Full Text

Введение Согласно данным федеральной службы государственной статистики за 2016 г. болезни органов дыхания в Российской Федерации занимают первое место (44,77%) среди всех классов болезней [9]. В настоящее время доказано негативное воздействие на состояние здоровья дыхательной системы неблагополучной санитарно-гигиенической обстановки [8, 11, 12, 14, 18, 29], в том числе запыленности воздуха [40, 54]. Разработке эффективных методов лечения и профилактики заболеваний органов дыхания способствует понимание механики процесса дыхания, механизмов накопления функциональных нарушений при ингаляционном поступлении химических веществ с вдыхаемым воздухом. Существующие лабораторные и инструментальные методы исследования дыхательной системы [7, 34] дают определенное представление об актуальном состоянии здоровья пациента на момент измерения, но не дают возможности прогнозировать изменение этого состояния на сколь-нибудь длительный период. Значительно бóльший интерес представляет построение эволюционных моделей, позволяющих прогнозировать изменение состояния здоровья человека в зависимости от различных воздействий окружающей среды, в том числе таких, которые не всегда возможно воспроизвести в натурных испытаниях. Наиболее перспективным для решения указанной проблемы является создание математической модели дыхательной системы человека, позволяющей оценивать поступление веществ из окружающей среды в организм человека, имитировать негативное действие факторов среды обитания на организм человека и строить прогнозы функционального состояния дыхательной системы человека. Научным коллективом, к которому принадлежат авторы статьи, разрабатывается многоуровневая математическая модель для описания эволюции функциональных нарушений в организме человека с учетом влияния внешнесредовых факторов [23]. В данной многоуровневой модели человеческий организм представлен конечным набором органов и систем, взаимосвязанных между собой (модель макроуровня). В настоящее время разрабатываются подмодели дыхательной системы [25], пищеварительной системы [62], системы нейроэндокринной регуляции [68], которые в силу своей сложности сами представляют отдельные модели (мезоуровня). На предыдущем этапе разработки модели мезоуровня дыхательной системы сформулированы концептуальная и математическая постановки задачи, учитывающие воздействие факторов среды обитания [25]. Математическая модель дыхательной системы, в свою очередь, состоит из нескольких подмоделей, взаимосвязанных между собой: подмодель движения воздуха в крупных воздухоносных путях; подмодель распространения воздуха в деформируемой насыщенной пористой среде легких; подмодель газообмена через биологическую мембрану. Получены результаты стационарного течения воздуха (многокомпонентной смеси газов) при спокойном дыхании и форсированном вдохе в первых четырех генерациях крупных воздухоносных путей здорового человека в предположении дыхания в условиях отсутствия запыленности [30]. Течение воздуха по крупным воздухоносным путям описывалось системой уравнений Эйлера, дополненной уравнением состояния идеального газа. При исследовании дыхания в реальных (в том числе в запыленных) условиях возникает необходимость рассмотрения многофазного течения смеси газов и твердых частиц. Воздух в общем случае представляет собой газовзвесь - многокомпонентную смесь с твердыми частицами. Наличие взвешенных частиц, содержащихся в воздухе рабочей зоны предприятий машиностроения, черной и цветной металлургии, нефтехимических, горнодобывающих, горно-перерабатывающих, строительных производств оказывает непосредственное негативное влияние на здоровье работников. При этом, оседая на стенках воздухоносных путей, взвешенные частицы начинают оказывать негативное влияние на состояние здоровье уже в их верхних отделах [3]. Попадая глубже в респираторный тракт, взвешенные частицы поражают бронхи, вызывают заболевания легких человека, способствуют обострению хронических заболеваний. В связи с вышесказанным в предлагаемой статье особое внимание уделено исследованию нестационарного течения многофазной смеси газов и твердых частиц в крупных нижних воздухоносных путях человека, оседанию взвешенных частиц различного размера в респираторном тракте. Математические модели, применяемые для исследования дыхательной системы человека В эпидемиологических исследованиях широко используются статистические модели, позволяющие определять причинно-следственные связи на популяционном уровне. Такие модели наиболее часто применяются в доказательной медицине, дыхательная система в них представлена «черным ящиком» в системах «атмосферный воздух - черный ящик - заболеваемость» или «атмосферный воздух - черный ящик - кровь» [8, 19]. На основе зависимостей доза - эффект доказано влияние взвешенных частиц на увеличение смертности и заболеваемости населения болезнями органов дыхания, системы кровообращения [35, 40, 54, 58, 59]. Такие модели позволяют определять достоверные зависимости между содержанием загрязняющих веществ в атмосферном воздухе и отклонениями в показателях здоровья, но не позволяют анализировать процессы, происходящие внутри системы. Дыхательные пути человека, по сути, являются протяженными биологическими каналами сложной формы. Древовидная структура нижних дыхательных путей обладает свойством самоподобия, для описания структуры легких распространено применение фрактальной геометрии [6, 16, 24, 67]. В механике дыхания используются модели различного уровня сложности с точки зрения учета тех или иных механических процессов. В настоящее время широко используются камерные [15, 47, 48] и одномерные модели [45, 55]. Математические модели дыхательной системы, основанные на системе графов, представлены в работах [32, 33]. С интенсивным развитием средств и методов вычислительной газовой динамики особый интерес стали вызывать трехмерные модели течения воздуха, рассматриваемого как многокомпонентная смесь газов, движущаяся в каналах сложной формы [36, 37, 43, 44, 48, 60-62, 64-66, 70-73]. С развитием вычислительных мощностей количество рассматриваемых каналов воздухоносных путей увеличилось с семи [37] до 1400 [44]. Исследованию течения воздуха в верхних воздухоносных путях посвящены работы [4, 28, 31]. В современных математических моделях наблюдается тенденция к персонификации, рассматривается реальная трехмерная геометрия легких, которая восстанавливается на основе литературных данных или снимков, полученных с помощью магнитно-резонансной томографии. При моделировании воздействия взвешенных частиц на организм человека особый интерес вызывают модели переноса частиц в воздухоносных путях [38, 46, 53]. Цитируемые работы вызывают интерес с точки зрения моделирования процесса дыхания в запыленных условиях и моделирования переноса лекарственных веществ. Среди моделей, описывающих перенос и оседание взвешенных частиц в воздухоносных путях, можно выделить аналитические и численные. Аналитические модели в основном сосредоточены на оценивании оседания частиц на стенках воздухоносных путей. Данный подход основан на разделении механизмов оседания (инерционное оседание, седиментация и диффузия) и определения вероятности оседания частиц как функции от характеристик частиц и каналов [51]. Численные модели, описывающие транспорт и оседание частиц, как правило, базируются на методах и подходах вычислительной гидродинамики. При численном моделировании находят применение два основных подхода: Эйлера и Лагранжа. В эйлеровом подходе воздух (многокомпонентная смесь газов) и твердые частицы рассматриваются как взаимопроникающие континуумы. При этом течение описывается обычными уравнениями гидродинамики (для смеси и/или отдельных компонент) с дополнительными членами, учитывающими межфазное взаимодействие [26]. По сравнению с подходом Эйлера, применение подхода Лагранжа для моделирования поведения дисперсной фазы позволяет описывать поведение отдельных частиц в различные моменты времени, имеет преимущества при описании массо- и теплообмена, но оказывается менее эффективным с вычислительный точки зрения, особенно при моделировании большого количества частиц и использовании модели турбулентности. На практике применимость данного подхода ограничивается содержанием дисперсной фазы не более 10% по объему. Среди моделей движения газовзвеси в респираторном тракте эйлеров подход можно встретить в [49, 50, 69, 72], лагранжев - в [39, 42, 52, 74]. В моделях обычно исследуются частицы сферической формы, коагуляция частиц не рассматривается. Отложение ингалированных частиц на стенках воздухоносных путей определяется в основном тремя физическими механизмами: седиментацией, импакцией и диффузией [20]. Гравитационная седиментация (осаждение) - равномерное прямолинейное движение частиц в направлении действия силы тяжести при уравновешивании силы тяжести силой сопротивления вязкой среды - описывается законом Стокса. Импакция (инерционное осаждение) частицы происходит при резком изменении направления воздушного потока (вблизи изгиба воздушного канала), когда частица продолжает движение в прежнем направлении и ударяется о поверхность слизистой дыхательных путей. Диффузионный механизм связан с хаотическим движениеммельчайшихчастиц,размерыкоторых соизмеримы с длиной свободного пробега газовых молекул и которые поэтому оказываются под неуравновешенными ударами последних. Чем интенсивнее такое хаотическое движение частицы и чем ближе ее среднее положение к поверхности слизистой, тем выше вероятность ее соударения с этой