Full Text

Введение Механизмы ранжирования и контроля основаны на агрегировании информации об управляемом объекте (группе объектов или системе). Агрегирование, или комплексное оценивание разнородной информации, в недавнем времени оставалось актуальной научной проблемой многокритериального принятия решений, управления и оптимизации, имеющей широкий спектр практических приложений [1-6]. Механизмы агрегирования - это механизмы ранжирования и контроля, исследуемые в теории управления организационными системами [7, 8]. Существует несколько групп ученых [9-16 и др.], разработавших специальные методы и алгоритмы комплексного оценивания, применимые в различных условиях. Сложные объекты могут обладать набором разнородных свойств как числовой, так и нечисловой природы, а также обладать разной формой и степенью неопределенности относительно состояния частных параметров, а также различными источниками их возникновения. Поэтому востребовано агрегирование информации, имеющей широкий спектр практических приложений, до одного или нескольких укрупненных показателей. В работе [16] показано, какие матричные механизмы комплексного оценивания целесообразно использовать при той или иной неопределенности сложного объекта. Система классификации матричных механизмов комплексного оценивания была предложена там же [16]. Основаниями для классификации являются форма неопределенности о состоянии частных свойств сложного объекта и подходы к вычислению комплексных оценок. 1. Задача комплексного оценивания сложных объектов в условиях неопределенности Система комплексного оценивания - это совокупность набора критериев, наборов термов, функций приведения, графа и набора матриц свертки, подходящих для комплексного оценивания сложных объектов конкретной предметной области. Задача комплексного оценивания сложных объектов заключается в установлении отображения между пространством сложных объектов и ограниченным множеством действительных значений с помощью механизма комплексного оценивания (МКО / RCM): (1) где O - пространство состояний сложного объекта; V - действительно-значная шкала комплексной оценки. Матричный механизм комплексного оценивания (ММКО) - это механизм комплексного оценивания (1), который задается кортежем (2) где P - процедура комплексного оценивания; G - граф, определяющий последовательность агрегирования (свертки) частных факторов в комплексную оценку, узлам дерева G соответствуют матрицы свертки; M - множество матриц свертки, матрица свертки является подмножеством декартового произведения шкал качественного оценивания сворачиваемых факторов и шкалы обобщенной, агрегированной оценки, матрица задается множеством элементов Q - критериальное (квалиметрическое) пространство, образованное множеством шкал качественного оценивания частных критериев K, промежуточных сверток и шкалой комплексной оценки V; K - множество частных свойств (параметров, факторов, критериев), по которым оценивается сложный объект, данное множество образовано двумя подмножествами - подмножество качественно описываемых свойств объекта, - подмножество количественно измеримых свойств объекта; элементы множества оцениваются с помощью термов tq из множеств Tq: - число качественно-описываемых свойств объекта; элементы множества оцениваются с помощью действительно-значных шкал - число количественно измеримых свойств объекта. Тогда состояние сложного объекта o задается в пространстве O: и определяется вектором При наличии неопределенности о состоянии отдельных количественно измеримых факторов элементы вектора, описывающего состояние объекта, представляют собой при интервальной неопределенности пару оценок - число количественно измеримых факторов, описываемых интервально, а при стохастической неопределенности - распределение вероятностей - число количественно измеримых факторов, носящих случайный характер. Стоит отметить, что качественно описываемые свойства объекта подвержены неопределенности, источником которой является субъективность суждений экспертов, привлекаемых для их оценивания. Поэтому в общем случае состояние сложного объекта описывается вектором , , При этом задача комплексного оценивания (1) сохраняется, однако в случае интервальной неопределенности комплексная оценка представляет собой интервал , В случае стохастической неопределенности комплексная оценка представляет собой распределение вероятностей на множестве V. Применительно к количественно измеримым свойствам объекта источником неопределенности могут служить средства объективного контроля, т.