Abstract

Abstract

We study one optimal control problem with a variable structure described by the Goursat - Darboux system. Under the assumption that the control region is convex, the necessary optimality condition is proved in the form of a linearized maximum condition. The case of degeneration of the linearized maximum condition is considered (a quasi-special case). The necessary optimality conditions for quasi-singular controls are established.

Full Text

Введение Среди задач оптимального управления особое место занимают задачи оптимального управления системами Гурса - Дарбу. Разработка теории необходимых условий оптимальности первого порядка типа принципа максимума начата А.И. Егоровым [1, 2]; в работах О.В. Васильева [3, 4] строится теория особых управлений для таких систем. Обзор работ, посвященных необходимым и достаточным условиям оптимальности, теоремам существования оптимальных решений и скользящим режимам в системах Гурса - Дарбу можно найти в работах [5-20]. На практике многие процессы являются многоэтапными, т.е. имеют переменную структуру [21-25]. Задачи оптимального управления подобными системами называются задачами оптимального управления составными системами [23] или системами с переменной структурой [25]. Ряд задач оптимального управления, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями, исследован в работах [21-25]. Настоящая работа посвящена исследованию одной задачи оптимального управления с переменной структурой, которая описывается системой Гурса - Дарбу. В предположении выпуклости области управления установлено необходимое условие оптимальности в форме линеаризованного условия максимума [26-30]. Далее рассмотрен случай вырождения линеаризованного условия максимума (квазиособый случай [30]). В квазиособом случае найдены необходимые условия оптимальности квазиособых управлений в интегральной форме. При этом используется схема, предложенная и развитая в работах [12, 32-37]. 1. Постановка задачи Предположим, что управляемый процесс описывается системой дифференциальных уравнений гиперболического типа: , (1) (2) с краевыми условиями (3) , (4) , где - n-мерная, а - m-мерная вектор-функции, непрерывные по совокупности переменных вместе с частными производными по третьему и четвертому аргументам до второго порядка включительно; - дважды непрерывно дифференцируемая вектор-функция; , - липшицевы функции, - заданные числа, причем , , - r-мерная, а - -мерная измеримые и ограниченные (в и соответственно) вектор-функции со значениями в заданных непустых, ограниченных и выпуклых множествах и , т.е. (5) Пару , удовлетворяющую приведенным ограничениям, назовем допустимым управлением. Предполагается, что каждому допустимому управлению соответствует единственное абсолютно непрерывное (в смысле [5, 6]) решение краевой задачи (1)-(4). На решениях краевой задачи (1)-(4), порожденных всевозможными допустимыми управлениями, определим терминального типа функционал . (6) Допустимое управление , доставляющее минимум функционалу (6) при ограничениях (1)-(4), назовем оптимальным управлением, а соответствующий процесс - оптимальным процессом. В работе при предположении существовании оптимального управления устанавливаются необходимые условия оптимальности. 2. Специальное приращение критерия качества Предположим, что - фиксированное допустимое управление, а , где - произвольное допустимое управления. Через и обозначим соответствующие им решения краевой задачи (1)-(4). Тогда ясно, что приращение состояния будет решением краевой задачи , (7) (8) , (9) (10) . Через , , обозначим пока неизвестные, n- и m-мерные соответственно вектор-функции. Домножим обе части равенства (7) слева скалярно на и проинтегрируем по области ; аналогично домножим равенство (9) на и проинтегрируем по области . Введя обозначения , , получим (11) (12) Здесь и в дальнейшем штрих обозначает операцию транспонирования. Считая , , достаточно гладкими вектор-функциями и учитывая краевые условия (8), (10), несложно убедиться в справедливости тождеств С учетом (11), (12) и равенства запишем формулу для приращения критерия качества (6) в виде (13) Полагая , и используя формулу Тейлора, из (13) получим (14) Здесь и в дальнейшем - величина более высокого порядка, чем , т.е. при , а есть норма вектора , определяемая формулой . Если предполагать, что , , удовлетворяют соотношениям , (15) , , , (16) , (17) , , , (18) то формула приращения (14) примет вид (19) Краевую задачу (15)-(18) назовем сопряженной системой в задаче оптимального управления (1)-(6). Поскольку множества и выпуклые, то специальное приращение допустимого управления можно определить по формуле (20) где - произвольное число, , а и - произвольные измеримые и ограниченные соответственно r- и q-мерные вектор-функции со значениями в и соответственно. Через обозначим специальное приращение состояния , отвечающее специальному приращению (20) управления . Из оценок, установленных в [1-3, 8, 10], следует, что , (21) , (22) где , - некоторые положительные постоянные. Из (22) с учетом (21) получаем, что , (23) где - некоторое положительное число. Из оценок (21), (23) следует, что и имеют порядок малости . Из краевых задач (7)-(10) получаем, что является решением линеаризованной краевой задачи (24) (25) (26) (27) При помощи (24)-(27) по схеме, аналогичной примененной в работе [30], доказывается: Теорема 1. Для специального приращения состояния имеют место представления (28) где является решением краевой задачи (29) (30) (31) (32) Используя равенства (28) и (20), из формулы приращения (19) получаем: (33) Специальное приращение (33) функционала качества (6) позволяет получить различные необходимые условия оптимальности. 3. Необходимые условия оптимальности Из разложения (33) следует, что вдоль оптимального процесса Отсюда в силу произвольности имеем В последнем неравенстве по очереди полагая и , приходим к следующему утверждению: Теорема 2. Для оптимальности допустимого управления в задаче (1)-(6) необходимо, чтобы выполнялись соотношения: , , (34) , . (35) Соотношения (34), (35) являются аналогом интегрального линеаризованного условия максимума Понтрягина (см. например, [26-29, 31]). Применяя двумерный аналог леммы из [38, с. 8], получаем поточечное линеаризованное условие максимума. Теорема 3. Для оптимальности допустимого управления в задаче (1)-(6) необходимо, чтобы для всех , и , выполнялись неравенства , (36) . (37) Здесь и в дальнейшем - произвольная точка Лебега (или правильная точка, см. [6, 9, 11, 12]) управления . Теперь рассмотрим случай вырождения необходимого условия оптимальности (36), (37). Следуя [30], введем: Определение 1. Допустимое управление назовем квазиособым управлением в задаче (1)-(6), если для всех , и , выполняются соотношения (38) В квазиособом случае из разложения (33) с учетом (38) следует Теорема 4. Для оптимальности квазиособого управления необходимо, чтобы неравенство (39) выполнялось для всех , и всех , . Неравенство (39) есть неявное необходимое условие оптимальности квазиособых управлений. С его помощью удается получить необходимое условие оптимальности, выраженное через параметры задачи (1)-(6). Через обозначим решения матричных интегральных уравнений: , , . . Уравнения (29), (31) являются линейными неоднородными дифференциальными уравнениями гиперболического типа с краевыми условиями Гурса (30), (32) соответственно. Решения краевых задач (29)-(30) и (31)-(32) допускают соответственно следующие представления [39]: (40) (41) Из (41) получим Поскольку последнее соотношение имеет вид (42) Вводя обозначения , и принимая во внимание представление (40), из (42), получаем Далее, используя формулу Дирихле [28], имеем (43) Полагая перепишем формулу (43) в окончательном виде: (44) Представления (40), (44) позволяют вывести необходимые условия оптимальности второго порядка, явно выраженные через параметры задачи (1)-(6). Используя произвольность и , предположим, что . Тогда неравенство (37) примет вид (45) При этом представление (44) примет вид . (46) На основе соотношений (40), (46) доказывается справедливость тождеств: (47) (48) (49) (50) Введя обозначение и учитывая тождества (47)-(50), из неравенства (45) получим (51) Теперь предположим, что , . В этом случае неравенство (37) примет вид (52) где Используя это представление, получим (53) (54) Отметим, что справедливо следующее тождество: (55) Введя обозначение и учитывая тождества (53)-(55), из неравенства (52) получим (56) Таким образом, доказана Теорема 5. Для оптимальности квазиособой экстремали в задаче (1)-(6) необходимо, чтобы неравенства (51) и (56) выполнялись для всех , и соответственно. Неравенства (51) и (56) являются довольно общими интегральными условиями оптимальности квазиособых управлений. Из них при некоторых дополнительных предположениях можно получить ряд легко проверяемых необходимых условий оптимальности квазиособых управлений и, в частности, исследовать квазиособые второго порядка [12, 33-36] управления. Заключение Изучена одна задача оптимального управления с переменной структурой, описываемая системой нелинейных гиперболических уравнений с краевыми условиями Гурса. Применен один вариант метода приращений, на основе которого получено специальное разложение второго порядка функционала качества. С его помощью установлен аналог линеаризованного условия максимума. Рассмотрен случай вырождения линеаризованного условия максимума (квазиособый случай). Установлено необходимое условие оптимальности квазиособых управлений.