поверхностью и отложения на ней. Частицы размером 10-15 мкм эффективно оседают в верхних воздухоносных путях; размером 5-10 мкм - в крупных нижних воздухоносных путях; частицы меньшего размера - в мелких нижних воздухоносных путях [69]. В верхних и крупных нижних воздухоносных путях эффективен механизм инерционного оседания (для крупных частиц), в более мелких бронхах - гравитационной седиментации (для крупных и средних), в респираторном отделе и альвеолах - диффузионный механизм оседания. При моделировании движения газовзвеси в дыхательных путях обычно используют лагранжев подход для описания движения частиц более 5 мкм в верхних и крупных нижних воздухоносных путях. Лагранжев подход также используют при моделировании доставки лекарственных средств, аэрозолей, которые способны повлиять на поток несущей фазы. Эйлеров подход обычно используют для описания поведения более мелких частиц в респираторном отделе и альвеолах под действием броуновской силы, где инерция частиц незначительна [51]. Концептуальная постановка Вдыхаемый атмосферный воздух представим многокомпонентной (гомогенной) смесью газов (несущая фаза), в которой присутствуют твердые частицы (несомая фаза). С точки зрения решения задач по оценке рисков здоровью актуально рассмотрение концентрации взвешенных частиц (PM - weighted particulate matter) диаметром менее 10 мкм (PM 10), при этом особое внимание уделяют частицам диаметром менее 2,5 мкм (PM 2,5). Предельно допустимое содержание PM 10 и PM 2,5 в атмосферном воздухе определяется действующими в РФ гигиеническими нормативами для общих взвешенных веществ [5]. Предотвращение острого влияния за короткий период (до 20 мин) атмосферных загрязнений на здоровье обеспечивается соблюдением норматива предельно допустимых максимально разовых концентраций ()( = 0,3 мг/м3; мг/м3), хронического влияния - предельно допустимых среднесуточных концентраций ( мг/м3; мг/м3). Объемная доля несомой фазы много меньше несущей фазы и составляет около 2·10-7 (при уровне предельно допустимых концентраций). Несущая фаза описывается моделью вязкой жидкости; твердые частицы являются отдельными включениями различного размера, для которых записываются отдельные уравнения; полагается, что твердые частицы имеют сферическую форму. Предполагается, что между фазами обмен массы не происходит. Твердые частицы распределяются по размеру по нормальному закону распределения в интервале от 0 до 10 мкм. В верхних воздухоносных путях вдыхаемый воздух нагревается,в данной статье используется гипотеза, что на входе в трахею температура воздуха составляет 36,6 °C, теплообмен в нижних воздухоносных путях не происходит. Дыхание является нестационарным процессом, движение воздуха осуществляется за счет разности давлений между атмосферой и легкими. У здоровых людей внутриальвеолярное давление при спокойном дыхании изменяется на 1 см вод. ст. (98 Па) [27]. Один цикл дыхания (вдох - выдох) у человека в среднем занимает 4 с. На входе в трахею во время всего процесса дыхания задается давление, равное атмосферному . Давление на выходе из системы бронхов равно давлению на входе в легкие и изменяется по периодическому закону. Давление на выходе из бронхов, , Па, изменяется по периодическому закону , (1) где t - время, с. В начальный момент времени (t = 0) давление однородно и равно атмосферному, скорость течения воздуха равна нулю. В сечениях входа и выхода касательные составляющие вектора напряжения равны нулю. Амплитуда изменения давления на выходе из системы бронхов составляет 98 Па. Время с 0 до 2 с соответствует фазе вдоха. При t = 1 с достигается наименьшее давление в легких (101 325 - 98 = 101 227 Па). Момент времени t = 2 является концом вдоха. Время от 2 до 4 с соответствует фазе выдоха. Предполагается, что стенки бронхов покрыты высоковязким слоем, не проницаемым для газа, при контакте с которым твердые частицы гасят скорость и останавливаются. Для рассмотрения оседания взвешенных частиц в воздухоносных путях будем рассматривать только фазу вдоха. Механизмы самоочищения бронхов и легких от твердых частиц в рамках данной статьи не учитываются. Рассматривается движение газовзвеси в крупных нижних воздухоносных путях (первые четыре генерации, начиная с трахеи). Трехмерная геометрия первых четырех генераций нижних дыхательных путей была воссоздана на основе известных литературных данных [1, 2, 10, 13, 17, 22] и консультаций специалистов - практикующих врачей. На рис. 1 представлены воссозданная трехмерная геометрия воздухоносных путей в аксонометрии (вид спереди), а также обозначения областей и их границ. Трехмерная геометрия была создана с использованием универсального CAD-редактора AnsysDesignModeler. z y 0 25 50 75 100 мм Рис. 1. Трехмерная геометрия воздухоносных