Full Text

Введение Модальный анализ - это один из основных инструментов структурного анализа, целью которого является выявление динамических параметров - мод колебаний, уровня демпфирования, жесткости системы. Модальный анализ может быть выполнен как аналитически с использованием конечно-элементного анализа, так и экспериментально с использованием соответствующего оборудования. В ходе экспериментального модального анализа (ЭМА) на тестируемую систему подается известное возбуждение и снимается показание отклика. Измеряемые параметры входного и выходного сигналов используются для определения передаточной функции и мод колебаний. Совокупность методов ЭМА разделяется на две группы - частотные методы [1-3] и методы анализа во временной области [4-7]. Также методы ЭМА можно поделить на традиционные методы, опирающиеся в расчетах на известные величины входного и выходного сигналов [8], и методы с использованием только выходного сигнала при неизвестном возбуждении [9]. Вторая группа методов называется в общем случае операционным модальным анализом (ОМА). ОМА получил широкое распространение во многих областях: автомобилестроении, аэрокосмическом машиностроении, промышленном и гражданском строительстве. В сравнении с традиционным ЭМА ОМА не опирается на заранее известный сигнал входного возбуждения, поэтому ОМА особенно актуален для систем, где входное возбуждение определить невозможно, например для анализа железнодорожных мостов. В представленной работе методы ЭМА применяются для определения собственных частот колебаний технологической системы при фрезеровании. В статьях [10-12] рассмотрены аналитические модели фрезерования, выведены уравнения движения и сформулированы условия устойчивости. Для практического применения разработанных аналитических и имитационных моделей необходимо определить фактические динамические параметры рассматриваемой многомассовой технологической системы, включающей в себя станок, вспомогательный и режущий инструменты, а также заготовку и приспособление. В настоящей статье решается задача выявления собственных частот колебаний технологической системы при фрезеровании. Методы исследования и оборудование Для решения поставленной задачи применяется метод разложения в частотной области, который позволяет определить собственные частоты колебаний только по известному отклику [2, 13]. Общий алгоритм метода сводится к следующему: 1) снятие показаний отклика (виброускорение, виброскорость или вибросмещение) в разных точках системы или при разных режимах работы системы; 2) вычисление матрицы спектральной плотности мощности сигналов (СПМ); 3) анализ методом сингулярного разложения матрицы СПМ. Для проведения ОМА достаточно только вибродатчика, предусилителя и карты сбора данных. Для проведения исследований, представленных в работе, использовался трехкомпонентный пьезоэлектрический вибродатчик производства PCB Piesotronics со встроенным предусилителем сигнала. Для сбора данных использовался трехкомпонентный анализатор «Экофизика-110B». Программная реализация математических методов выполнена на языке Python 2.6.10. Теоретическое основание метода Впервые метод разложения в частотной области был предложен в 2000 г. Р. Бринкером [13]. Метод разложения в частотной области основан на отношении матриц СПМ входного и выходного сигналов: (1) где Gxx(s), Gyy(s) - матрицы СПМ сигнала и отклика соответственно; H(s) - передаточная функция, s = ±jw - комплексная переменная; T - операция транспонирования. Передаточная функция может быть представлена в виде (2) где Rr - мода колебаний. Для случая, когда входное возбуждение неизвестно, предполагается, что входной сигнал представляет собой белый шум, для которого СПМ является постоянной величиной. Таким образом, можно рассматривать СПМ отклика как передаточную функцию. Вычислим сингулярные значения матрицы Gyy(s), применив сингулярное разложение (3) где матрицы U и UH - унитарные правый и левый сингулярные векторы; H означает комплексное сопряжение; S - диагональная матрица, содержащая сингулярные значения. При варьировании частоты w и вычислении матрицы S согласно выражению (3) можно обнаружить, что при wi ® wсоб первый компонент матрицы S будет достигать максимума. При практическом применении описанного метода необходимо провести несколько испытаний при разных установках системы или разных режимах работы, при этом чем больше количество испытаний, тем точнее приближение wi ® wсоб. Имитационное моделирование Имитационное моделирование позволяет предсказать поведение динамической системы при заданных начальных параметрах. Ранее имитационные модели были составлены для описания процесса фрезерования [14]. В представленной статье результаты имитационного моделирования используются для верификации описанного выше метода ОМА. Рассмотрим схему концевого фрезерования в ортогональной плоскости с двумя степенями подвижности (предполагаем, что заготовка закреплена жестко), приведенную на рис. 1, где ζx, ζy - относительные коэффициенты демпфирования; kупр,x, kупр,y - коэффициенты жесткости, Н/м; b = π/2 - γ, γ - передний угол инструмента. Рис. 1. Схема концевого фрезерования с двумя степенями подвижности Уравнение, описывающее движение представленной системы, имеет вид (4) где {q(t)} - вектор-столбец координат возможных вибросмещений x(t) и y(t); [ζ], [ωсоб], , - диагональные матрицы размера 2×2, характеризующие динамические характеристики системы в каждом направлении возможных смещений. В рассматриваемой системе под действием силы резания инструмент может вибрировать, изменяя толщину срезаемого слоя hj, где j - индекс режущей кромки инструмента. (5) где ft - подача на зуб, мм/зуб; jj - угол контакта j-й режущей кромки с заготовкой, причем j Î [jst, jex], где jst - угол входа зуба фрезы в контакт с заготовкой; jex - угол выхода зуба фрезы из контакта с заготовкой; Δx = x(t - T) - x(t); Δy = y(t - T) - y(t), где T - период запаздывания, (6) где N - скорость вращения шпинделя, об/мин; zоб - общее количество зубьев фрезы. Проекции силы резания на выбранные оси для j-го зуба определяются как (7) где Ks - удельная сила резания, Н/мм2; a - осевая глубина резания; (8) Вычисление имитационной модели сводится к следующим многократно повторяющимся шагам: 1) определение мгновенного значения толщины снимаемого материала режущей кромкой с учетом вибросмещений в моменты времени t и (t - T); 2) вычисление величины равнодействующей силы резания; 3) определение виброускорений; 4) определение вибросмещений путем численного интегрирования. Для определения величины вибросмещений путем численного интегрирования применен модифицированный метод Эйлера [15]. Рассмотрим систему со следующими динамическими характеристиками: wсоб,x = 800 Гц; wсоб,y = 300 Гц; kупр,x = kупр,x = 2 ∙ 109 Н/м; ζx = 3 %; ζy = 1 %, γ = 22°, zоб = 4, Ks = 1100 Н/мм2, ширина фрезерования равна половине диаметра фрезы. Заготовка закреплена жестко. Также к силе резания добавлен белый шум. Необходимо выполнить тестирование модели при каком-либо изменяющемся параметре. В качестве варьируемого параметра выбрана частота вращения шпинделя N. Диапазон варьирования N Î [5000, 23 000] с шагом 2000. Таким образом, выполнено 10 тестов. На рис. 3 представлен результат имитационного моделирования для N = = 5000 об/мин для направлений вибросмещений X и Y. Также на рис. 3 представлен соответствующий спектр, который позволяет определить превалирующие частоты колебаний, причем стоит отметить, что превалирующие частоты могут изменяться в зависимости от начальных параметров. Другими словами, в системе возникают автоколебания - вынужденные колебания, не затухающие в диссипативной системе. Отличительным признаком автоколебаний от вынужденных колебаний, вызванных силой резания, является частота, на которой существуют автоколебания. В общем случае вынужденные колебания вызываются переменной силой и существуют такие колебания на частоте, близкой к частоте изменения возбуждения. Автоколебания же определяются внутренними параметрами системы и существуют на частотах, определенных конфигурацией системы и начальными параметрами. На рис. 2 приведена осциллограмма и спектр сил резания Fx, Fy. Спектр сил резания позволяет определить превалирующие частоты - 329, 245, 160 и 75 Гц. Для виброускорений режущей кромки (см. рис. 3), возникающих в процессе резания, преобладают частоты 896, 745, 1000, 660 Гц для направления X и 330 и 245 Гц для направления Y. Очевидно, что в направлении X виброускорения режущей кромки существуют на частотах, отличных от частоты изменений соответствующей силы резания. В то же время в направлении Y происходят вынужденные колебания с частой вынуждающей переменной силы. Рис. 2. Осциллограмма сил резания Fx, Fy и соответствующие спектры Рис. 3. Осциллограмма (слева) и соответствующий спектр (справа) виброускорения при N = 5000 об/мин Следующий шаг в выполнении ОМА - вычисление матрицы СПМ-сигналов и ее сингулярного разложения. В результате для каждой частоты wi определено максимальное сингулярное значение матрицы Gyy. Итог вычислений представлен в виде графика на рис. 4 для направления X и на рис. 5 для направления Y. Рис. 4. Передаточная функция Hy(s) (полулогарифмический масштаб) Рис. 5. Передаточная функция Hx(s) (полулогарифмический масштаб) На рис. 4, 5 видно, что зависимость сингулярных значений от частоты колебаний достигает наибольшего значения при wсоб,x = 800 Гц и wсоб,y = 300 Гц соответственно, что совпадает с изначально заложенными в имитационную модель динамическими характеристиками. На основании выполненных расчетов можно сделать вывод о том, что описанный в статье метод ОМА позволяет достоверно определить собственные частоты колебаний. Экспериментальные исследования Экспериментальные тесты были выполнены на трехкоординатном вертикально-фрезерном станке 6К82Ш. Режущий инструмент - торцевая фреза, обрабатываемый материал - сталь 45. Глубина резания 1 мм, подача на зуб 0,1 мм/зуб, скорость вращения шпинделя 710 мм/мин. Трехкомпонентный вибродатчик закреплен на торце шпинделя, направление каналов X, Y, Z датчика совпадает с направлением осей станка. На рис. 6 представлен общий вид экспериментального стенда. Тесты выполнены с изменением ширины фрезерования - 66, 70 и 80 мм. Также варьировалось расположение фрезы относительно заготовки для обеспечения симметричного и асимметричного торцевого фрезерования. Таким образом, для каждого значения ширины фрезерования были выполнены по два теста для симметричного резания и по два теста для асимметричного резания. В общей сложности проанализированы 12 тестов резания. Рис. 6. Общий вид экспериментального стенда В ходе каждого теста резания снимались показания вибродатчика. На рис. 7 представлена осциллограмма и спектр виброускорения для симметричного фрезерования с шириной 70 мм в направлении Y. Рис. 7. Осциллограмма и спектр виброускорения для симметричного фрезерования с шириной 70 мм в направлении оси Y На последнем этапе выполнен ОМА методом разложения в частотной области. Результаты ОМА представлены в виде графиков на рис. 8, 9. Рис. 8. Передаточная функция в направлении оси X (полулогарифмический масштаб) Рис. 9. Передаточная функция в направлении оси Y (полулогарифмический масштаб) Результаты Имитационное моделирование продемонстрировало применимость представленного в статье метода ОМА. Очевидно, что пики передаточной функции существуют вблизи собственных частот колебаний системы (см. рис. 4, 5). Пики на рис. 8 соответствуют следующим частотам: wсоб,x1 = 307 Гц, wсоб,x2 = 760 Гц, wсоб,x3 = 771 Гц, wсоб,x4 = 2661 Гц. Пики на рис. 9 соответствуют следующим частотам: ωсоб,y1 = 315 Гц, wсоб,y2 = 900 Гц, wсоб,y3 = 1270 Гц, wсоб,y4 = 2350 Гц. Отметим, что существование нескольких собственных частот в одном направлении возможно в системах с множеством степеней подвижности. Так, среди выделенных частот могут быть собственные частоты корпуса фрезы, подшипников шпинделя, зажимной цанги и т.д. В ходе данного эксперимента варьировались параметры геометрии срезаемого слоя. Также возможно изменять расположение вибродатчика (на шпинделе, консоли, направляющих и т.д.) для дальнейшего расчета матрицы СПМ виброускорения. Отметим, что ОМА в общем случае позволяет определить моды колебаний (собственные частоты и формы колебаний) и коэффициент демпфирования. Однако для определения жесткости системы необходимо применять методы расчета по входному сигналу и отклику [9]. Заключение В ходе эксперимента, а также имитационного моделирования показано, что при резании возникают автоколебания - незатухающие в диссипативной системе вынужденные колебания. Решение задачи определения динамических характеристик, в частности определения собственных частот колебаний, построено на анализе только выходного сигнала (виброускорения). Таким образом, представленный в статье метод операционного модального анализа является достоверным и практически значимым. В работе выполнен эксперимент, в ходе которого проведены 12 тестов резания с замером виброускорения в ортогональной плоскости. В результате эксперимента определены собственные частоты колебаний технологической системы методом операционного модального анализа.

About the authors

K. Yu Kravchenko

Ural Federal University named after the First President of Russia B.N. Yeltsin

Email: laPosteGenerale@gmail.com

S. S Kugaevsky

Ural Federal University named after the First President of Russia B.N. Yeltsin

Email: cadcam@mail.ru

M. P Zhuravlev

Ural Federal University named after the First President of Russia B.N. Yeltsin

Email: mzhuravlev12@gmail.com

D. M Elkind

Ural Federal University named after the First President of Russia B.N. Yeltsin

Email: dos1600@mail.ru

References

Statistics

Views

Abstract - 58

PDF (Russian) - 32

Refbacks

• There are currently no refbacks.