QUASI SINGULAR CONTROL IN ONE WITH VARIABLE STRUCTURE OPTIMAL CONTROL PROBLEM DESCRIBEDBY THE QOURSAT - DARBOUX SYSTEM

Abstract


We study one optimal control problem with a variable structure described by the Goursat - Darboux system. Under the assumption that the control region is convex, the necessary optimality condition is proved in the form of a linearized maximum condition. The case of degeneration of the linearized maximum condition is considered (a quasi-special case). The necessary optimality conditions for quasi-singular controls are established.

Full Text

Введение Среди задач оптимального управления особое место занимают задачи оптимального управления системами Гурса - Дарбу. Разработка теории необходимых условий оптимальности первого порядка типа принципа максимума начата А.И. Егоровым [1, 2]; в работах О.В. Васильева [3, 4] строится теория особых управлений для таких систем. Обзор работ, посвященных необходимым и достаточным условиям оптимальности, теоремам существования оптимальных решений и скользящим режимам в системах Гурса - Дарбу можно найти в работах [5-20]. На практике многие процессы являются многоэтапными, т.е. имеют переменную структуру [21-25]. Задачи оптимального управления подобными системами называются задачами оптимального управления составными системами [23] или системами с переменной структурой [25]. Ряд задач оптимального управления, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями, исследован в работах [21-25]. Настоящая работа посвящена исследованию одной задачи оптимального управления с переменной структурой, которая описывается системой Гурса - Дарбу. В предположении выпуклости области управления установлено необходимое условие оптимальности в форме линеаризованного условия максимума [26-30]. Далее рассмотрен случай вырождения линеаризованного условия максимума (квазиособый случай [30]). В квазиособом случае найдены необходимые условия оптимальности квазиособых управлений в интегральной форме. При этом используется схема, предложенная и развитая в работах [12, 32-37]. 1. Постановка задачи Предположим, что управляемый процесс описывается системой дифференциальных уравнений гиперболического типа: , (1) (2) с краевыми условиями (3) , (4) , где - n-мерная, а - m-мерная вектор-функции, непрерывные по совокупности переменных вместе с частными производными по третьему и четвертому аргументам до второго порядка включительно; - дважды непрерывно дифференцируемая вектор-функция; , - липшицевы функции, - заданные числа, причем , , - r-мерная, а - -мерная измеримые и ограниченные (в и соответственно) вектор-функции со значениями в заданных непустых, ограниченных и выпуклых множествах и , т.е. (5) Пару , удовлетворяющую приведенным ограничениям, назовем допустимым управлением. Предполагается, что каждому допустимому управлению соответствует единственное абсолютно непрерывное (в смысле [5, 6]) решение краевой задачи (1)-(4). На решениях краевой задачи (1)-(4), порожденных всевозможными допустимыми управлениями, определим терминального типа функционал . (6) Допустимое управление , доставляющее минимум функционалу (6) при ограничениях (1)-(4), назовем оптимальным управлением, а соответствующий процесс - оптимальным процессом. В работе при предположении существовании оптимального управления устанавливаются необходимые условия оптимальности. 2. Специальное приращение критерия качества Предположим, что - фиксированное допустимое управление, а , где - произвольное допустимое управления. Через и обозначим соответствующие им решения краевой задачи (1)-(4). Тогда ясно, что приращение состояния будет решением краевой задачи , (7) (8) , (9) (10) . Через , , обозначим пока неизвестные, n- и m-мерные соответственно вектор-функции. Домножим обе части равенства (7) слева скалярно на и проинтегрируем по области ; аналогично домножим равенство (9) на и проинтегрируем по области . Введя обозначения , , получим (11) (12) Здесь и в дальнейшем штрих обозначает операцию транспонирования. Считая , , достаточно гладкими вектор-функциями и учитывая краевые условия (8), (10), несложно убедиться в справедливости тождеств С учетом (11), (12) и равенства запишем формулу для приращения критерия качества (6) в виде (13) Полагая , и используя формулу Тейлора, из (13) получим (14) Здесь и в дальнейшем - величина более высокого порядка, чем , т.