Full Text

Для повышения качества выпускаемых изделий совершенствуют как обрабатывающее оборудование, так и методы контроля деталей. Машиностроительное производство постепенно переходит от простейших средств измерения к координатно-измерительным машинам (КИМ), которые позволяют в автоматическом режиме определять геометрические отклонения от заданных размеров и формы деталей. Постоянное повышение требований к качеству сферических поверхностей в авиакосмической промышленности и приборостроении предъявляет новые требования к точности и достоверности контроля таких поверхностей на КИМ и обусловливает необходимость разработки новых методик для автоматизированного контроля. При этом в зависимости от изделий и условий производства предъявляются различные требования к точности и производительности контроля. Авиационно-космическая отрасль предъявляет повышенные требования как к техническим характеристикам подшипников, так и их массовым параметрам. Так, в авиационных подшипниках применяют шарики со степенью точности 20 и более, у которых допуски не превышают: на диаметр - 1 мкм; сферичность - 0,5 мкм; волнистость - 0,05 мкм; шероховатость - 0,02 мкм [1]. Еще более высокие требования предъявляются к сферам приборов, например гироскопов [2, 3]. Основные термины и определения для геометрических характеристик изделий изложены в ГОСТ Р 53442-2009 и ISO 1101:2011. В них рассмотрены четыре типа геометрических элементов для контроля формы: круглость, плоскостность, цилиндричность, форма заданной поверхности. Указанные элементы являются комплексными. Отсутствие стандартизированного метода определения сферичности, привело к созданию множества методов и алгоритмов, эффективность использования которых на практике остается актуальной [4-7]. В стандартах для сферических поверхностей имеется комплексный показатель «сферичность», однако способ его определения не приводится. Предполагается, что сферичность находится на основе формы заданной поверхности. Вместе с тем для прецизионных поверхностей сфер, в том числе участков сфер, например полусфер деталей ротора гироскопа, контроль должен осуществляется с высокой точностью. Ключевым вопросом при контроле и анализе результатов будет выбор базовой сферы. В качестве базы могут быть использованы: средняя, прилегающая (наружная или внутренняя), минимального объема. Рассмотрим последовательно алгоритмы поиска указанных базовых сфер. Наиболее простым и математически однозначным является расчет средней сферы, построенной по методу наименьших квадратов (МНК). Этот подход в отсутствии стандартизованного метода обработки данных при контроле сферических поверхностей на координатно-измерительных машинах используют наиболее часто (рис. 1). Параметры сферы (координаты центра х0, y0, z0 и радиус R) определяют на основе минимизации функционала Ф1 вида [8] , (1) где n - число измеренных точек; xi, yi, zi - декартовы координаты i-й измеренной точки поверхности. Рис. 1. Расчет средней сферы По аналогии с формулами для круглости нами предложены для расчета средней сферы следующие формулы: (2) Формулы (2) справедливы только при условии равномерного расположения измеренных точек на поверхности относительно неизвестного центра. В случае контроля небольшого сегмента сферы их результаты не будут отвечать геометрическому смыслу, поэтому их целесообразно использовать в качестве начального приближения при минимизации функционала (1). Задачу поиска прилегающей сферы предлагается решать, руководствуясь следующими соображениями. Согласно определению, сфера представляет собой геометрическое место точек, равноудаленных от ее центра. Из аналитической геометрии известно, что необходимое и достаточное число точек для однозначного определения сферы - четыре, причем они не должны лежать в одной плоскости, а любые три из них - на одной прямой [9]. После этого проводится анализ координат остальных точек. Если все они находятся внутри или на поверхности сферы, т.е. их радиусы меньше или равны радиусу сферы, то поиск считается законченным. В противном случае осуществляют построение сферы по точкам, имеющим наибольшие радиусы. Несмотря на простоту постановки задачи и ее несомненную практическую значимость, имеется множество вариантов решения на основе аналитической геометрии [10], поэтому актуальным будет нахождение алгоритма решения, наиболее пригодного для реализации на ЭВМ при анализе результатов координатных измерений. Первым и наиболее очевидным является решение, при котором составляется система из четырех уравнений сферы для четырех точек 1, 2, 3, 4 с координатами (x1, y1, z1), (x2, y2, z2), (x3, y3, z3), (x4, y4, z4). Неизвестными, подлежащими определению, будут координаты центра (x, y, z) и радиус сферы R. Указанная система нелинейных уравнений имеет вид (3) Полученная система из четырех нелинейных уравнений (3) решается только численными