е. оценки частных свойств объекта могут быть как точными значениями на множестве действительных чисел, так и интервальными оценками, в том числе о состоянии отдельных свойств может иметься распределение вероятностей о возможном состоянии объекта. Качественно-описываемые свойства объекта подвержены неопределенности, источником которой является субъективность суждений экспертов, привлекаемых для их оценивания. В связи с этим целесообразно одним из оснований для классификации механизмов комплексного оценивания использовать степень неопределенности о состоянии частных факторов сложного объекта. Для классификации будем использовать критерий «неопределенность» и выделять следующие классы неопределенности: высокая; средняя; низкая и очень низкая или отсутствует. Субъективные оценки могут высказываться с разной степенью модальности. Под разной степенью модальности подразумевается, что лица, привлеченные к оцениванию свойств, в зависимости от их квалификации могут высказать различные суждения (табл. 1). Таблица 1 Соответствие исходных данных уровню неопределенности и предлагаемому способу описания сложного объекта Количественные оценки (объективные входные данные), ОВ Качественные оценки (субъективные входные данные), СВ Источник данных Неопределенность Код Источник данных Неопределенность Код Данных объективного контроля нет Высокая - Молодой специалист* Условно высокая СВ1 Оценка измерений с погрешностью (интервальная оценка) Средняя или низкая ОВ1 Специалист* Условно средняя СВ2 Распределение вероятностей Средняя или низкая ОВ2 Эксперт* Условно низкая СВ3 Точная оценка измерений с минимальной погрешностью Очень низкая или отсутствует ОВ3 Группа экспертов Очень низкая или отсутствует СВ4 Примечание: разделение степени неопределенности субъективных оценок по уровню квалификации на категории «молодой специалист», «специалист» и «эксперт» условно. СВ1 - свойства сложного объекта описываются с помощью Ф-нечетких переменных: где , - число качественно-описываемых свойств объекта; , - число количественно-измеримых свойств объекта. СВ2 - свойства сложного объекта описываются с помощью нечетких переменных: СВ3 - свойства сложного объекта описываются с помощью нечетких переменных, имеющих ограничение на вход - равенство единице суммы значений функции принадлежности, а также с использованием ближайших по смыслу категорий (термов): СВ4 - свойства сложного объекта оцениваются группой экспертов с помощью процедур активной экспертизы, в том числе нечеткой и интервальной. В этом случае степень неопределенность результата активной экспертизы будет определяться по участнику, обладающему наихудшей неопределенностью. ОВ1 - свойства сложного объекта описываются с помощью интервальных оценок: , где , - число количественно-измеримых факторов, описываемых интервально. ОВ2 - свойства сложного объекта описываются с помощью распределения вероятностей: , где , - число количественно-измеримых факторов, носящих случайный характер. ОВ3 - свойства сложного объекта описываются с помощью точных или приближенных оценок: . В общем случае состояние сложного объекта описывается вектором , , , , . Стоит отметить, что и количественные показатели также могут быть оценены экспертами, например в случаях, когда средства объективного контроля недоступны, т.е. способы ввода класса СВ применимы не только к качественным показателям, но и количественным. При этом объективно оценить качественные свойства не представляется возможным (табл. 2). Таблица 2 Отношение свойств сложных объектов и способов их оценки Свойства сложного объекта Способ оценки частных свойств Объективно Субъективно Количественные xn ОВ1, ОВ2, ОВ3 СВ1, СВ2, СВ3, СВ4 Качественные tq - СВ1, СВ2, СВ3, СВ4 Учитывая сказанное выше, приведем классификацию возможных состояний частных свойств в условиях неопределенности (табл. 3). Таблица 3 Классификация возможных состояний свойств сложных объектов Источник неопределенности Источник информации Способ формализации Состояние сложного объекта описывается вектором Функции приведения: Квалификация пользователей МКО Молодой специалист Ф-нечеткие / мягкие множества , , Окончание табл. 3 Источник