ГРАДИЕНТНЫЕ МОДЕЛИ ДЕФОРМИРОВАНИЯ СОСТАВНЫХ ЭЛЕКТРОУПРУГИХ ТЕЛ

  • Авторы: Ватульян А.О.1,2, Нестеров С.А.2
  • Учреждения:
    1. Южный федеральный университет, Ростов-на-Дону, Российская Федерация
    2. Южный математический институт – филиал ВНЦ Российской академии наук, Владикавказ, Российская Федерация
  • Выпуск: № 5 (2023)
  • Страницы: 5-16
  • Раздел: Статьи
  • URL: https://ered.pstu.ru/index.php/mechanics/article/view/3938
  • DOI: https://doi.org/10.15593/perm.mech/2023.5.01
  • Цитировать

Аннотация


Исследовано напряженно-деформированного состояние слоистых электроупругих тел с учетом масштабных эффектов. Для учета масштабных эффектов использована гради- ентная модель электроупругости с одним механическим и одним электростатическим па- раметрами. В качестве примеров рассмотрена задача о деформировании составного элек- троупругого стержня, антиплоская задача о деформировании электроупругой полосы с покрытием, задача о деформировании сплошного пьезоцилиндра с покрытием. На основе вариационного принципа градиентной электроупругости получены уточненные уравнения равновесия и электростатики, а также расширенный список граничных условий и условий сопряжения для поставленных задач. Рассмотрено несколько упрощенных постановок задач градиентной электроупругости для составных тел, когда учитывается только один из градиентных эффектов – механический или электростатический. Проведено обезразмери- вание и получены аналитические решения упрощенных задач. На конкретных примерах найдены перемещения и напряжения в составных электроупругих телах. Представлены решения задач в классической и градиентной постановках, проведен сравнительный ана- лиз полученных решений. Выяснено, что в случае учета масштабных параметров в окре- стности сопряжения слоев наблюдается: 1) более гладкое распределение перемещений и электрического потенциала по сравнению с классической теорией; 2) скачок компонентов тензора напряжений Коши и компонентов вектора электрической индукции; 3) непрерыв- ность некоторых компонентов тензора моментных напряжений и квадрупольного момента; 4) непрерывность полных напряжений. Скачок компонентов тензора напряжений Коши и компонентов вектора электрической индукции объясняется непрерывностью перемеще- ний, электрического потенциала и их первых производных. Исследована зависимость пе- ремещений и электрического потенциала от величины механического и электростатиче- ского масштабных параметров. Выяснено, что с увеличением масштабных параметров перемещения и электрический потенциал уменьшаются.

Полный текст

Пьезоэлектрические элементы стержневой, плоской и цилиндрической формы широко используются в ка-чес¬тве сенсоров и актуаторов в микроэлектромехани-ческих устройствах, которые применяются в устрой-ствах медицинской диагностики, солнечных батареях и т.д. [1; 2]. Задачи деформирования пьезоэлектрических тел различной формы достаточно полно изучены в рамках классической теории электроупругости [3]. Од-нако модели классической теории упругости и электро-упругости не учитывают масштабные эффекты, кото-рые возникают, когда размеры образцов соизмеримы с характерным размером структуры материала [4–8]. Для описания масштабных эффектов используются различные обобщенные теории электроупругости, например, моментная теория [9], поверхностная теория [10] градиентная теория электроупругости [11–22], ко-торые в определяющие уравнения включают градиент-ные параметры размерности длины. Градиентная теория упругости была обоснована в середине XX в. в работах Тупина [23] и Миндлина [24] и в дальнейшем получила обобщение на механику связанных полей, в том числе на теорию электроупру-гости [11; 14]. Современные исследования в области градиентной электроупругости можно разделить на две группы: одна учитывает влияние градиента деформа-ции, но не учитывает влияние градиента электрическо-го поля [25], другая учитывает влияние электрического поля, но пренебрегает градиентом деформации [13]. По сравнению с классической теорией градиентные моде-ли электроупругости дают возможность уточненной оценки электромеханических полей для тел, толщины которых соизмеримы с масштабным параметром мате-риала, характеризующим его микроструктурное строе-ние [22]. Однако при этом уравнения равновесия и элек-тростатики в градиентной теории обладают повышен-ным порядком по сравнению с классической теорией, а формулировка краевых задач содержит расширенный набор граничных условий. На основе градиентной теории исследованы мас-штабные эффекты, возникающие при деформировании составных упругих [26–28] и термоупругих тел [29–31], с также неоднородных тел [20–22]. Так, в работе [26] исследована градиентная модель изгиба составной балки Эйлера – Бернулли в предположении одноосного напряженного состояния, в [27] решена задача о равно-весии слоя с покрытием, находящегося под действием локализованной нормальной нагрузки, в [29] исследо-вана задача градиентной термоупругости для состав-ного стержня, в [30] – термонапряженное состояние бесконечно длинного двухслойного цилиндра, в [31] – термонапряженное состояние слоистой полосы. В [20; 21] представлено численное решение задачи градиент-ной электроупругости для полого функционально-градиент¬ного цилиндра со степенными законами неод-нородности. Однако задачи градиентной электроупругости для составных тел, в том числе стержня, цилиндра и слоя, остаются неизученными. В данной работе приведены постановки задач гра-диентной электроупругости для составного стержня, полосы и сплошного цилиндра с покрытием. Получены аналитические решения поставленных задач. Проведе-ны вычисления перемещений, электрического потенци-ала и напряжений составных электроупругих тел, как в классической, так и в градиентной постановках. Сделан анализ полученных результатов.