путей в аксонометрии (вид спереди) Математическая постановка Первая (основная, несущая) фаза представляет собой воздух, другие фазы - твердые частицы различного размера. Для несущей фазы запишем уравнения сохранения массы и импульса (j = 1): , (2) , , (3) где - плотность несущей фазы, кг/м3; - скорость материальных частиц несущей фазы, м/с; - поле тензора напряжений Коши для несущей фазы, Па; - вектор, характеризующий интенсивность внешних массовых сил (на единицу массы) (ускорение свободного падения), м/с2; - радиус-вектор, - внутренность области, - граница области , - замкнутая область, - время, - верхняя граница изменения временной переменной; - слагаемое, описывающее интенсивность обмена импульсом между первой и j-й фазами, Н/м3. Скорость перемещения центров масс частиц (несомой фазы) определяется как (): . , (4) Движение частиц (несомой фазы) описывается уравнением , ,, , , (5) где - масса j-й частицы, кг, - плотность j-й частицы, кг/м3; - скорость центров масс j-й частицы, м/с; - радиус-вектор центра масс j-й частицы; - сила тяжести (), (кг∙м)/с2; - сила, обусловленная воздействием обтекающего воздуха, (кг∙м)/с2, определяемая по соотношению , (6) где - коэффициент сопротивления, определяемый для сферических частиц по соотношениям [57] (7) , (8) где Re - критерий Рейнольдса. Слагаемые в уравнении (3) являются распределенными силами (Н/м3), характеризующими механическое межфазное взаимодействие между газом и твердыми сферами. Для определения распределенных сил вводится представительный скользящий объем (ПО) для газа, которым в каждый момент времени сканируется исследуемая область; в каждом положении ПО определяются частицы, попадающие в него, геометрически суммируются силы, действующие на газ со стороны частиц (обратные силам (6)), делятся на объем ПО, результат приписывается к геометрическому центру ПО. Обобщенное решение реализуется с помощью метода конечных элементов, в качестве представительного объема используются конечные элементы. На момент начала шага по времени в каждом элементе проводится суммирование сил межфазного взаимодействия по всем частицам, попавшим в этот объем. Полученный результат (с обратным знаком) делится на объем элемента, определяется распределенная по объему сила (однородная по элементу). Для определения сил в узлах полученная нагрузка суммируется с силами тяжести. Представим тензор напряжений в виде суммы шаровой и девиаторной составляющих: , (9) где - давление несущей фазы; - единичный тензор; - девиаторная часть тензора напряжений Коши несущей фазы, которую можно записать в виде , (10) где - сдвиговая вязкость несущей фазы. В нормальных условиях (при давлении, близком к атмосферному, и температуре, близкой к температуре тела) шаровая составляющая тензора напряжений с большой точностью описывается законом вида ,, , (11) где - универсальная газовая постоянная,- температура смеси. Начальные условия имеют вид ,, , (12) Граничные условия для несущей фазы таковы (13) (14) ,. (15) На стенке воздухоносных путей (границе Г) задается условие прилипания твердых частиц: ,,,, , (16) где - вектор скорости стенки воздухоносных путей. Иначе говоря, если относительная (относительно точки стенки воздухоносного пути) скорость движения частицы составляет тупой угол с внешней нормалью к стенке пути, то фиксируется точка оседания частицы, а сама частица выводится из числа движущихся. Результаты Рассматривается движение воздуха, содержащего взвешенные частицы оксида алюминия диаметром менее 10 мкм (PM 10), в нижних воздухоносных путях человека. Взвешенные частицы, поступающие ингаляционным путем, оказывают негативное влияние на состояние дыхательной и сердечно-сосудистой системы. Алюминий при хроническом воздействии способен вызывать заболевания центральной нервной системы, оксид алюминия приводит к заболеваниям органов дыхания и нарушениям массы тела [21]. Взвешенные частицы оксида алюминия встречаются в воздухе рабочей зоны предприятий, осуществляющих деятельность по добыче, подготовке и обогащению руд цветных металлов, содержащих алюминий, производству изделий из алюминия и алюминийсодержащих сплавов, а также в атмосферном воздухе населенных мест вокруг расположения данных предприятий. Исследуется содержание взвешенных веществ PM 10 во вдыхаемом воздухе на уровне норматива предельно допустимых среднесуточных концентраций, который составляет 0,06 мг/м3. Часть взвешенных частиц оседает в верхних воздухоносных путях и не достигает трахеи. Для определения концентрации взвешенных частиц, достигших входа в трахею, были использованы результаты, полученные с помощью модели ICRP Международного комитета радиационной защиты [41]. С учетом принятого поправочного коэффициента концентрация взвешенных частиц в сечении входа в трахею принята равной 0,027 мг/м3. Взвешенные частицы задаются через грани эйлеровых конечных элементов в сечении входа. Твердые частицы вводятся равномерно в центрах каждой площадки. На всех границах используется распределение диаметров частиц по нормальному закону от 0 до 10 мкм (среднее значение диаметра частиц равно 5 мкм, стандартное отклонение распределения равно 5) по каждой площадке. Скорость частиц в сечении входа совпадает со скоростью несущей фазы. На входе в трахею задается суммарный массовый расход всех вводимых частиц исходя из скорости несущей фазы, площади трахеи и концентрации взвешенных частиц. Расчеты нестационарного течения воздуха (многокомпонентной смеси с твердыми частицами) в крупных воздухоносных путях выполнены с использованием программного продукта ANSYS CFX. Построение трехмерной геометрии воздухоносных путей подробно описано в предыдущей статье авторов [3]. Получены параметры течения газовой смеси с твердыми частицами диаметром менее 10 мкм во время вдоха. На рис. 2 представлены поля скоростей и траектории движения твердых частиц во время вдоха в различные моменты времени (0,5; 1; 1,5; 2 с). Скорость течения воздуха при вдохе плавно увеличивается до середины вдоха (момента t = 1 c). При t = 1 c наблюдается наибольшая скорость течения воздуха, что обусловлено наибольшим градиентом давления между входом в трахею и входами в легкие. Максимальная скорость наблюдается в левом долевом бронхе и составляет 17,28 м/с (при t = 1 c). Скорость течения воздуха во время вдоха на входе в трахею достигает 7,07 м/с. В целом по мере уменьшения диаметра воздухоносных путей снижаются скорости течения воздуха. Это объясняется тем, что суммарная площадь сечений на входе в легкие больше площади поперечного сечения трахеи. Наименьшая скорость а б в г Рис. 2. Поле скорости течения газа и траектории твердых частиц в различные моменты времени: а - 0,5 с; б - 1 с; в - 1,5 с; г - 2 с наблюдается в сегментарных бронхах. В местах сужения и ветвления происходит увеличение скоростей течения воздуха. Черными линиями на рис. 2 отмечены траектории движения твердых частиц в респираторном тракте в различные моменты времени. На рис. 3 представлены траектории частиц в зависимости от их размера (красным цветом отмечены крупные частицы, синему цвету соответствуют более мелкие частицы). Для частиц большего размера и массы (5-10 мкм) характерен инерционный механизм оседания, данные частицы оседают в трахее и главных бронхах, частицы размером 2,5-5 мкм - в долевых бронхах, частицы размером менее 2,5 мкм способны проникать более глубоко в воздухоносные пути и легкие человека. Попадая в легкие, взвешенные частицы способны в них накапливаться и оказывать негативное влияние на состояние здоровья человека, способствовать появлению заболеваний. Результаты, полученные с помощью подмодели движения воздуха в крупных нижних воздухосносных путях человека, являются входной информацией для моделирования движения газовзвеси в легких человека. Кроме того, полученные результаты могут быть использованы для решения задач по оценке риска здоровью человека от действия взвешенных частиц, осевших в нижних воздухоносных путях человека. Заключение Таким образом, с использованием разработанной модели мезоуровня дыхательной системы человека рассмотрено многофазное нестационарное течение смеси газов и твердых частиц размером менее 10 мкм, а также оседание взвешенных частиц в первых четырех генерациях крупных нижних воздухоносных путях человека, начиная с трахеи. Расчеты параметров течения были выполнены с использованием программного продукта ANSYS CFX. Получены параметры течения газовой смеси с твердыми частицами, приведены поля скоростей и траектории движения твердых частиц различных размеров во время вдоха в различные моменты времени. Дальнейшее развитие модели предполагает совместное решение задач газодинамики в дыхательных путях человека и распространения воздуха в упругодеформируемой насыщенной пористой среде легких человека. Кроме того, детального рассмотрения требует исследование течения воздуха в верхних воздухоносных путях; газообмена через альвеолярно-капиллярную мембрану; взаимодействия дыхательной системы с другими органами и системами человеческого организма (сердечно-сосудистой, нервной, костно-мышечной); механизмов накопления функциональных нарушений при ингаляционном поступлении химических веществ с вдыхаемым воздухом. Соответствующие подмодели в настоящее время находятся в стадии разработки, полученные результаты составляют предмет последующих публикаций авторов.

About the authors

P. V Trusov

N. V Zaitseva

M. Yu Tsinker

A. V Babuskina

References

Statistics

Views

Abstract - 61

PDF (Russian) - 17

Refbacks

• There are currently no refbacks.