Full Text

Хорошо известно, что в результате проведения подземных выработок на земной поверхности образуется чашеобразная впадина, вызванная перемещением грунта в выработанное пространство. Поперечное сечение этой впадины, проведенное в нормальном по отношению к простиранию выработки направлении, имеет седлообразную форму. Это подтверждается многочисленными результатами теоретических исследований и натурных наблюдений [1-7] (рис. 1). Поэтому здания и сооружения, построенные на подрабатываемых территориях, испытывают дополнительные вертикальные и горизонтальные перемещения, учет которых необходим при проведении расчетов, связанных с оценкой исходного (существующего на момент начала проектирования) напряженно-деформированного состояния грунтовых оснований. Таким образом, расчет оснований сооружений по деформациям (по второй группе предельных состояний) является в этих условиях обязательным в соотвтетствии со CНиП 2.01.09-2010 «Здания и сооружения на подрабатываемых территориях и просадочных грунтах». Экспериментально установлено [8], что деформации грунтов под фундаментами развиваются преимущественно в верхней зоне основания, поэтому для анализа напряженно-деформированного состояния оснований сооружений могут быть применены расчетные модели, основанные на решениях задач теории упругости [9-13]. Широкое распространение в механике грунтов получила модель линейно-деформируемой среды, в рамках которой проводится анализ напряженно-деформированного состояния грунтовых массивов методами линейной теории упругости [14-16]. а б в г Рис. 1. Ширина зоны влияния строительства коммуникационного тоннеля (а) [3]; мульды оседания земной поверхности поперек простирания пласта (б) [4]; результаты прогноза оседания земной поверхности (в) [6]; графики оседания земной поверхности над квадратной выработкой размером 8´8 м, отработанной на глубине 20 м (г) [7] Fig. 1. The width of the zone of influence of construction of the communication tunnel (a) [3]; of the mould subsidence of the earth's surface across the strike of the reservoir (b) [4]; the results of prediction of subsidence of the earth's surface (c) [6]; the plots of subsidence of a terrestrial surface over a square production 8´8 m of waste at a depth of 20 m (d) [7] Если известна форма поперечника мульды оседания и представляется возможным аппроксимировать граничную линию некоторой функцией, то для отыскания напряженно-деформированного состояния грунтового массива можно воспользоваться одним из наиболее эффективных методов решения задач двумерной теории упругости, которым является метод комплексных потенциалов Г.В. Колосова - Н.И. Мусхелишвили [17, 18], основанный на применении аппарата теории функций комплексного переменного. Как отмечено выше [1-7], деформации земной поверхности, вызываемые горными выработками, представляют собой кривые, концы которых лежат на границе полуплоскости. Это означает, что перемещения на концах участков деформирования отсутствуют. В данной работе полагаем, что перемещения носят асимптотически затухающий характер, что, по нашему мнению, позволит провести более детальный анализ напряженно-деформированного состояния полуплоскости для ряда прикладных задач механики грунтов, связанных с учетом перемещений участков границы полуплоскости. Примеры решения таких задач рассмотрены в наших работах [19-22]. В данной статье в рамках модели линейно-деформируемой среды рассмотрена задача о распределении напряжений в грунтовом массиве при асимптотически затухающем перемещении участка границы на основе решения второй основной граничной задачи плоской теории упругости для полуплоскости, полученного Н.И. Мусхелишвили. Согласно работе [18, с. 353] граничное условие для второй основной задачи плоской теории упругости в случае полуплоскости имеет вид или где - граничные значения функций голоморфных в нижней полуплоскости; и - упругие постоянные, причем , где коэффициент Пуассона, связанный с коэффициентом бокового давления соотношением . Решение задачи дают формулы для функций напряжения и полученные Н.