неопределенности Источник информации Способ формализации Состояние сложного объекта описывается вектором Функции приведения: Специалист Нечеткие множества Эксперт Нечеткие множества с ограничением на функции принадлежности , , , , Группа экспертов Процедуры активной экспертизы , , Имеющиеся данные объективного контроля Приборы с погрешностью Интервальные оценки Статистика Распределение вероятностей Точные приборы Точные или приближенные оценки 2. Матричные механизмы комплексного оценивания Известны матричные механизмы нечеткого комплексного оценивания (Нечеткие ММКО) с максиминным подходом и с аддитивно-мультипликативным подходами к теоретико-множественным операциям, а также два эквивалентных им непрерывных матричных механизма комплексного оценивания (Непрерывные ММКО). В случае применения Нечетких ММКО элементам матрицы mrc соответствует несколько значений функции принадлежности. Для определения единственного значения функции принадлежности необходимо использовать теоретико-множественную операцию пересечения (3) или (4): (3) (4) где Xi - элемент носителя нечеткого множества, и - значения функций принадлежности элемента Xi нечетким множествам и Для элементов матрицы сверки, которые имеют одно и то же значение, необходимо использовать теоретико-множественную операции объединения (5) или (6), в соответствии с процедурой нечеткого комплексного оценивания: (5) (6) Подход, использующий операции (3) и (5), называется максиминным - Подход, использующий операции (4) и (6), называется аддитивно-мультипликативным - Результат матрицы свертки примет форму нечеткого числа (7) где - градации шкалы описывающей свертку факторов и элементы принимают значения из этого множества, - определяются по выбранной процедуре или Для того чтобы представить результат агрегирования в форме числа, принадлежащего множеству действительных значений в работе [9] предлагается использовать уравнение центра масс (8), которое с учетом принятых в данной работе обозначений примет вид (8) Введем так называемые [9] стандартные функции свертки, являющиеся подмножествами матрицы, образованные элементами (табл. 4). Эти функции имеют простую интерпретацию, описываемую с помощью естественного языка. Таблица 4 Стандартные функции свертки и их базовая интерпретация Обозначение Стандартные функции свертки Элементы матрицы Fi Качественная интерпретация F0 Комплексная оценка не увеличивается при росте любого критерия v v v v F1 Комплексная оценка увеличивается при росте обоих критериев v v v v + 1 F2 Комплексная оценка увеличивается только при росте критерия с v v v + 1 v + 1 F3 Комплексная оценка увеличивается только при росте критерия r v v + 1 v v + 1 F4 Комплексная оценка увеличивается при росте любого критерия v v + 1 v + 1 v + 1 F5 Аналогично F4, но при росте обоих критериев возникает синергетический эффект v v + 1 v + 1 v + 2 Эти подмножества матрицы свертки можно интерполировать, используя процедуру нечеткого комплексного оценивания, и на непрерывной области определения аргументов свертки можно построить трехмерные поверхности, соответствующие стандартным функциям. Далее ограничимся иллюстрацией полученных поверхностей, используя стандартные функции F1, F2 и F4. Мы не будем рассматривать стандартные функции F0, поскольку получается плоская поверхность, параллельная области определения сворачиваемых критериев и F3, так как достаточно показать стандартную функции F2, потому что F3 = F2T. Мы также не будем рассматривать стандартную функцию F5 в силу ограниченного объема статьи. В случае использования Нечетких ММКО с максиминным подходом к теоретико-множественным операциям деффазифицированная согласно (8) комплексная оценка имеет погрешность. Этот случай был рассмотрен в работах [10-12]. Следующие результаты (рис. 1) были получены применительно к стандартным функциям F1, F2 и F4: а б в Рис. 1. Топологическое представление стандартных функций: а - F1; б - F2; в - F4, при использовании максиминного подхода с операцией пересечения (3) и объединения (5) над нечеткими множествами Для снижения погрешности необходимо использовать следующие операции: - для стандартной функции F0: (9) - для стандартной функции F1: = (10) - для стандартной функции F2: (11) - для стандартной функции F3: (12) - для стандартной функции F4: = (13) - для стандартной функции F5: = (14) Операции (10) и (13) эквивалентны