором разыскиваются скорости или приращения сдвигов (по сути – пятимерное пространство девиаторов напряжений Коши), и пространства девиаторов пластической составляющей градиента скорости (или приращения) перемещений, размерность которого равна восьми. Следует отметить, что из определения напряжений Коши не следует его симметрии. При наличии упругого закона, записанного в терминах несимметричных мер напряжений и деформаций, для рассматриваемой проблемы неединственности просто нет места, однако на сегодняшний день такие формулировки аналога закона Гука отсутствуют 63. В настоящей работе предлагается возможный вариант преодоления указанного недостатка упругопластических моделей типа ТБХ, опирающийся на хорошо известные положениях физических теорий пластичности. Рассматривается двухуровневая статистическая конститутивная упругопластическая модель для описания поведения представительного макрообъема (моно- или поликристаллического тела). Для построения КМ используются закон Шмида, любой из возможных законов упрочнения для систем скольжения, гипоупругий закон, разложение движения на квазитвердое и деформационное. В силу нелинейности конститутивной модели для ее реализации используется пошаговая процедура (по времени или неубывающему параметру). В текущий момент нагружения активность СС определяется по условию Шмида, при этом независимо от числа активируемых систем все они принимаются «равноправными». Для определения скоростей (приращений) сдвигов на каждом шаге нагружения наряду с гипоупругим соотношением и законом упрочнения предлагается применение итерационной процедуры, использующей разложение пластической составляющей меры скорости деформации по линейно независимым диадам систем скольжения («косоугольному базису» пространства несимметричных девиаторов). Максимальное число базисных диад при этом равно восьми. Следует отметить, что в силу последнего превышение числа одновременно активных систем скольжения (равное порядку вершин многогранников текучести) размерности пространства (т.е. 8) независимо от типа решетки представляется маловероятным. В известных авторам работах по физическим теориям упругопластичности примеров многогранников текучести с вершинами порядка выше восьмого не встречалось.

Об авторах

П. В Трусов

Пермский национальный исследовательский политехнический университет, Пермь, Российская Федерация

П. А Гладких

Пермский национальный исследовательский политехнический университет, Пермь, Российская Федерация

Список литературы

Статистика

Просмотры

Аннотация - 8

PDF (Russian) - 6