методами, что обусловливает высокую трудоемкость. Другой метод решения на основе положений аналитической геометрии построен на нахождении центра сферы как точки пересечения двух перпендикуляров к плоскостям, построенным по трем разным точкам, проведенных через центры окружностей, описанных вокруг этих точек. Таким образом, каждый перпендикуляр является геометрическим местом точек, равноудаленных от трех выбранных точек из исходных четырех. Пересечение же перпендикуляров определяет координаты (x, y, z) центра сферы как равноудаленные от всех четырех точек (x1, y1, z1), (x2, y2, z2), (x3, y3, z3), (x4, y4, z4). Единственность также очевидна из построения. Приведенный алгоритм требует выполнения громоздких преобразований для определения координат центров окружностей, проведенных через три точки. Известные формулы аналитической геометрии применимы для плоского случая, поэтому требуется построить плоскость по трем точкам, преобразовать координаты в эту плоскость, найти центр окружности, а затем сделать обратное преобразование координат в исходную декартову систему. Результат иллюстрирует рис. 2. Рис. 2. Расчет прилегающей сферы (метод 1) Еще один алгоритм заключается в определении сферы как описанной вокруг пирамиды (тетраэдра) с вершинами в точках 1, 2, 3, 4. Центром сферы будет точка пересечения четырех плоскостей, проходящих через середины ребер пирамиды перпендикулярно им. Для нахождения сферы следует сформировать два треугольника по трем различным точкам из четырех, а затем построить срединные перпендикуляры к плоскостям, в которых лежат треугольники (рис. 3). Несмотря на то что описанный метод сходен с предшествующим (пересечение двух плоскостей дает прямую, перпендикулярную плоскости и проходящую через центр описанной окружности по трем точкам), решение находится в виде системы четырех линейных уравнений: (4) Рис. 3. Расчет прилегающей сферы (метод 2) Коэффициенты А, B, C, D в уравнениях плоскостей находят из следующих соображений. Координаты направляющего вектора ребра пирамиды, проходящего через произвольные точки E (x1, y1, z1), F (x2, y2, z2): Он же является нормальным вектором плоскости, проходящей через точку G (x5, y5, z5), т.е. срединного перпендикуляра: A (x - x5) + B (y - y5) + C (z - z5) = 0. После преобразований имеем следующие выражения: A = x2 - x1; B = y2 - y1; C = z2 - z1; . Решение имеется, если система (4) из четырех линейных уравнений с тремя неизвестными совместна. Для этого следует выполнить проверку по теореме Кронекера-Капелли. Анализ показал, что ранг основной матрицы равен рангу расширенной матрицы, поэтому можно одно из уравнений системы исключить. Таким образом, рассмотренный алгоритм нахождения сферы по минимальному числу точек представляется наиболее эффективным для реализации при координатных измерениях. Проведенные исследования показали, что самым производительным и оптимальным методом обработки результатов измерений сферических поверхностей является так называемый метод сферы минимального объема [11-14]. В случае так называемой сферы минимального объема, представляющей собой обобщенный случай окружности минимальной зоны, формируется функционал в виде минимума объема между двумя концентричными сферами (рис. 4): (5) где n - число измеренных точек; xi, yi, zi - декартовы координаты i-й измеренной точки поверхности. Рис. 4. Расчет сферы минимального объема В качестве примера рассмотрим расчет сферичности по приведенным алгоритмам для трех примеров из источников [12-14]. Результаты приведены в таблице. Анализ таблицы показал, что во всех примерах наилучший результат обеспечивает алгоритм сферы минимального объема. Расчет параметров сфер - средней и минимального объема Расчетные параметры, мм Средняя сфера Сфера минимального объема Пример 1 [12] Координата центра X 0,000599 0,0033388 Координата центра Y -0,002880 0,0034776 Координата центра Z -0,000022 -0,0003938 Сферичность 0,010070 0,0097278 Пример 2 [13] Координата центра X 0,000856 0,0025090 Координата центра Y -0,000373 0,0000955 Координата центра Z 0,000785 0,0004803 Сферичность 0,00848 0,0076579 Пример 3 [14] Координата центра X -0,000117 0,0002129 Координата центра Y -0,000290 0,00035199 Координата центра Z 0,007888 0,01174948 Сферичность 0,016414 0,0153854 Таким образом, представлена методика автоматизированной оценки сферичности на основе использования минимума измеряемого объема сферических поверхностей, что позволяет эффективно оценить точность изготовления заданных геометрических параметров поверхности.

About the authors

P. Iu Bochkarev

Yuri Gagarin State Technical University of Saratov

O. V Zakharov

Yuri Gagarin State Technical University of Saratov

E. P Reshetnikova

Yuri Gagarin State Technical University of Saratov

References

Statistics

Views

Abstract - 46

PDF (Russian) - 32

Refbacks

• There are currently no refbacks.