е. при , а есть норма вектора , определяемая формулой . Если предполагать, что , , удовлетворяют соотношениям , (15) , , , (16) , (17) , , , (18) то формула приращения (14) примет вид (19) Краевую задачу (15)-(18) назовем сопряженной системой в задаче оптимального управления (1)-(6). Поскольку множества и выпуклые, то специальное приращение допустимого управления можно определить по формуле (20) где - произвольное число, , а и - произвольные измеримые и ограниченные соответственно r- и q-мерные вектор-функции со значениями в и соответственно. Через обозначим специальное приращение состояния , отвечающее специальному приращению (20) управления . Из оценок, установленных в [1-3, 8, 10], следует, что , (21) , (22) где , - некоторые положительные постоянные. Из (22) с учетом (21) получаем, что , (23) где - некоторое положительное число. Из оценок (21), (23) следует, что и имеют порядок малости . Из краевых задач (7)-(10) получаем, что является решением линеаризованной краевой задачи (24) (25) (26) (27) При помощи (24)-(27) по схеме, аналогичной примененной в работе [30], доказывается: Теорема 1. Для специального приращения состояния имеют место представления (28) где является решением краевой задачи (29) (30) (31) (32) Используя равенства (28) и (20), из формулы приращения (19) получаем: (33) Специальное приращение (33) функционала качества (6) позволяет получить различные необходимые условия оптимальности. 3. Необходимые условия оптимальности Из разложения (33) следует, что вдоль оптимального процесса Отсюда в силу произвольности имеем В последнем неравенстве по очереди полагая и , приходим к следующему утверждению: Теорема 2. Для оптимальности допустимого управления в задаче (1)-(6) необходимо, чтобы выполнялись соотношения: , , (34) , . (35) Соотношения (34), (35) являются аналогом интегрального линеаризованного условия максимума Понтрягина (см. например, [26-29, 31]). Применяя двумерный аналог леммы из [38, с. 8], получаем поточечное линеаризованное условие максимума. Теорема 3. Для оптимальности допустимого управления в задаче (1)-(6) необходимо, чтобы для всех , и , выполнялись неравенства , (36) . (37) Здесь и в дальнейшем - произвольная точка Лебега (или правильная точка, см. [6, 9, 11, 12]) управления . Теперь рассмотрим случай вырождения необходимого условия оптимальности (36), (37). Следуя [30], введем: Определение 1. Допустимое управление назовем квазиособым управлением в задаче (1)-(6), если для всех , и , выполняются соотношения (38) В квазиособом случае из разложения (33) с учетом (38) следует Теорема 4. Для оптимальности квазиособого управления необходимо, чтобы неравенство (39) выполнялось для всех , и всех , . Неравенство (39) есть неявное необходимое условие оптимальности квазиособых управлений. С его помощью удается получить необходимое условие оптимальности, выраженное через параметры задачи (1)-(6). Через обозначим решения матричных интегральных уравнений: , , . . Уравнения (29), (31) являются линейными неоднородными дифференциальными уравнениями гиперболического типа с краевыми условиями Гурса (30), (32) соответственно. Решения краевых задач (29)-(30) и (31)-(32) допускают соответственно следующие представления [39]: (40) (41) Из (41) получим Поскольку последнее соотношение имеет вид (42) Вводя обозначения , и принимая во внимание представление (40), из (42), получаем Далее, используя формулу Дирихле [28], имеем (43) Полагая перепишем формулу (43) в окончательном виде: (44) Представления (40), (44) позволяют вывести необходимые условия оптимальности второго порядка, явно выраженные через параметры задачи (1)-(6). Используя произвольность и , предположим, что . Тогда неравенство (37) примет вид (45) При этом представление (44) примет вид . (46) На основе соотношений (40), (46) доказывается справедливость тождеств: (47) (48) (49) (50) Введя обозначение и учитывая тождества (47)-(50), из неравенства (45) получим (51) Теперь предположим, что , . В этом случае неравенство (37) примет вид (52) где Используя это представление, получим (53) (54) Отметим, что справедливо следующее тождество: (55) Введя обозначение и учитывая тождества (53)-(55), из неравенства (52) получим (56) Таким образом, доказана Теорема 5. Для оптимальности квазиособой экстремали в задаче (1)-(6) необходимо, чтобы неравенства (51) и (56) выполнялись для всех , и соответственно. Неравенства (51) и (56) являются довольно общими интегральными условиями оптимальности квазиособых управлений. Из них при некоторых дополнительных предположениях можно получить ряд легко проверяемых необходимых условий оптимальности квазиособых управлений и, в частности, исследовать квазиособые второго порядка [12, 33-36] управления. Заключение Изучена одна задача оптимального управления с переменной структурой, описываемая системой нелинейных гиперболических уравнений с краевыми условиями Гурса. Применен один вариант метода приращений, на основе которого получено специальное разложение второго порядка функционала качества. С его помощью установлен аналог линеаризованного условия максимума. Рассмотрен случай вырождения линеаризованного условия максимума (квазиособый случай). Установлено необходимое условие оптимальности квазиособых управлений.

