Full Text

Введение Исследования последних лет, основанные на данных Всемирной организации здравоохранения и отечественных авторов, свидетельствуют о высоком уровне распространенности частичного отсутствия зубов и динамике его роста [3, 5, 17-19, 25, 27, 39, 43]. Основной причиной потери зубов являются кариес и его осложнения. Но замещение дефектов протезами ведет к деформации зубных рядов, нарушению их окклюзионных взаимоотношений, перепрограммированию функций мышц и височно-нижнечелюстного сустава, формированию трудноизлечимых, а порой неизлечимых заболеваний зубочелюстного аппарата. В стоматологической практике несъемные зубные протезы являются самыми распространенными ортопедическими конструкциями для замещения включенных дефектов зубных рядов [13]. Однако при их использовании достаточно часто возникают поломки [33, 36], обусловленные врачебными ошибками прогнозирования результатов лечения из-за необоснованного выбора опорных зубов, конструкции протеза, технологии изготовления и конструкционного материала. Для снижения риска разрушения и прогнозирования влияния установленного протеза на твердые и мягкие ткани широко применяются численные методы, в частности, метод конечных элементов [6, 22, 23, 30, 35, 36, 38, 40, 46, 48]. Метод конечных элементов позволяет оценить максимальные нагрузки, которые выдерживает изделие, напряжения и деформации, возникающие в протезе и окружающих тканях. Такой подход дает возможность еще на стадии проектирования выбрать наилучший вариант конструктивного исполнения, соответствующий биомеханическим требованиям, сократив тем самым ресурсы и предотвратив возможные усложнения после имплантации. Результат численного исследования напряженно-деформированного состояния конструкций зависит от многих аспектов. Важными шагами являются редукция исследуемого нативного объекта до адекватного модельного представления и интерпретация нагрузок, действующих на биомеханическую систему. В первом случае речь идет о выборе геометрии исследуемой области и представлении механических свойств материалов, из которых эта система состоит. Многие задачи биомеханики зубочелюстного аппарата успешно решаются в двумерной (плоской) постановке [8-10, 21, 22, 32, 35, 38, 40]. Несмотря на определенные допущения и ограничения, накладываемые сведением трехмерных систем к двумерным, решение плоских задач имеет ряд преимуществ [30]: качественная густая сетка, уменьшение времени решения задачи, возможность получения быстрых результатов на нескольких моделях. Это особенно ценно в задачах, где требуется оценить влияние одного или нескольких параметров на другие или на отклик системы в целом. Выбор двумерной схемы хорошо согласуется с экспериментальными результатами [22], а полученные решения плоских задач соответствуют решениям, аналогичным трехмерным в исследуемом сечении. Решение задач в трехмерной постановке дает более полную картину деформирования системы, но априори имеет большую размерность и требует значительных вычислительных мощностей для получения адекватного интерпретируемого результата [30]. Сложившаяся на данный момент культура и методология решения задач биомеханики зубочелюстного аппарата с использованием численных методов позволяет говорить о применимости линейно-упругих моделей мягких (пульпа, периодонт) и твердых (эмаль, дентин, кортикальная, альвеолярная и губчатая кости) тканей. При численной оценке прочности протезов доминирует использование статического анализа, применяющегося в случаях не зависящей от времени, медленно меняющейся нагрузки, действующей на биомеханическую систему [30, 32, 35, 40]. Однако исследования показывают, что жевательные нагрузки, воспринимаемые конструкцией протеза и окружающими тканями, изменяются с течением времени [46], возбуждая в системе колебательные процессы, а отклик зависит не только от значения действующей силы, но и от демпфирующих характеристик [16]. Актуальной становится задача исследования напряженно-деформированного состояния мостовидного зубного протеза методом конечных элементов с учетом временной зависимости силы, сопоставление с результатами статического анализа. Расширение возможностей математического инструментария позволит оценить динамический отклик и напряженно-деформированное состояние системы, выявить закономерности, присущие исследуемым процессам и в дальнейшем сформулировать требования, предъявляемые к проектируемому изделию. Несмотря на большое число работ, посвященных биомеханике зубочелюстной системы, очень малая часть из них посвящена исследованию динамических процессов. Так, в работе [45] на примере титанового дентального имплантата был численно проведен модальный анализ и показано, что характеристики динамического отклика системы зависят от времени действия импульса. В исследовании [16] численно изучался отклик системы, состоящей из резца верхней челюсти и окружающих тканей, при действии сосредоточенной силы, изменяющейся по синусоидальному закону в течение 8 мс. Показано, что демпфирующие свойства системы влияют на напряжения, возникающие в зубе, а максимальные динамические напряжения меньше статических напряжений. В то же время в работе [47] на примере титанового дентального имплантата показано, что динамические напряжения, возникающие в имплантате, выше статических. Определение собственных частот и форм колебаний сегментов верхней челюсти, а также зависимость собственных частот от модуля упругости периодонта и введения демпфирования подробно изложено в [24]. Подход к идентификации динамических нагрузок, действующих на мостовидные протезы двух исполнений при жевании, представлен в [46]. Влияние толщины окружающей зуб кости на резонансную частоту описан в [15]. Анализ отечественных и зарубежных работ обнаруживает недостаток освещения методов динамического анализа применительно к расчету мостовидных зубных протезов и дентальных протезов в целом. В то же время выстроенный аппарат теории механических колебаний [1, 4] позволяет предположить, что в мостовидных зубных протезах при определенных условиях нагружения могут возникать колебательные, близкие к резонансным, режимы. Игнорирование динамической природы сил, действующих на биомеханическую систему, может повлечь разрушение протеза раньше прогнозируемого срока. Следствием этого являются не только повторная операция, сопряженная с финансовыми затратами, но и травмы мягких тканей зуба, стресс и дискомфорт пациента. В ряде работ при оценке напряженно-деформированного состояния зубных протезов и окружающих тканей влияние пульпы на распределение деформаций, напряжений и энергии не учитывается [6, 10, 24, 46, 48]. Несмотря на известные в медицине и биологии функции пульпы, ее механические функции остаются малоизученными. Например, в работе [14] утверждается, что пульпа играет роль естественного амортизатора зуба без приведения количественных оценок. Настоящая работа является первым этапом на пути создания методологии проектирования и расчета зубных протезов, в которой устанавливается связь между результатами статического и динамического анализа, формулируются условия применимости каждого из видов анализа. Количественно характеризуется вклад пульпы в демпфирование вынужденных колебаний биомеханической системы. Задача решается в плоско-деформированной постановке на примере мостовидного зубного протеза, сделанного из полиметилметакрилата, широко использующегося в качестве материала для дентального протезирования благодаря хорошей биосовместимости и адгезии, отсутствию вкусовых свойств и нерастворимости в биологических жидкостях (кровь, слюна) [41]. На основании результатов экспериментального исследования керамического мостовидного зубного протеза схожей конструкции проводится верификация численной модели. Сопоставляются результаты статического и динамического анализа. Количественно характеризуется влияние пульпы на напряженно-деформированное состояние протеза и демпфирующие свойства биомеханической системы в целом. Методы и материалы Теоретические сведения Разрешающее уравнение метода конечных элементов при решении статических задач имеет вид [2] (1) где - матрица жесткости, - вектор узловых перемещений, - вектор узловых сил. Это классическое уравнение применяется при решении задач, когда силы, действующие на систему, не зависят от времени, т.е. постоянны, или являются медленно меняющимися функциями времени. Из теории колебаний [2, 4] известно, что при стремлении частоты возбуждающей силы к собственной частоте колебаний системы амплитуда колебаний увеличивается. Если сила действует в течение короткого интервала времени, сопоставимого с периодом свободных колебаний системы, то в системе могут возникать колебательные процессы. Уравнение движения системы с конечным числом n степеней свободы в векторно-матричной форме записи имеет вид [1, 46] (2) где - векторы узловых перемещений, скоростей и ускорений, , и - матрицы масс, диссипации и жесткостей соответственно, - векторы узловых перемещений и скоростей в начальный момент времени Установлено [16, 24], что демпфирование оказывает значительное влияние на динамическое поведение зубочелюстных систем. Если распределение сил трения в системе заведомо не известно, то общепринятым [1, 12, 24, 46] является использование модели Рэлея (пропорциональное демпфирование), компоненты в которой определяются следующим образом: (3) Коэффициенты и отвечают за демпфирование низкочастотных и высокочастотных форм соответственно. Для -й формы колебаний параметры и связаны через безразмерный коэффициент демпфирования следующим соотношением: (4) где - круговая собственная частота -й формы колебаний в системе без учета демпфирования. Известно [16], что коэффициенты в задачах биомеханики зубочелюстного аппарата могут принимать значения от 0,091 до 0,24. По итогам модального анализа определяются n собственных форм колебаний, суммарно задействующих более 90% общей массы системы. Для задания используется методика, предложенная в работе [12]. Выражения для коэффициентов матрицы диссипации в модели Рэлея выражаются следующим образом: (5) (6) Для энергетической оценки демпфирующих свойств системы введем параметр, равный отношению энергии, рассеиваемой за один период колебаний, к максимальной упругой энергии - коэффициент поглощения [1]: (7) В этом выражении - значения потенциальной энергии упругой деформации для первого и второго периода колебаний соответственно. Коэффициент поглощения позволяет оценить, насколько существенно демпфирующие параметры системы влияют на процесс затухания колебаний. Геометрия модели Объект исследования представлен мезиодистальным сечением участка нижней челюсти, зубного ряда и мостовидного протеза, включающего опорные искусственные коронки на первый премоляр и первый моляр, промежуточную часть - фасетку (недостающий второй премоляр), кортикальную и губчатую кости, периодонт и пульпу (рис. 1). Геометрия зубов получена по результатам компьютерной томографии с последующим воссозданием трехмерных моделей. Рис. 1. Геометрия модели, нагрузка и граничные условия Высота в сечении премоляра составляет 21 мм (6,19 мм - коронка, 14,81 мм - корень), моляра - 20,38 мм (6,19 мм - коронка, 14,19 - корень). Длина мостовидного протеза - 31 мм, толщина шейки - 5,4 мм, радиусы скруглений шейки - 0,4 мм. Толщина периодонта равномерна по длине корня зуба и составляет 0,3 мм [28, 29]. Толщина кортикального слоя также постоянна по длине корня зуба и равна 1,5 мм для премоляра и 2 мм для моляра [11, 20, 37]. Нагрузки и граничные условия Для решения задачи определения напряженно-деформированного состояния протеза в статической и динамической постановках к бугорку на окклюзионной поверхности фасетки приложена сосредоточенная сила [40, 46] F = 50 Н (см. рис. 1). При статическом расчете сила линейно возрастает от 0 до 50 Н. При решении динамической задачи сила линейно возрастает от 0 до 50 Н в течение времени , после чего линейно убывает со значения 50 Н до нуля за то же время . Так как длительность действия нагрузки на зубы и протез может измеряться сотыми [46], тысячными [16] и десятитысячными [45] долями секунды, исследовался отклик модели при с, с, с, с, с. На границы расчетной области наложены кинематические граничные условия [22, 42]. Задача экспериментальной верификации решалась в статической постановке, исходные данные приведены [48]. Конечно-элементная модель Задача решалась в плоско-деформированной постановке [8-10, 21, 22, 32, 35, 38, 40]. Разбиение модели на конечные элементы и численное решение проводилось в программном пакете ANSYS. Для определения числа конечных элементов, в полной мере отражающих процесс распределения нагрузок в системе и динамический отклик при действии возбуждающей силы, проведен тест на сходимость значений эквивалентных (по Мизесу) напряжений от числа элементов [23]. После проведения теста на сходимость окончательное число 6-узловых [32] элементов PLANE183 составило 63 289 (рис. 2). а в а б б в Рис. 2. Конечно-элементная модель (а, б, в - области сгущения сетки) Размер элементов на окклюзионной поверхности и в областях скруглений шейки - 0,005 мм. Качество сетки контролировалось средними значениями параметров Element quality = 0,94, Skewness = 9,58∙10-2 и Orthogonal quality = 0,94. Толщина слоя цемента между мостовидным протезом и поверхностями препарированных зубов считалась незначительной и в расчетах не учитывалась [6]. Материалы протезов, твердые и мягкие ткани нижней челюсти в процессе моделирования предполагались однородными, изотропными и линейно-упругими [47, 48]. Механические свойства материалов взяты из [7, 26, 34, 48] и представлены в таблице. Механические свойства материалов Материал Модуль Юнга Е, МПа Коэффициент Пуассона µ Плотность ρ, кг/м3 Кортикальная кость 12 200 0,26 1100 Губчатая кость 1220 0,31 270 Дентин 18 600 0,31 203 Пульпа 2 0,45 95 Периодонт 70 0,45 135 Полиметилметакрилат 3000 0,38 1190 Керамика 15 600 0,28 - Результаты Тест на сходимость решения Результаты теста на сходимость решения представлены на рис. 3. Из графика видно, что выбранная конфигурация сетки обеспечивает незначительное расхождение в результатах (менее 1%) по сравнению с результатами, полученными на сетке с большей густотой. Рис. 3. Результаты теста на сходимость напряжений в локациях протеза от числа элементов сетки Экспериментальная верификация Результаты экспериментальной верификации представлены на рис. 4. Рис. 4. Результаты экспериментальной верификации двухмерной модели: а - зависимость «перемещение - сила», воспроизведенная по результатам работы [48]; б - расхождение в результатах Видно, что максимальное расхождение перемещений составляет менее 8%. Меньшие значения перемещений объясняются тем, что рассматриваемый протез имеет увеличенную толщину шейки (5,4 мм против 4,08 мм) по сравнению с аналогом из работы [48]. Таким образом, можно говорить о правомерности применения двумерной постановки для рассматриваемого класса задач. Статический анализ При решении задачи как в статической, так и в динамической постановке максимальные эквивалентные напряжения в протезе возникают на окклюзионной поверхности и в области скругления шейки ближе к моляру (рис. 5). а Рис. 5. Области максимальных эквивалентных напряжений в протезе, МПа (а, б - области наибольших эквивалентных напряжений) В модели с учетом пульпы максимальные эквивалентные напряжения на окклюзионной поверхности составили 58,5 МПа, в шейке - 44,1 МПа. В модели без учета пульпы - 58,6 и 44,2 МПа соответственно. Перемещения точки приложения силы в модели с учетом пульпы - 0,0943 мм, без учета пульпы - 0,0949 мм. Различие между величинами составляет менее 1%, что свидетельствует о применимости упрощенной модели (без учета пульпы) при выполнении статических расчетов в задачах проектирования зубных протезов. Динамический анализ По результатам модального анализа установлено, что влияние демпфирования и учета пульпы на первую собственную частоту несущественно. Значение первой собственной частоты равно Гц. Таким образом, период свободных колебаний, соответствующий равен c. Поэтому случай с также был проанализирован. Для модели с пульпой число первых собственных форм колебаний, суммарно задействующих более 90% общей массы системы, равно 28. Для модели без учета пульпы - 23. Для модели с пульпой коэффициенты для модели без учета пульпы - Графики перемещений точки приложения силы представлены на рис. 6 (здесь и далее: на всех графиках синий цвет соответствует модели с пульпой, оранжевый - без пульпы). Из графиков видно, что ярко выраженный затухающий колебательный процесс имеет место при кратковременных воздействиях на систему. В случае с нагружение можно считать статическим, без возникновения в системе колебательных процессов, поэтому соответствующие графики не приводятся. Графики максимальных эквивалентных напряжений, возникающих на окклюзионной поверхности и в шейке, представлены на рис. 7 и 8 соответственно. В модели с учетом пульпы перемещения и максимальные напряжения ниже, чем в модели без учета пульпы, а скорость затухания колебаний в первом случае значительно выше. Анализ зависимостей перемещений и напряжений позволяет сделать вывод о том, что пульпа обладает энергопоглощающей функцией и выступает природным демпфером в зубочелюстном аппарате. Амплитудные значения перемещений и напряжений для первого колебания (являющиеся максимальными) в моделях с учетом и без учета пульпы различаются не более чем на 3%. В случае, когда с, максимальные напряжения на окклюзионной поверхности достигают предела текучести (для полиметилметакрилата предел текучести при растяжении составляет 65 МПа). Именно в этой области будет происходить стирание материала. Важно отметить, что при с в системе начинают накапливаться пластические деформации, а на окклюзионной поверхности возникает чередование областей наибольших напряжений в зависимости от амплитудных положений фасетки зубного протеза. Этим обусловлен вид зависимости на рис. 7, б. Коэффициент поглощения энергии На рис. 9 показаны значения коэффициента поглощения в зависимости от длительности действия силы F. Из графика следует, что пульпа может поглощать до 30% накопленной за первый цикл колебаний энергии. Для случаев с предполагалось, что происходит полное рассеивание накопленной энергии, поэтому Рис. 6. Перемещения точки приложения силы при: а - с; б - с; в - с. Знак «минус» соответствует перемещению точки вниз Рис. 7. Максимальные эквивалентные напряжения на окклюзионной поверхности протеза при: а - с; б - с; в - с Рис. 8. Максимальные эквивалентные напряжения на скруглениях шейки протеза при: а - с; б - с; в - с Рис. 9. Значения коэффициента поглощения энергии при разных режимах нагружения Сравнение результатов статического и динамического анализа На рис. 10 представлены зависимости амплитудных значений перемещений и напряжений для исследуемых режимов нагружения в моделях с учетом и без учета пульпы. В случаях, когда время действия силы c, динамические перемещения и напряжения стремятся к статическим. При значении с динамические перемещения и напряжения значительно меньше статических. При стремлении длительности действия силы к периоду свободных колебаний, соответствующих первой собственной частоте, наблюдается возрастание амплитудных значений динамических перемещений до 0,12 мм, напряжений - до 65 и 55 МПа соответственно. Таким образом, динамические напряжения могут превышать статические на 11%, достигая предела текучести материала. Выводы При решении задач биомеханики зубочелюстного аппарата с применением численных методов очень важно грамотно интерпретировать условия, в которых функционирует протез in vivo. Это определяет методику, инструментарий решения сформулированной модельной задачи и, как следствие, результат. В работе показано, что использование динамического анализа при оценке напряженно-деформированного состояния мостовидного зубного протеза в случаях действия кратковременных сил помогает глубже понять природу и назначение отдельных звеньев биомеханической системы. Так, установлено, что пульпа играет роль естественного демпфера, гасителя вынужденных колебаний в системе, что позволяет избежать дислокации корней зубов, которые могут привести к травме периодонта. Кроме того, показано, что важным этапом при проектировании мостовидных зубных протезов и имплантатов в целом является проведение модального анализа с целью определения собственных частот и резонансных режимов. Изменяющиеся во времени жевательные нагрузки, действующие на зубной протез, могут привести биомеханическую систему в колебательное движение с амплитудными значениями напряжений, близкими и достигающими предела текучести. Таким образом, оценка напряженно-деформированного состояния протеза под действием статических сил может быть заниженной, так как такой подход не учитывает всего спектра физиологических нагрузок. Рис. 10. Максимальные амплитудные значения при разных режимах нагружения: а - перемещения; б - напряжения на окклюзионной поверхности; в - напряжения в скруглениях шейки

About the authors

A. E Krupnin

Y. N Kharakh

L. G Kirakosyan

S. D Arutyunov

References

Statistics

Views

Abstract - 135

PDF (Russian) - 56

Refbacks

• There are currently no refbacks.