Об авторах

А. О. Ватульян

Южный федеральный университет, Ростов-на-Дону, Российская Федерация; Южный математический институт – филиал ВНЦ Российской академии наук, Владикавказ, Российская Федерация

С. А. Нестеров

Южный математический институт – филиал ВНЦ Российской академии наук, Владикавказ, Российская Федерация

Список литературы

  1. Mechanical characterization of micro/nanoscale structures for MEMS/NEMS applications using nanoindentation techniques / X. Li, B. Bhushan, K. Takashima, C.W. Baek, Y.K. Kim // Ul-tramicroscopy. – 2003. – Vol. 97, no. 1. – P. 481–494. doi: 10.1016/S0304-3991(03)00077-9
  2. Yan Z., Jiang L. Modified continuum mechanics modeling on size-dependent properties of piezoelectric nanomaterials: a re-view // Nanomaterials. – 2017. – Vol. 7(2). doi: 10.3390/nano7020027
  3. Партон В.З., Кудрявцев Б.А. Электромагнитоупругость пьезоэлектрических и электропроводных тел. – М.: Наука, 1988. – 472 с.
  4. Mindlin R.D. Polarization gradient in elastic dielectrics // Int. J. Solids Struct. – 1968. – Vol. 4(6). – P. 637–642.
  5. Aifantis E.C. Gradient effects at the macro, micro and nano scales // J. Mech. Behav. Mater. – 1994. – Vol. 5(3). – P. 335–353. doi: 10.1515/jmbm.1994.5.3.355
  6. Electrostatic deflections and electromechanical resonances of carbon nanotubes / P. Poncharal, Z. Wang, D. Ugarte, W.A. De Heer // Science. – 1999. – Vol. 283(5407). – P. 1513–1516. doi: 10.1126/science.283.5407.1513
  7. Experiments and theory in strain gradient elasticity / D.C. Lam, F. Yang, A. Chong, J. Wang, P. Tong // J. Mech. Phys. Solids. – 2003. – Vol. 51(8). – P. 1477–1508. doi: 10.1016/S0022-5096(03)00053-X
  8. Arvanitakis A. Gradient effects in a new class of electro-elastic bodies // Zeitschrift für angewandte Mathematik und Physik. – 2018. – Vol. 69(3). doi: 10.1007/s00033-018-0959-0
  9. Malikan M. Electro-mechanical shear buckling of piezoelectric nanoplate using modified couple stress theory based on simpli-fied first order shear deformation theory // Appl. Math. Model. – 2017. – Vol. 48. – P. 196–207. doi: 10.1016/j.apm.2017.03.065
  10. Nasedkin A.V., Eremeyev V.A. Harmonic vibrations of na-nosized piezoelectric bodies with surface effects // ZAMMJ. Appl. Math. – 2014. – Vol. 94(10). – P. 878–892. doi: 10.1002/zamm.201300085
  11. Kalpakides V.K., Agiasofitou E.K. On material equations in second gradient electroelasticity // J. Elast. – 2002. – Vol. 67(3). – P. 205–227. doi: 10.1023/A:1024926609083
  12. Liang X., Shen S. Size-dependent piezoelectricity and elasticity due to the electric field-strain gradient coupling and strain gra-dient elasticity // Int. J. Appl. Mech. – 2003. – Vol. 5(2). – P. 1350–1365. doi: 10.1142/S1758825113500154
  13. Yang X.M., Hu Y.T., Yang J.S. Electric field gradient effects in anti-plane problems of polarized ceramics // Int. J. Solids Struct. – 2004. – Vol. 41, no. 24–25. – P. 6801–6811. doi: 10.1016/j.ijsolstr.2004.05.018
  14. Hadjesfandiari A.R. Size-dependent piezoelectricity // Int. J. Solids Struct. – 2013. – Vol. 50(18). – P. 2781–2791. doi: 10.1016/j.ijsolstr.2013.04.020. arXiv:1206.6718
  15. Yue Y., Xu K., Aifantis E. Microscale size effects on the elec-tromechanical coupling in piezoelectric material for anti-plane problem // Smart Materials and Structures. – 2014. – Vol. 23(12). doi: 10.1088/0964-1726/23/12/125043
  16. Yue Y., Xu K., Aifantis E.C. Strain gradient and electric field gradient effects in piezoelectric cantilever beams // J. Mech. Behav. Mater. – 2015. – Vol. 24(3–4). – P. 121–127. doi: 10.1515/jmbm-2015-0014
  17. Effects of electric field and strain gradients on cracks in piezoe-lectric solids / J. Sladek, V. Sladek, M. Wünsche, C. Zhang // Eur. J. Mech: A Solids. – 2017. – Vol. 71. – P. 187–198. doi: 10.1016/j.euromechsol.2018.03.018
  18. Lurie S., Solyaev Y. On the formulation of elastic and electroe-lastic gradient beam theories // Continuum Mech. Thermodyn. – 2019. – Vol. 31. – P. 1601–1613. doi: 10.1007/s00161-019-00781-3
  19. Solyaev Y., Lurie S. Pure bending of the piezoelectric layer in second gradient electroelasticity theory // Acta Mech. – 2019. – Vol. 230. – P. 4197–4211. doi: 10.1007/s00707-019-02484-x
  20. Size dependent analysis of a functionally graded piezoelectric micro cylinder based on the strain gradient theory with the con-sideration of flexoelectric effect: plane strain problem / A. Dini, M. Shariati, F. Zarghami, M. Amin Nematollahi // Journal of the Brazilian Society of Mechanical Sciences and Engineering. – 2020. – Vol. 42. – P. 410–432. doi: 10.1007/s40430-020-02497-x
  21. Modeling and simulation of functionally graded flexo¬electric micro-cylinders based on the mixed finite element method / Y. Zheng, L. Chu, G. Dui, X. Zhu // Applied Physics A. – 2021. – Vol. 127, no. 9–10. – P. 1399–1419. doi: 10.1007/s00339-021-04316-z
  22. Ватульян А.О., Нестеров С.А. Градиентная модель изгиба неоднородной пьезоэлектрической балки // Известия ву-зов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. – 2022. – № 4-1. – С. 10–20. doi: 10.18522/1026-2237-2022-4-1-10-20
  23. Toupin R.A. Elastic materials with couple stresses // Arch. Ra-tional Mech. Anal. – 1962. –Vol. 11. – P. 385–414. doi: 10.1007/BF00253945
  24. Mindlin R.D. Micro-structure in linear elasticity // Arch. Ra-tional Mech. Anal. – 1964. – Vol. 16. – P. 51–78. doi: 10.1007/BF00248490
  25. Shodja H.M., Ghazisaeidi M. Effects of couple stress on anti-plane problems of piezoelectric media with inhomogeneities // Eur. J. Mech. – A/Solids. – 2007. – Vol. 26. – P. 647–658. doi: 10.1016/j.euromechsol.2006.09.001
  26. Li A., Zhou S., Wang B. A size-dependent bilayered mi-crobeam model based on strain gradient elasticity theory // Compos. Struct. – 2014. – Vol. 108. – P. 259–266. doi: 10.1016/j.compstruct.2013.09.020
  27. Моделирование напряженно-деформированного состояния тонких композитных покрытий на основе решения плоской задачи градиентной теории упругости для слоя / С.А. Лурье, Ю.О. Соляев, Л.Н. Рабинский, Ю.Н. Кондра-това, М.И. Волов // Вестник ПНИПУ. Механика. – 2013. – Т. 1. – С. 161–181.
  28. Fu G., Zhou S., Qi L. The size-dependent static bending of a partially covered laminated microbeam // Int. J. Mech. Sci. – 2019. – Vol. 152. – P. 411–419. doi: 10.1016/j.ijmecsci.2018.12.037
  29. Vatulyan А.О., Nesterov S.А. On the deformation of a compo-site rod in the framework of gradient thermoelasticity // Materi-als Physics Mechanics. – 2020. – Vol. 46. – P. 27–41. doi: 10.18149/MPM.4612020_3
  30. Ватульян А.О., Нестеров С.А., Юров В.О. Исследование напряженно-деформированного состояния полого цилин-дра с покрытием на основе градиентной модели термо-упругости. Вестник ПНИПУ. Механика. – 2021. – № 4. – С. 60–70. doi: 10.15593/perm.mech/2021.4.07
  31. Vatulyan A.O., Nesterov S.A. Modeling of thermoelastic de-formation of a thin layer “coating-substrate” system. // J. Phys.: Conf. Ser. – 2022. doi: 10.1088/1742-6596/2317/1/012012
  32. Filon L.N.G. On a quadrature formula for trigonometric inte-grals // Proc. R. Soc. Edinburgh. – 1930. – Vol. 49. – P. 38–47.

Статистика

Просмотры

Аннотация - 96

PDF (Russian) - 63

Cited-By


PlumX


© Ватульян А.О., Нестеров С.А., 2023

Creative Commons License
Эта статья доступна по лицензии Creative Commons Attribution-NonCommercial 4.0 International License.

Данный сайт использует cookie-файлы

Продолжая использовать наш сайт, вы даете согласие на обработку файлов cookie, которые обеспечивают правильную работу сайта.

О куки-файлах