GRADIENT MODELS OF DEFORMATION OF COMPOSITE ELECTROELASTIC BODIES

Abstract


The stress-strain state of layered electroelastic bodies is studied taking into account largescale effects. To account for the scale effects, a gradient model of electroelasticity with one mechanical and one electrostatic parameters is used. As examples, the problem of deformation of a composite electroelastic rod, the antiplane problem of deformation of an electroelastic strip with a coating, the problem of deformation of a solid piezocylinder with a coating are considered. On the basis of the variational principle of gradient electroelasticity, refined equations of equilibrium and electrostatics are obtained, as well as an expanded list of boundary conditions and interface conditions for the tasks set. Several simplified formulations of gradient electroelasticity problems for composite bodies are considered, when only one of the gradient effects, mechanical or electrostatic, is taken into account. The dimensionalization was carried out and analytical solutions of simplified problems were obtained. Calculations of displacements and stresses of composite electroelastic bodies are carried out on specific examples. Solutions of problems in classical and gradient formulations are graphically presented; a comparative analysis of the solutions obtained is carried out. It is found out that if the scale parameters are taken into account in the vicinity of the conjugation of layers, the following is observed: 1) a smoother distribution of displacements and electric potential compared to classical theory; 2) a jump of components of the Cauchy stress tensor and components of the electric induction vector; 3) a continuity of some components of the moment stress tensor and quadrupole moment; 4) a continuity of total stresses. The jump of the components of the Cauchy stress tensor and the components of the electric induction vector is explained by the continuity of the displacements, the electric potential and their first derivatives. The dependence of displacements and electric potential on the magnitude of mechanical and electrostatic scale parameters is investigated. It was found out that with an increase in the scale parameters both the displacement and electric potential decrease.

Full Text

Пьезоэлектрические элементы стержневой, плоской и цилиндрической формы широко используются в ка-чес¬тве сенсоров и актуаторов в микроэлектромехани-ческих устройствах, которые применяются в устрой-ствах медицинской диагностики, солнечных батареях и т.д. [1; 2]. Задачи деформирования пьезоэлектрических тел различной формы достаточно полно изучены в рамках классической теории электроупругости [3]. Од-нако модели классической теории упругости и электро-упругости не учитывают масштабные эффекты, кото-рые возникают, когда размеры образцов соизмеримы с характерным размером структуры материала [4–8]. Для описания масштабных эффектов используются различные обобщенные теории электроупругости, например, моментная теория [9], поверхностная теория [10] градиентная теория электроупругости [11–22], ко-торые в определяющие уравнения включают градиент-ные параметры размерности длины. Градиентная теория упругости была обоснована в середине XX в. в работах Тупина [23] и Миндлина [24] и в дальнейшем получила обобщение на механику связанных полей, в том числе на теорию электроупру-гости [11; 14]. Современные исследования в области градиентной электроупругости можно разделить на две группы: одна учитывает влияние градиента деформа-ции, но не учитывает влияние градиента электрическо-го поля [25], другая учитывает влияние электрического поля, но пренебрегает градиентом деформации [13]. По сравнению с классической теорией градиентные моде-ли электроупругости дают возможность уточненной оценки электромеханических полей для тел, толщины которых соизмеримы с масштабным параметром мате-риала, характеризующим его микроструктурное строе-ние [22]. Однако при этом уравнения равновесия и элек-тростатики в градиентной теории обладают повышен-ным порядком по сравнению с классической теорией, а формулировка краевых задач содержит расширенный набор граничных условий. На основе градиентной теории исследованы мас-штабные эффекты, возникающие при деформировании составных упругих [26–28] и термоупругих тел [29–31], с также неоднородных тел [20–22]. Так, в работе [26] исследована градиентная модель изгиба составной балки Эйлера – Бернулли в предположении одноосного напряженного состояния, в [27] решена задача о равно-весии слоя с покрытием, находящегося под действием локализованной нормальной нагрузки, в [29] исследо-вана задача градиентной термоупругости для состав-ного стержня, в [30] – термонапряженное состояние бесконечно длинного двухслойного цилиндра, в [31] – термонапряженное состояние слоистой полосы. В [20; 21] представлено численное решение задачи градиент-ной электроупругости для полого функционально-градиент¬ного цилиндра со степенными законами неод-нородности. Однако задачи градиентной электроупругости для составных тел, в том числе стержня, цилиндра и слоя, остаются неизученными. В данной работе приведены постановки задач гра-диентной электроупругости для составного стержня, полосы и сплошного цилиндра с покрытием. Получены аналитические решения поставленных задач. Проведе-ны вычисления перемещений, электрического потенци-ала и напряжений составных электроупругих тел, как в классической, так и в градиентной постановках. Сделан анализ полученных результатов.

About the authors

А. О. Vatulyan

Southern Federal University, Rostov-on-Don, Russian Federation; Southern Mathematical Institute, a branch of the VSC RAS, Vladikavkaz, Russian Federation

S. А. Nesterov

Southern Mathematical Institute, a branch of the VSC RAS, Vladikavkaz, Russian Federation

References

  1. Mechanical characterization of micro/nanoscale structures for MEMS/NEMS applications using nanoindentation techniques / X. Li, B. Bhushan, K. Takashima, C.W. Baek, Y.K. Kim // Ul-tramicroscopy. – 2003. – Vol. 97, no. 1. – P. 481–494. doi: 10.1016/S0304-3991(03)00077-9
  2. Yan Z., Jiang L. Modified continuum mechanics modeling on size-dependent properties of piezoelectric nanomaterials: a re-view // Nanomaterials. – 2017. – Vol. 7(2). doi: 10.3390/nano7020027
  3. Партон В.З., Кудрявцев Б.А. Электромагнитоупругость пьезоэлектрических и электропроводных тел. – М.: Наука, 1988. – 472 с.
  4. Mindlin R.D. Polarization gradient in elastic dielectrics // Int. J. Solids Struct. – 1968. – Vol. 4(6). – P. 637–642.
  5. Aifantis E.C. Gradient effects at the macro, micro and nano scales // J. Mech. Behav. Mater. – 1994. – Vol. 5(3). – P. 335–353. doi: 10.1515/jmbm.1994.5.3.355
  6. Electrostatic deflections and electromechanical resonances of carbon nanotubes / P. Poncharal, Z. Wang, D. Ugarte, W.A. De Heer // Science. – 1999. – Vol. 283(5407). – P. 1513–1516. doi: 10.1126/science.283.5407.1513
  7. Experiments and theory in strain gradient elasticity / D.C. Lam, F. Yang, A. Chong, J. Wang, P. Tong // J. Mech. Phys. Solids. – 2003. – Vol. 51(8). – P. 1477–1508. doi: 10.1016/S0022-5096(03)00053-X
  8. Arvanitakis A. Gradient effects in a new class of electro-elastic bodies // Zeitschrift für angewandte Mathematik und Physik. – 2018. – Vol. 69(3). doi: 10.1007/s00033-018-0959-0
  9. Malikan M. Electro-mechanical shear buckling of piezoelectric nanoplate using modified couple stress theory based on simpli-fied first order shear deformation theory // Appl. Math. Model. – 2017. – Vol. 48. – P. 196–207. doi: 10.1016/j.apm.2017.03.065
  10. Nasedkin A.V., Eremeyev V.A. Harmonic vibrations of na-nosized piezoelectric bodies with surface effects // ZAMMJ. Appl. Math. – 2014. – Vol. 94(10). – P. 878–892. doi: 10.1002/zamm.201300085
  11. Kalpakides V.K., Agiasofitou E.K. On material equations in second gradient electroelasticity // J. Elast. – 2002. – Vol. 67(3). – P. 205–227. doi: 10.1023/A:1024926609083
  12. Liang X., Shen S. Size-dependent piezoelectricity and elasticity due to the electric field-strain gradient coupling and strain gra-dient elasticity // Int. J. Appl. Mech. – 2003. – Vol. 5(2). – P. 1350–1365. doi: 10.1142/S1758825113500154
  13. Yang X.M., Hu Y.T., Yang J.S. Electric field gradient effects in anti-plane problems of polarized ceramics // Int. J. Solids Struct. – 2004. – Vol. 41, no. 24–25. – P. 6801–6811. doi: 10.1016/j.ijsolstr.2004.05.018
  14. Hadjesfandiari A.R. Size-dependent piezoelectricity // Int. J. Solids Struct. – 2013. – Vol. 50(18). – P. 2781–2791. doi: 10.1016/j.ijsolstr.2013.04.020. arXiv:1206.6718
  15. Yue Y., Xu K., Aifantis E. Microscale size effects on the elec-tromechanical coupling in piezoelectric material for anti-plane problem // Smart Materials and Structures. – 2014. – Vol. 23(12). doi: 10.1088/0964-1726/23/12/125043
  16. Yue Y., Xu K., Aifantis E.C. Strain gradient and electric field gradient effects in piezoelectric cantilever beams // J. Mech. Behav. Mater. – 2015. – Vol. 24(3–4). – P. 121–127. doi: 10.1515/jmbm-2015-0014
  17. Effects of electric field and strain gradients on cracks in piezoe-lectric solids / J. Sladek, V. Sladek, M. Wünsche, C. Zhang // Eur. J. Mech: A Solids. – 2017. – Vol. 71. – P. 187–198. doi: 10.1016/j.euromechsol.2018.03.018