About the authors

K. B Mansimov

Institute of Control Systems of NAS Azerbaijan; Baku State University

Sh. Sh Suleimanova

Institute of Control Systems of NAS Azerbaijan

References

  1. Егоров А.И. Об оптимальном управлении процессами в некоторых системах с распределенными параметрами // Автоматика и телемеханика. - 1964. - № 5. - С. 613-623.
  2. Егоров А.И. Оптимальные процессы в системах с распределенными параметрами и некоторые задачи инвариантности // Изв. АН СССР. Сер. Математика. - 1965. - Т. 29, № 6. - С. 1205-1260.
  3. Васильев О.В. Об оптимальности особых управлений в системах с распределенными параметрами // Управляемые системы. - Новосибирск, 1972. - Вып. 10. - С. 27-34.
  4. Васильев О.В. Принцип максимума в теории оптимальных систем с распределенными параметрами // Прикладная математика. - Новосибирск, 1976. - С. 109-138.
  5. Плотников В.И., Сумин В.И. Оптимизация объектов с распределенными параметрами, описываемые системой Гурса - Дарбу // Журн. вычисл. мат. и матем. физики. - 1972. - № 1. - С. 61-77.
  6. Новоженов М.М., Сумин В.И., Сумин М.И. Методы оптимального управления системами математической физики. - Горький: Изд-во Горьков. гос. ун-та, 1986. - 87 с.
  7. Ахмедов К.Т., Ахиев С.С. Необходимые условия оптимальности для некоторых задач теории оптимального управления // Докл. АН Азерб. ССР. - 1972. - № 5. - С. 12-16.
  8. Васильев О.В., Срочко В.А., Терлецкий В.А. Методы оптимизации и их приложения: в 2 ч. Оптимальное управление. - Новосибирск: Наука, 1990. - Ч. 2. - 151 с.
  9. Сумин В.И. Функциональные вольтерровы уравнения в теории оптимального управления распределенными системами: в 2 ч. - Нижний Новгород, 1992. - Ч. 1. - 110 с.
  10. Срочко В.А. Вариационный принцип максимума и методы линеаризации в задачах оптимального управления. - Иркутск: Изд-во Иркут. гос. ун-та, 1989. - 160 с.
  11. Лисаченко И.В., Сумин В.И. Принцип максимума для терминальной задачи оптимизации системы Гурса - Дарбу в классе функций с суммируемой смешанной производной // Вестник Удмуртск. ун-та. Матем.-мех. компьют. науки. - 2011. - № 2. - С. 52-67.
  12. Мансимов К.Б., Марданов М.Дж. Качественная теория оптимального управления системами Гурса - Дарбу. - Баку: ЭЛМ, 2010. - 360 с.
  13. Меликов Т.К. Особые в классическом смысле управления в системах Гурса - Дарбу. - Баку: ЭЛМ, 2003. - 96 с.
  14. Багиров А.М. Некоторые вопросы теории оптимальных скользящих режимов в системах с распределенными параметрами: автореф. дис. … канд. физ.-мат. наук. - Баку, 1982. - 46 с.
  15. Багиров А.М. Многомерная апроксимационная лемма и некоторые ее применения // Деп. в ВИНИТИ АН СССР, № 3431-80. - 46 с.
  16. Матвеев А.С., Якубович В.А. Абстрактная теория оптимального управления. - СПб.: Изд-во С.-Петербург. ун-та, 1994. - 362 с.
  17. Марданов М.Дж. Исследование оптимальных процессов с запаздываниями при наличии ограничений: автореф. дис. … д-ра физ.-мат. наук. - Киев, 1989. - 28 с.
  18. Матвеев А.С., Якубович В.А. Оптимальное управление некоторыми системами с распределенными параметрами // Сиб. матем. журнал; 1978. - № 5. - С. 1109-1140.
  19. Suryanarayana M.B. Necessary conditions for optimization problems with hyperbolic partial diferential equations // SIAM Journal on Control. - 1973. - Vol. 11, № 1. - P. 130-147.