И. Мусхелишвили [18, с. 354, 355], при этом (1) (2) Пусть отрезок оси подвержен асимптотически затухающему перемещению (3) где b и g - заданные положительные действительные числа; h и l - действительные числа, причем при остальных значениях t будем полагать. Определим напряженное состояние упругой полуплоскости при перемещениях, описываемых законом (3) при всех указанных значениях параметра a. Случай α = 0. Формула (3) принимает вид (4) Заметим, что функция имеет максимум в точке с координатами и, следовательно, значение функции в точке максимума зависит лишь от величины параметра На рис. 2 приведены графики функции описывающие перемещения участка оси при различных значениях параметров, входящих в эти функции. Определим напряженное состояние в нижней полуплоскости. Формулы (1) и (2) с учетом (4) дают Рис. 2. Графики функции : а - при ; б - ; в - Fig. 2. Function graphs : а - at ; b - ; c - Следуя [18, с. 352], под выражением на отрезке будем понимать (5) где (6) (7) Тогда, согласно [19, с. 111], имеем откуда (8) где На рис. 3-5 приведены изолинии компонент напряжения, построенные на основании формул (8) при a = 10, h = l = 1 и n = 0,42 (глинистый грунт). Рис. 3. Изолинии горизонтального напряжения: а - при ; б - ; в - Fig. 3. Horizontal stress contours: a - at ; b - ; c - Рис. 4. Изолинии вертикального напряжения: а - при ; б - ; в - Fig. 4. Vertical stress contours at: a - ; b - ; c - Полагая в формулах (8) получаем при а потом при компоненты напряжения для равномерного вертикального, а затем и горизонтального перемещения рассматриваемого в задаче симметричного участка границы, т.е. Рис. 5. Изолинии касательного напряжения: а - при ; б - ; в - Fig. 5. Shear stress contours: a - at ; b - ; c - (9) (10) Формула (9) приведена в нашей работе [19] и в монографии [20], где использована при решении задачи о вычислении полной осадки основания незаглубленного ленточного фундамента с учетом напряжений, возникающих в грунтовом массиве вследствие смещения нагруженного участка границы. Для определения компонент деформации воспользуемся известными формулами [18, с. 95]: (11) которые после подстановки в них соотношений для компонент напряжений (8) дают (12) Случай α = 1. Формула (3) принимает вид (13) Функция имеет максимум в точке с координатами при. Таким образом, значение функции в точке максимума зависит от параметров и . На рис. 6 приведены графики функции , описывающие перемещения участка оси при различных значениях параметров, входящих в . Рис. 6. Графики функции : а - при ; б - ; в - Fig. 6. Function graphs : a - at ; б - ; в - Перейдем к вычислению компонент напряжения. Согласно [19, с. 111], имеем откуда (14) где На рис. 7-9 приведены изолинии компонент напряжения, построенные на основании формул (14) при и (глинистый грунт). Рис. 7. Изолинии горизонтального напряжения: а - при ; б - ; в - Fig. 7. Horizontal stress contours: a - at ; b - ; c - Рис. 8. Изолинии вертикального напряжения: а - при ; б - ; в - Fig. 8. Vertical stress contours: a - at ; b - ; c - Рис. 9. Изолинии касательного напряжения: а - при ; б - ; в - Fig. 9. Shear stress contours: a - at ; b - ; c - Пусть . Тогда, аналогично предыдущему случаю, на основании формул (14) при условии, что а потом при условии, что получаем (15) (16) Формулы (15) и (16) - компоненты напряжения для линейного вертикального и, соответственно, горизонтального перемещения участка границы оси Они приведены в работах [21, 22]. Используя формулы (11) и компоненты напряжения (14), вычислим компоненты деформации. Имеем (17) Случай α = 2. Формула (3) принимает вид (18) Нетрудно видеть, что перемещение (18) можно представить в виде суммы перемещений вида (4), т.е. (19) Решение задачи для перемещения, заданного формулой (19), можно получить путем сложения компонент напряжения, заданных формулами (8) с формулами (9) и (10), предварительно умножив компоненты напряжения на множители из правой части формулы (19). Кроме того, аналогично можно получить решение задачи о напряженно-деформированном состоянии упругой полуплоскости при перемещении вида (20) В этом случае компоненты напряжения могут быть получены сложением выражений (8)-(10) с формулами (14) после их умножения на соответствующие множители. Заметим, что величины перемещений, вычисленные по формулам (19) и (20), в пределе совпадают с равномерным перемещением вида . Выводы 1. Получены в замкнутом виде выражения для компонент напряжения и компонент деформации второй основной граничной задачи плоской теории упругости для полуплоскости при асимптотическом затухании перемещения на участке ее границы. 2. Частными случаями приведенных решений являются решения задач о напряженно-деформированном состоянии упругой полуплоскости при равномерном и линейном перемещениях участка границы полуплоскости. 3. Суммированием приведенных в статье компонент напряжения и деформации можно получить решение аналогичной задачи при асимптотическом стремлении перемещения к некоторому постоянному значению (равномерному перемещению).

About the authors

A. N Bogomolov

Volgograd State Technical University

O. A Bogomolova

Volgograd State Technical University

A. N Ushakov

Volgograd State Technical University

References

Statistics

Views

Abstract - 158

Refbacks

• There are currently no refbacks.