  18. Lurie S., Solyaev Y. On the formulation of elastic and electroe-lastic gradient beam theories // Continuum Mech. Thermodyn. – 2019. – Vol. 31. – P. 1601–1613. doi: 10.1007/s00161-019-00781-3
  19. Solyaev Y., Lurie S. Pure bending of the piezoelectric layer in second gradient electroelasticity theory // Acta Mech. – 2019. – Vol. 230. – P. 4197–4211. doi: 10.1007/s00707-019-02484-x
  20. Size dependent analysis of a functionally graded piezoelectric micro cylinder based on the strain gradient theory with the con-sideration of flexoelectric effect: plane strain problem / A. Dini, M. Shariati, F. Zarghami, M. Amin Nematollahi // Journal of the Brazilian Society of Mechanical Sciences and Engineering. – 2020. – Vol. 42. – P. 410–432. doi: 10.1007/s40430-020-02497-x
  21. Modeling and simulation of functionally graded flexo¬electric micro-cylinders based on the mixed finite element method / Y. Zheng, L. Chu, G. Dui, X. Zhu // Applied Physics A. – 2021. – Vol. 127, no. 9–10. – P. 1399–1419. doi: 10.1007/s00339-021-04316-z
  22. Ватульян А.О., Нестеров С.А. Градиентная модель изгиба неоднородной пьезоэлектрической балки // Известия ву-зов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. – 2022. – № 4-1. – С. 10–20. doi: 10.18522/1026-2237-2022-4-1-10-20
  23. Toupin R.A. Elastic materials with couple stresses // Arch. Ra-tional Mech. Anal. – 1962. –Vol. 11. – P. 385–414. doi: 10.1007/BF00253945
  24. Mindlin R.D. Micro-structure in linear elasticity // Arch. Ra-tional Mech. Anal. – 1964. – Vol. 16. – P. 51–78. doi: 10.1007/BF00248490
  25. Shodja H.M., Ghazisaeidi M. Effects of couple stress on anti-plane problems of piezoelectric media with inhomogeneities // Eur. J. Mech. – A/Solids. – 2007. – Vol. 26. – P. 647–658. doi: 10.1016/j.euromechsol.2006.09.001
  26. Li A., Zhou S., Wang B. A size-dependent bilayered mi-crobeam model based on strain gradient elasticity theory // Compos. Struct. – 2014. – Vol. 108. – P. 259–266. doi: 10.1016/j.compstruct.2013.09.020
  27. Моделирование напряженно-деформированного состояния тонких композитных покрытий на основе решения плоской задачи градиентной теории упругости для слоя / С.А. Лурье, Ю.О. Соляев, Л.Н. Рабинский, Ю.Н. Кондра-това, М.И. Волов // Вестник ПНИПУ. Механика. – 2013. – Т. 1. – С. 161–181.
  28. Fu G., Zhou S., Qi L. The size-dependent static bending of a partially covered laminated microbeam // Int. J. Mech. Sci. – 2019. – Vol. 152. – P. 411–419. doi: 10.1016/j.ijmecsci.2018.12.037
  29. Vatulyan А.О., Nesterov S.А. On the deformation of a compo-site rod in the framework of gradient thermoelasticity // Materi-als Physics Mechanics. – 2020. – Vol. 46. – P. 27–41. doi: 10.18149/MPM.4612020_3
  30. Ватульян А.О., Нестеров С.А., Юров В.О. Исследование напряженно-деформированного состояния полого цилин-дра с покрытием на основе градиентной модели термо-упругости. Вестник ПНИПУ. Механика. – 2021. – № 4. – С. 60–70. doi: 10.15593/perm.mech/2021.4.07
  31. Vatulyan A.O., Nesterov S.A. Modeling of thermoelastic de-formation of a thin layer “coating-substrate” system. // J. Phys.: Conf. Ser. – 2022. doi: 10.1088/1742-6596/2317/1/012012
  32. Filon L.N.G. On a quadrature formula for trigonometric inte-grals // Proc. R. Soc. Edinburgh. – 1930. – Vol. 49. – P. 38–47.

Statistics

Views

Abstract - 96

PDF (Russian) - 63

Cited-By


PlumX


Copyright (c) 2023 Vatulyan А.О., Nesterov S.А.

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial 4.0 International License.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies