Full Text

В нынешнюю эпоху стремительного развития техники особое значение приобретает подготовка вузами высокообразованных специалистов, владеющих солидным комплексом теоретических знаний и практических навыков, позволяющих создавать все более сложные образцы новой техники. Немаловажную роль в этом призвано сыграть совершенствование методик изложения базовых дисциплин инженерной подготовки, наполнение их новыми знаниями, углубляющими существующие теоретические представления. Одними из основных в курсе сопротивления материалов, закладывающем фундамент инженерных расчетов, и ряде других смежных дисциплин являются вопросы прочности массово использующихся в машиностроении, строительстве и ряде других отраслей промышленности конструктивных элементов стержневой формы, работающих в условиях плоского изгиба и именуемых балками. Указанные вопросы давно уже относятся к классическим, казалось бы, полностью исчерпанным в теоретическом плане и не нуждающимся в дополнительном изучении. Однако, как показывает практика прочностных расчетов, неясные вопросы здесь все же остаются. Считается общепризнанным [1–4 и др.], что для обеспечения надежной эксплуатации балки должны соблюдаться условия ее прочности по нормальным (1), касательным (2) и эквивалентным (3) напряжениям: , (1) , (2) . (3) Методики нахождения максимальных нормальных σmax и максимальных касательных τmax напряжений, а также определения соответствующих допускаемых напряжений [σ] и [τ] достаточно полно и подробно изложены в учебной литературе и в дополнительном анализе не нуждаются, чего нельзя сказать о методике нахождения максимальных эквивалентных напряжений в балках – прежде всего потому, что места их действия в большинстве случаев неизвестны. Так, авторы упомянутых и многих других источников, приводя примеры полной проверки балок на прочность, рассматривают двутавровые балки и отмечают, без убедительных доказательств, что наибольшие эквивалентные напряжения в их поперечных сечениях действуют на стыках ребра с полками. По другим формам поперечных сечений подобных сведений практически нет. В ходе исследований по данном вопросу [5, 6], ранее проведенных с участием авторов применительно к балкам прямоугольного и круглого поперечных сечений, было установлено, что наибольшие эквивалентные напряжения в зависимости от соотношения величин изгибающего момента M и поперечной силы Q, действующих в сечении, имеют место либо в крайних верхних и нижних слоях волокон балки, либо в волокнах нейтрального слоя, т.е. в местах действия σmax и τmax. Их величины при соблюдении условий прочности (1) и (2) никогда не превышают [σ], т.е. условие прочности по эквивалентным напряжениям (3) в балках названных сечений выполняется автоматически. Настоящая работа является логическим продолжением упомянутых исследований. Цель работы – изучить характер изменения эквивалентных напряжений по высоте сечения двутавровой балки, увязать положение и величины их максимумов с внутренними силовыми факторами, действующими в сечении, и на этой основе внести соответствующие коррективы в методику силового расчета указанных балок. На рис. 1 показана форма сечения двутавровой балки (со стандартными обозначениями) и эпюры нормальных σ и касательных τ напряжений по высоте этого сечения [7]. Рис. 1. Распределение нормальных и касательных напряжений по высоте сечения двутавровой балки Как известно, нормальные напряжения изменяются по линейному закону: (4) а касательные – по квадратичному: (5) или где M и Q – соответственно изгибающий момент и поперечная сила, действующие в сечении; Jx – момент инерции сечения относительно оси x (перпендикулярной силовой плоскости); Sx(y) – статический момент относительно оси x части сечения, лежащей выше уровня y. Эквивалентные напряжения в точках сечения балки определяются по третьей или четвертой теориям прочности: (6) где α = 4 – по третьей теории прочности и α = 3 – по четвертой. Принимая во внимание скачкообразное уменьшение τ при переходе от ребра к полке (см. рис. 1), нетрудно сделать вывод о том, что наибольшие эквивалентные напряжения возникают в пределах ребра двутавра, но не в его полках. Подставив в формулу (6) выражения (4) и (5), получим . (7) Выразим теперь Sx(y) через статический момент половины сечения друтавра Sx: (8) Подставив (8) в (7), получим закон изменения σэкв по высоте ребра двутавра: . (9) С применением открытой системы компьютерной алгебры GNU CAS Maxima исследуем функцию (9) на экстремум. Возьмем первую производную от σэкв по y и приравняем ее к нулю: (10) Решив уравнение (10), найдем значения y, при которых функция (9) может иметь экстремумы: (11) Как видно из (11), число действительных корней уравнения (10) может быть различным в зависимости от знака подкоренного выражения. При α ∙ Q2 ∙ Sx > M 2 ∙ d, или (M/Q) < (α ∙ Sx/d)0,5, подкоренное выражение в (11) положительно и число корней – три (один – на нулевом уровне и два симметричных относительно оси x). При α ∙ Q2 ∙ Sx ≤ M 2 ∙ d, или (M/Q) ≥ (α ∙ Sx/d)0,5, подкоренное выражение в (11) или отрицательно, или равно нулю; в этом случае имеем один действительный корень: yextr = 0. Таким образом, у каждого из номеров двутавра существует свое отношение M/Q, при достижении и превышении которого зависимость (9) имеет только одну возможную точку экстремума. Назовем это отношение критическим: . Так, при α = 3 указанное отношение для двутавра № 10 равно 123,8 мм, для двутавра № 30 – 351,7 мм, для двутавра № 60 – 610,5 мм. Чтобы выяснить, действительно ли является нулевой уровень местом экстремума и какой именно экстремум здесь имеет место (максимум или минимум), вычислим значение второй производной в этой точке от σэкв по y: . (12) Из (12) явствует, что при M 2 ∙ d > α ∙ Q2 ∙ Sx, или при (M/Q) > (M/Q)кр, на нулевом уровне – минимум, так как выражение (12) положительно. При M 2 ∙ d < α ∙ Q2 ∙ Sx, или при (M/Q) < (M/Q)кр, выражение (12) отрицательно и в этом месте – максимум. При M 2 ∙ d = α ∙ Q2 ∙ Sx, или при (M/Q) = (M/Q)кр, выражение (12) равно нулю, поэтому для установления вида экстремума в данном случае прибегнем к помощи производных более высоких порядков. Дальнейшие расчеты показывают, что третья производная от σэкв по y, как и вторая, при критическом отношении M/Q на нулевом уровне равна нулю, а четвертая – положительна: поэтому и в данном случае здесь – минимум [8]. Таким образом, при (M/Q) ≥ (M/Q)кр функция (9) имеет на нулевом уровне минимум, а при (M/Q) < (M/Q)кр – максимум. Выясним теперь вид экстремумов в точках с координатами (13) Взяв вторую производную от σэкв по y и подставив в нее значения выражения (13), получим (14) Из (14) следует, что при α ∙ Q2 ∙ Sx > M 2 ∙ d, или при (M/Q) < (M/Q)кр, это выражение положительно. Следовательно, на указанных уровнях функция (9) имеет минимумы. Таким образом, при (M/Q) < (M/Q)кр функция (9) имеет максимум на нулевом уровне и два минимума на уровнях с координатами, определяемыми по формулам (13). Необходимо отметить, что эти координаты зависят как от параметров профиля, так и от отношения M/Q в его сечении, в чем легко убедиться, преобразовав (13) к следующему виду: При (M/Q) = 0 (т.е. при M = 0 и Q ≠ 0) точки минимума σэкв максимально удалены от оси x: . Для двутавра № 10 это удаление составляет 101,1 мм, для двутавра № 30 – 287,2 мм, для двутавра № 60 – 498,5 мм, что во всех случаях значительно больше половины высоты профиля ( h/2). При увеличении отношения M/Q места минимума σэкв приближаются к оси x и при (M/Q)→(M/Q)кр сливаются с местом максимума (y = 0): Учитывая изложенное, можно констатировать, что в случае, когда (M/Q) < (M/Q)кр, опасными по эквивалентным напряжениям могут быть как нулевой уровень (y = 0), так и уровень точки K (yk = (h/2) – t), расположенной на границе ребра и полки (см. рис. 1). Поэтому важно определить такое (граничное) значение M/Q, при котором величины σэкв на обоих этих уровнях одинаковы. Тогда при (M/Q) < (M/Q)гр опасным будет нулевой уровень, а при (M/Q) > (M/Q)гр – уровень точки K. Значение (M/Q)гр найдем из условия (15) При этом оба значения σэкв определим по формуле (9): (16) . (17) Подставив (16) и (17) в (15) и решив полученное уравнение относительно M/Q, получим При α = 3 величина (M/Q)гр составляет: для двутавра № 10 – 118,2 мм, для двутавра № 30 – 330,2 мм, для двутавра № 60 – 559,5 мм, т.е. везде (M/Q)гр < (M/Q)кр. В случаях, когда (M/Q) ≥ (M/Q)кр, т.е. когда функция (9) имеет минимум на нулевом уровне, опасным по эквивалентным напряжениям является уровень точки K. Обратим внимание, что в данных случаях, как и в предыдущем, отношение M/Q превышает граничное. Указанное обстоятельство позволяет сформулировать для всех трех возможных случаев единых принцип нахождения мест действия наибольших эквивалентных напряжений в сечении двутавровой балки: если отношение M/Q в сечении не превышает граничного значения, то действует на нулевом уровне, а если превышает – на уровне точки K; при равенстве M/Q и (M/Q)гр наибольшие эквивалентные напряжения действуют одновременно на обоих указанных уровнях. Сформулированный принцип иллюстрируется рядом кривых, изображенных на рис. 2 и являющихся графиками функции (9), построенными для двутавра № 30 при следующих исходных данных: α = 3; Q = 105 Н; M = 30,703∙106 Н∙мм (кривая 1), 33,020∙106 Н∙мм (кривая 2), 34,115∙106 Н∙мм (кривая 3), 35,170∙106 Н∙мм (кривая 4), 37,000∙106 Н∙мм (кривая 5). Теперь выясним, при каких условиях не превышают [σ], т.е. когда выполняется условие прочности по эквивалентным напряжениям (3). Начнем с нулевого уровня. В этом случае (18) Рис. 2. Влияние отношения M/Q на характер изменения эквивалентных напряжений по высоте двутавра № 30: (M/Q)1 = 307,03 мм; (M/Q)2 = 330,20 мм; (M/Q)3 = 341,15 мм; (M/Q)4 = 351,70 мм; (M/Q)5 = = 370,00 мм Если в сечении балки выполняется условие прочности по касательным напряжениям [2], то с учетом (18) имеем . (19) Но [τ], как известно, связано с [σ]: (20) Тогда из (19) и (20) следует, что , т.е. что здесь автоматически выполняется и условие прочности по эквивалентным напряжениям (3). Перейдем теперь к уровню точки K. Запишем выражение для σэкв на этом уровне: . (21) Расчеты показывают, что значение корня в (21) для любого номера двутавра может быть больше единицы, даже если величины M и Q не превышают своих максимально возможных (допустимых) значений: (22) (23) Следовательно, условие прочности по эквивалентным напряжениям (3) выполняется в данном случае не при любых значениях M и Q, а только при таких, которые не выходят за определенные границы. Для установления таких границ приравниваем (21) к величине максимального эквивалентного напряжения, еще удовлетворяющего условию (3): получим . (24) Отсюда – равенство единице квадратного корня в выражении (24), а значит, и его подкоренного выражения: (25) Введем обозначения: (26) (27) Подставим (26) и (27) в (25), получим: Это и есть уравнение линии, ограничивающей геометрическое место точек с координатами M и Q, где выполняется условие прочности (3), т.е. дуги эллипса с полуосями β и γ: . При построении указанной линии необходимо ограничить величины M и Q их допустимыми значениями (22) и (23): , (28) . (29) Введение ограничений (28) и (29) заменяет часть дуги эллипса прямолинейными отрезками, что позволяет исключить из ограничиваемого факторного пространства все те точки, значения M и Q в которых хотя и удовлетворяют условию прочности (3), но нарушают условия (1) и (2). Таким образом, факторное пространство становится универсальным, пригодным для проверки сразу трех названных условий прочности. Проиллюстрируем изложенное примером полной проверки прочности двутавровой балки № 30 (Jx = 7080∙104 мм4, yk = 139,8 мм, d = 6,5 мм, α = 3, Sx = 268∙103 мм3, Wx = 472∙103 мм3, [σ] = 150 Н/мм2), представленной на рис. 3 [7]. Для построения факторного пространства выполним необходимые расчеты, согласно которым β = 75,966 кН∙м; γ = 194,910 кН; [M] = 70,800 кН∙м; [Q] = 148,715 кН∙м. Факторное пространство для приведенной балки (заштрихованная площадь) представлено на рис. 4, где координаты пронумерованных точек являются значениями поперечных сил и изгибающих моментов в соответствующих сечениях балки (рис. 3): Q1 = 81,5 кН; M1 = 0 кН∙м; Q2 = 18,5 кН; M2 = 63 кН∙м; Q3 = 73,5 кН; M3 = 63 кН∙м; Q4 = 73,5 кН; M4 = 4,1 кН∙м; Q5 = 73,5 кН; M5 = 44,1 кН∙м; Q6 = 73,5 кН; M6 = 0 кН∙м; Q7 = 0 кН; M7 = 66,4 кН∙м. Рис. 3. Схема балки с эпюрами поперечных сил Q и изгибающих моментов M Поскольку ни одна из обозначенных точек не выходит за границы факторного пространства (см. рис. 4), то в каждом из соответствующих сечений балки должны одновременно выполняться условия прочности по нормальным (1), касательным (2) и эквивалентным (3) напряжениям. Убедимся в этом. Рис. 4. Факторное пространство для приведенной балки Вертикальные координаты всех указанных точек не превышают [M], значит, во всех соответствующих сечениях выполняется условие прочности (1). Горизонтальные координаты этих точек не превышают [Q], поэтому в соответствующих сечениях балки выполняется и условие прочности (2). В сечениях 1, 4 и 6 отношения значений M и Q меньше граничного (330,21 мм), поэтому, как отмечалось раньше, условие прочности (3) в них выполняется автоматически, так как выполнено условие (2). В остальных сечениях – 2, 3, 5 и 7 – отношения M/Q превышают граничное, но поскольку соответствующие точки не выходят за границу факторного пространства, очерченную дугой эллипса, то и в этих сечениях выполняется условие прочности (3). Нетрудно таким же образом убедиться в выполнимости всех условий прочности в любых других сечениях приведенной балки. Факторное пространство, изображенное на рис. 4, пригодно для полной проверки прочности балок данного профиля (№ 30) при любом варианте их нагружения. Выполнив подобные построения для всех других номеров двутавра, выпускаемых промышленностью, можно создать солидную справочную базу для прочностных расчетов этих балок по упрощенной графической методике, изложенной выше. Такая методика может быть полезна как студентам и преподавателям технических вузов, так и производственным специалистам в области прочностных расчетов. Таким образом, ходе исследования установлена взаимосвязь мест действия наибольших эквивалентных напряжений с внутренними силовыми факторами в сечении двутавровой балки. Показано, что такие напряжения могут возникать на уровне центра тяжести сечения, если отношение величин изгибающего момента и поперечной силы в этом сечении меньше определенной (граничной) величины, зависящей от параметров двутавра и принятой теории прочности, а также на стыке ребра с полкой, если указанное отношение превышает граничное; при равенстве этого отношения и его граничной величины наибольшие эквивалентные напряжения возникают сразу на обоих названных уровнях. Доказано, что в случае максимума эквивалентных напряжений на уровне центра тяжести сечения условие прочности по этим напряжениям выполняется автоматически, если в сечении выполнимо условие прочности по касательным напряжениям. Установлено, что выполнимость условия прочности по эквивалентным напряжениям при их максимуме на стыке ребра с полкой зависит от комбинации величин изгибающего момента и поперечной силы в сечении балки. Это условие выполняется, если указанная комбинация в виде соответствующей точки факторного пространства с координатами «изгибающий момент – поперечная сила» не выходит за его границу, очерченную дугой эллипса с полуосями, определяемыми параметрами двутавра, допускаемым нормальным напряжением и принятой теорией прочности. По результатам исследования предложена упрощенная (графическая) методика комплексной оценки прочности двутавровой балки, основанная на использовании построенного факторного пространства с соответствующими ограничениями, вытекающими из условий прочности по нормальным и касательным напряжениям. Она может быть рекомендована к применению как в учебных, так и в практических целях. Работы по данной тематике целесообразно продолжить в направлении интегрирования предложенной методики в соответствующую компьютерную технологию прочностных расчетов.

About the authors

Yuri Sergeevich Holodnyak

Donbass State Engineering Academy, Kramatorsk, Ukraine

Email: texmex@dgma.donetsk.ua
84313, Ukraine, Kramatorsk, Shkadinova st., 72 Candidate of Technical Sciences, Associate Professor, Donbass State Engineering Academy

Aleksandr Viktorovich Perig

Donbass State Engineering Academy, Kramatorsk, Ukraine

Email: alexander.perig@dgma.donetsk.ua. olexander.perig@gmail.com
84313, Ukraine, Kramatorsk, Shkadinova st., 72 Candidate of Technical Sciences, Senior Lecturer, Donbass State Engineering Academy

Ivan Anatolyevich Matveev

Donbass State Engineering Academy, Kramatorsk, Ukraine

Email: matveev.ivan.dgma@gmail.com
84313, Ukraine, Kramatorsk, Shkadinova st., 72 Student, Donbass State Engineering Academy

References

Statistics

Views

Abstract - 24

PDF (Russian) - 8

Refbacks

• There are currently no refbacks.