операциям минимума и максимума соответственно. Поэтому данный подход также будем называть максиминным. В случае использования этих операций стандартные функции примут вид без погрешности (рис. 2). В случае использования аддитивно-мультипликативного подхода стандартные функции примут вид, показанный на рис. 3. Нечеткий ММКО с аддитивно-мультипликативным подходом эквивалентен ММКО с дискретными шкалами, каждой градации которой имеется некоторая вероятность. Другими словами, агрегируемые критерии имеют функции распределения вероятностей. Последний случай был предложен в работе [17]. а б в Рис. 2. Топологическое представление стандартных функций: а - F1; б - F2; в - F4, полученных при использовании максиминного подхода (9)-(14) к операциям над нечеткими множествами а б в Рис. 3. Топологическое представление стандартных функций: а - F1; б - F2; в - F4, при использовании аддитивно-мультипликативного подхода к операциям над нечеткими множествами Непрерывные ММКО используют функции интерполяции. Первая функция интерполяции была предложена в работе [7]: (15) где введены следующие переменные: Выражение (15) эквивалентно нечеткому ММКО, использующему максиминный подход (9)-(14) Выражение (15) даст нам те же поверхности, которые показаны на рис. 2. Вторая функция интерполяции (16) была определена в аналогичной записи, но таким образом, чтобы получить случай, эквивалентный нечеткому ММКО с аддитивно-мультипликативным подходом [13]: (16) Выражение (16) даст нам те же поверхности, которые показаны на рис. 3. Обе функции (15) и (16) непрерывны и монотонны. Это значит, что для сколь угодно малой справедливо и 3. Примеры комплексного оценивания (агрегирования) Пример 1. Агрегирование двух критериев с точечными значениями с использованием непрерывных ММКО. Агрегирование двух критериев со значениями и В этом случае мы можем использовать непрерывные ММКО. Тогда Пусть матрица свертки имеет элементы, которые показаны на рис. 4. Тогда Хr 4 3 3 2 4 3 3 2 1 3 3 2 2 1 2 3 2 1 1 1 Хc 4 3 2 1 Рис. 4. Пример матрицы свертки, принятый для иллюстрации механизмов Согласно выражению (15) с максиминным подходом мы получим следующую комплексную оценку: Согласно выражению (16) с аддитивно-мультипликативным подходом мы получим следующую комплексную оценку: Пример 2. Агрегирование двух критериев с интервалами значений. Агрегирование двух критериев с интервалами значений и . В этом случае комплексная оценка будет также представлена интервалом значений. Пусть матрица свертки имеет те же элементы, что показаны на рис. 4. Мы также можем использовать непрерывные ММКО, и нам необходимо определить только две комплексные оценки и потому что обе функции интерполяции (15) и (16) являются непрерывными и монотонными. Нам известно, что в случае использования максиминного подхода и в случае использования аддитивно-мультипликативного. Поэтому нам необходимо узнать комплексную оценку только для случая . В этом случае ; ; Согласно функции (15), в случае когда , необходимо использовать выражение Результат будет следующим: Согласно выражению (16) с аддитивно-мультипликативным подходом мы получим ту же самую комплексную оценку: Тогда комплексная оценка представляет собой интервал: - в случае использования максиминного подхода; - в случае использования аддитивно-мультипликативного подхода. Пример 3. Агрегирование двух критериев с точечными значениями с использованием нечетких ММКО. Рассмотрим тот же пример и как и в первом случае. Для применения нечетких ММКО в данном случае каждое значение Xr и Xc необходимо представить в виде нечеткого числа, используя следующее правило: (17) где функция принадлежности принимает следующие значения: для и В то же время нечеткое число (17) после дефазификации согласно (8) представимо в виде Поэтому операции (8) и (17) обеспечивают однозначное соответствие между нечеткими и действительными значениями. Согласно (17) критерии и будут иметь вид и . В случае нечетких чисел каждому элементу матрицы соответствует пара значений функций принадлежности (рис. 5): 4/0;0 3/0;0,6 3/0;0,4 2/0;0 4/0 3/0;0 3/0;0,6 2/0;0,4 1/0;0 3/0 3/0,3;0 2/0,3;0,6 2/0,3;0,4 1/0,3;0 2/0,3 3/0,7;0 2/0,7;0,6 1/0,7;0,4 1/0,7;0 1/0,7 4/0 3/0,6 2/0,4 1/0 Рис. 5. Матрица свертки (рис. 4) в нечетком виде Для определения единственного значения функции принадлежности (рис. 6) необходимо использовать теоретико-множественную операцию пересечения (3). 4/0 3/0 3/0 2/0 4/0 3/0 3/0 2/0 1/0 3/0 3/0 2/0,3 2/0,3 1/0 2/0,3 3/0 2/0,6 1/0,4 1/0 1/0,7 4/0 3/0,6 2/0,4 1/0 Рис. 6. Результат пересечения (3) при максиминном подходе В этом случае (см. рис. 6) имеем три элемента матрицы с ненулевым значением функции принадлежности и одинаковым значением элемента матрицы m13 = m22 = m23 = 2. Для элементов m22 и m23 значение функции принадлежности составляет 0,3, а для элемента m13 - 0,6. . Для элемента с двумя значениями функциями принадлежности 2 / {0,3 ;0,6} необходимо использовать теоретико-множественную операцию (5) - максимум. Результат будет следующим: Согласно уравнению центра масс (8) комплексная оценка будет следующей: В случае аддитивно-мультипликативного подхода матрица после выполнения операции пересечения (4) будет иметь вид (рис. 7): 4/0 3/0 3/0 2/0 4/0 3/0 3/0 2/0 1/0 3/0 3/0 2/0,18 2/0,12 1/0 2/0,3 3/0 2/0,42 1/0,28 1/0 1/0,7 4/0 3/0,6 2/0,4 1/0 Рис. 7. Результат пересечения при использовании аддитивно-мультипликативного подхода Согласно аддитивно мультипликативному подходу для элемента 2 / {0,42; 0,12; 0,18} необходимо использовать теоретико-множественную операцию суммирования (6). В этом случае результат комплексного оценивания будет следующим: Действительно-значная комплексная оценка будет следующей: Пример 4. Погрешность в случае максиминного подхода с операциями (3) и (5). Пусть матрица свертки имеет элементы, как в примерах выше, и Каждому элементу матрицы в этом случае также соответствует два значения функций принадлежностей (рис. 8): 4/0;0 3/0;0,6 3/0;0,4 2/0;0 4/0 3/0;0 3/0;0,6 2/0;0,4 1/0;0 3/0 3/0,3;0 2/0,6;0,7 2/0,6;0,3 1/0,3;0 2/0,6 3/0,7;0 2/0,4;0,7 1/0,4;0,3 1/0,7;0 1/0,4 4/0 3/0,7 2/0,3 1/0 Рис. 8. Матрица свертки в нечетком виде Используя функцию пересечения (3), получим (рис. 9): 4/0 3/0 3/0 2/0 4/0 3/0 3/0 2/0 1/0 3/0 3/0 2/0,6 2/0,3 1/0 2/0,6 3/0 2/0,4 1/0,3 1/0 1/0,4 4/0 3/0,7 2/0,3 1/0 Рис. 9. Результат пересечения (3) при максиминном подходе В данном случае (см. рис. 9) имеем три элемента матрицы с ненулевым значением функции принадлежности и одинаковым значением элемента матрицы m13 = m22 = m23 = 2. Для элемента m22 значение функции принадлежности равно 0,3, для элемента m23 - 0,6, а для элемента m13 - 0,4. Для элемента с тремя значениями функции принадлежности 2 / {0,3; 0,4; 0,6} используем теоретико-множественную операцию объединения (5). В этом случае результат будет следующим: . Согласно уравнению центра масс (8) комплексная оценка будет следующей: Элементы матрицы с ненулевыми значениями функции принадлежности имеют следующие значения: m12 = 1, m22 = 2, m13 = 2, m23 = 2, что соответствует стандартной функции F4 (см. табл. 4). Если использовать (13), получим Согласно выражению (8) такое нечеткое число после деффазификации будет числом, принадлежащим действительному множеству Согласно уравнению центра масс (8) нечеткие числа и примут значения и Используя непрерывную функцию (15), мы получим В случае нечетких чисел, как (13), мы можем использовать эти же методы. Но если сумма значений функции принадлежности больше единицы, нам потребуется нормализовать функцию для использования аддитивно-мультипликативной функции. Пример 5. Агрегирование двух критериев с Ф-нечеткими числами при аддитивно-мультипликативном подходе. Пусть матрица свертки имеет элементы, как в примерах выше, а критерии определяются как Ф-нечеткие числа (рис. 10): Xr 4 3 3 2 4 0,1 0,2 3 3 2 1 3 0,1 0,2 3 2 2 1 2 0,4 0,5 3 2 1 1 1 0,3 0,4 Xc 4 3 2 1 0,1 0,4 0,2 0,1 0,3 0,5 0,4 0,2 Рис. 10. Матрица свертки в Ф-нечетком виде Такой случай может соответствовать ситуации, когда в качестве лиц, привлеченных к процедуре оценки частных критериев, выступают не эксперты, а, например, рядовые носители предметно-профессиональной области, или в отношении частных критериев имеется существенная неопределенность, которая не позволяет эксперту высказаться не только категорически, но и даже его модальные суждения носят весьма размытый характер [18]. В случае Ф-нечеткого комплексного оценивания предлагается использовать следующий алгоритмический прием: (18)-(20). Для каждого элемента матрицы определяется два вектора значений функций принадлежности: первый определяется как набор значений с максимальным доверием этому элементу, второй - с минимальным. Первый вектор определяется следующим образом: выбираются максимальные значения функций принадлежностей из доверительных интервалов, соответствующих агрегируемым строке r и столбцу c, а также минимальные значения в соседних элементах, образованных строками r + 1, r - 1 и столбцами c + 1, c - 1: (18) Второй вектор определяется наоборот: выбираются минимальные значения функций принадлежностей из доверительных интервалов, соответствующих агрегируемым строке r и столбцу c, а также минимальные значения в соседних элементах, образованных строками r + 1, r - 1 и столбцами c + 1, c - 1, вычтенные из единицы: (19) После выполнения для каждого вектора значений функций принадлежности операции пересечения останется одно значение доверия этому элементу, соответствующее максимальной степени доверия и минимальной. Обозначим результат пересечения первого вектора (18) как второго вектора (19) - Так удастся получить две нечетких переменных, соответствующих элементу Поскольку их носителем является сам элемент mrc, то для него мы получим пару значений функций принадлежности, что можно представить как Ф-нечеткую переменную: (20) Рассмотрим пример для элемента (2;2) - Первый вектор будет следующим: второй - Если использовать умножение в качестве операции пересечения (4), то а Тогда Аналогично выполним предложенный подход ко всем элементам матрицы (рис. 11): Xr 4 / [0,004; 0,032] 3 / [0,013; 0,065] 3 / [0,006; 0,039] 2 / [0,005; 0,029] 4 0,1 0,2 3 / [0,002; 0,019] 3 / [0,007; 0,039] 2 / [0,003; 0,023] 1 / [0,002; 0,017] 3 0,1 0,2 3 / [0,010; 0,057] 2 / [0,032; 0,113] 2 / [0,015; 0,068] 1 / [0,012; 0,050] 2 0,4 0,5 3 / [0,008; 0,043] 2 / [0,025; 0,086] 1 / [0,012; 0,052] 1 / [0,009; 0,038] 1 0,3 0,4 Xc 4 3 2 1 0,1 0,4 0,2 0,1 0,3 0,5 0,4 0,2 Рис. 11. Матрица свертки в Ф-нечетком виде, где элементы матрицы получены с помощью аддитивно-мультипликативного подхода Выполнив операцию объединения путем суммирования минимальных и максимальных значений при одинаковых элементах матрицы свертки, получим следующую Ф-нечеткую комплексную оценку: (21) Условно Ф-нечеткую комплексную оценку (21) можно представить в виде двух нечетких множеств, построенных аналогично предложенному выше алгоритму (18)-(20): (22) которую путем деффазификации (8) можно представить в виде числа на множестве действительных значений: Отметим, что в Ф-нечетком случае сумма значений функций принадлежности может не принимать значение единицы. Поэтому требовать этого условия от выражения (22), полученного из Ф-нечеткого числа (21), непрактично. Пример 6. Агрегирование двух критериев с Ф-нечеткими числами при максиминном подходе. Используя операцию пересечения (3) в том же примере (см. рис. 19) и применяя предложенные методы (18)-(20), получим, что элемент (2;2) будет следующим: Аналогично определяются все элементы, с использованием операции пересечения минимум (рис. 12): Xr 4 / [0,1; 0,2] 3 / [0,1; 0,2] 3 / [0,1; 0,2] 2 / [0,1; 0,2] 4 0,1 0,2 3 / [0,1; 0,2] 3 / [0,1; 0,2] 2 / [0,1; 0,2] 1 / [0,1; 0,2] 3 0,1 0,2 3 / [0,1; 0,3] 2 / [0,4; 0,5] 2 / [0,2; 0,4] 1 / [0,1; 0,2] 2 0,4 0,5 3 / [0,1; 0,3] 2 / [0,3; 0,4] 1 / [0,2; 0,4] 1 / [0,1; 0,2] 1 0,3 0,4 Xc 4 3 2 1 0,1 0,4 0,2 0,1 0,3 0,5 0,4 0,2 Рис. 12. Матрица свертки в Ф-нечетком виде, где элементы матрицы получены с помощью максиминного подхода В случае максиминного подхода Ф-нечеткая комплексная оценка будет следующей: Нечеткое число получим аналогично: и аналогично может быть представлено как действительно число: Заключение Напомним, что в работе [16] показано, какие матричные механизмы комплексного оценивания целесообразно использовать при той или иной неопределенности сложного объекта [16]. Все методы, показанные в работе, были использованы в различных исследованиях, таких как моделирование предпочтений участников рынка инвестиций [19, 20], моделирование социальных и экономических систем [21], прогнозирование посещаемости торговой недвижимости на основе оценки их потребительской привлекательности [22], обосновании премии за контроль или скидки за бесконтрольность при сделках слияния и поглощения [23], принятие решений в строительстве [24] и др.

About the authors

A. O Alekseev

Perm National Research Polytechnic University

References

Statistics

Views

Abstract - 60

PDF (Russian) - 41

Refbacks

• There are currently no refbacks.