  20. Гасанов К.К. О существовании оптимальных управлений для процессов, описываемых системой гиперболических уравнений // Журн. вычисл. мат. и матем. физики. - 1973. - № 3. - C. 599-608.
  21. Исмайлов Р.Р., Мансимов К.Б. Об условиях оптимальности в одной ступенчатой задаче управления // Журн. вычисл. мат. и матем. физики. - 2006. - № 10. - C. 1158-1170.
  22. Розова В.Н. Оптимальное управление ступенчатыми системами с неинтегральными функционалом // Вестник РУДН. Сер. Прикл. и комп. математика. - 2002. - № 1 (1). - C. 131-136.
  23. Величенко В.В. Оптимальное управление составными системами // Докл. АН СССР. - 1967. - Т. 176, № 4. - С. 754-756.
  24. Габелко К.Н. Последовательное улучшение многоэтапных процессов // Автоматика и телемеханика. - 1974. - № 11. - С. 72-80.
  25. Никольский М.С. Об одной вариационной задаче с переменной структурой // Вестник МГУ. Сер. Вычислит. матем. и кибернетика. - 1987. - № 1. - С. 36-41.
  26. Методы оптимизации / Р. Габасов, Ф.М. Кириллова, В.В. Альсевич [и др.]. - Минск: Четыре четверти, 2011. - 472 с.
  27. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Принцип максимума в теории оптимального управления. - М., 2013. - 272 с.
  28. Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. Оптимальное управление. - М.: Физматлит, 2005. - 335 с.
  29. Демьянов В.Ф., Рубинов А.М. Приближенные методы решения экстремальных задач. - Л.: Изд-во ЛГУ, 1968. - 168 с.
  30. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Особые оптимальные управления. - М.: Либроком, 2013. - 256 с.
  31. Абдуллаев А.А., Мансимов К.Б. Необходимые условия оптимальности в процессах, описываемых системой интегральных уравнений типа Вольтерра. - Баку: ЭЛМ, 2013. - 224 с.
  32. Мансимов К.Б. Об одной схеме исследования особого случая в системах Гурса - Дарбу // Изв. АН Азербайджана. - 1981. - № 2. - C. 100-104.
  33. Мансимов К.Б. Об оптимальности квазиособых управлений в системах Гурса - Дарбу // Дифференц. уравнения. - 1996. - № 10. - C. 1952-1960.
  34. Мансимов К.Б. Интегральные необходимые условия оптимальности квазиособых управлений в системах Гурса - Дарбу // Автоматика и телемеханика. - 1993. - № 5. - C. 36-43.
  35. Мансимов К.Б. Необходимые условия оптимальности особых процессов в задачах оптимального управления: автореф. дис. … д-ра физ.-мат. наук. - Баку: Изд-во Бакин. гос. ун-та, 1994. - 42 с.
  36. Мансимов К.Б. К теории необходимых условий оптимальности в одной задаче с распределенными параметрами // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. - 2001. - № 10. - С. 1505-1520.
  37. Мансимов К.Б. Условия оптимальности второго порядка в системах Гурса - Дарбу при наличии ограничений // Дифференц. уравнения. - 1990. - № 6. - С. 954-965.
  38. Срочко В.А. Вычислительные методы оптимального управления. - Иркутск: Изд-во Иркут. гос. ун-та, 1982. - 110 с.
  39. Ахиев С.С., Ахмедов К.Т. Об интегральном представлении решений некоторых дифференциальных уравнений // Изв. АН Азерб. Сер. физ.-техн. и матем. наук. - 1973. - № 2. - С. 116-120.

Statistics

Views

Abstract - 8

PDF (Russian) - 3

Refbacks

  • There are currently no refbacks.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies