On the expressibility of the functions of the system x'(t) = A∙x(t), the eigenvalues of the matrix of which are non-multiple in the form of linear combinations of derivatives of one function included in this system

Abstract


The problem of solving a system of linear ordinary differential equations with constant coefficients is one of the most important problems in both the theory of ordinary differential equations and linear algebra. Therefore, on the one hand, new methods and algorithms are being developed for such systems, and on the other hand, existing methods and algorithms for solving such systems are being improved. One of the most well-known methods for solving a system of linear ordinary differential equations with constant coefficients is the method of reducing a system of linear equations to a single higher-order equation, which makes it possible to find solutions to the original system in the form of linear combinations of derivatives of only one unknown function.In this paper, we consider a refinement of the method for reducing a system of linear ordinary differential equations with constant coefficients to a single higher-order equation, which makes it possible to find a general solution to the original system; namely, we study the expressibility of all functions of the system of linear homogeneous differential equations with constant coefficients x^' (t)= A⋅x(t) in the form of linear combinations of derivatives of only one unknown function x_k (t), which is part of this system. For any matrix A, all of whose eigenvalues are not multiples, a new simple criterion for expressibility in terms of matrix ranks is formulated, and its correctness is proved. The result obtained can also be applied in the study of solutions of the system x^' (t)= A⋅x(t) for periodicity and in the study of linear systems for complete observability.

Full Text

В данной работе рассматривается уточнение метода приведения системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами к одному уравнению высшего порядка, позволяющего найти общее решение исходной системы, а именно изучается задача выразимости всех функций входящих в заданную однородную систему линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами в виде линейных комбинаций производных только одной неизвестной функции входящей в эту систему. В результате исследования для любой матрицы A, все собственные значения которой не кратны, найден простой критерий выразимости всех функций системы в виде линейных комбинаций производных и доказана его корректность. Полученный результат может быть применен в ряд случаях: а) при исследовании решений системы на периодичность, поскольку периодическое решение системы имеет особое значение как для качественной теории дифференциальных уравнений, так и для изучения различных математических моделей в физике, химии, астрономии и других науках [1];b) при применении метода сведения системы линейных дифференциальных уравнений относительно к одному дифференциальному уравнению n-го порядка, позволяющего найти общее решение исходной системы в виде линейных комбинаций производных функции [2–5]; с) при исследовании линейных систем на полную наблюдаемость [6].

About the authors

D. N. Barotov

Financial University under the Government of the Russian Federation

R. N. Barotov

Khujand State University named after Academician Bobojon Gafurov

References

  1. Коломина М.В. Периодические решения систем дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами: дис. … канд. физ.-мат. наук: 01.01.02, защищена 29.11.2000. – Казань, 2000. – 119 с.
  2. Малышев Ю.В., Атаманов П.С. О решении системы линейных дифференциальных уравнений операторным методом // Вестник Чувашского университета. – 2011. – № 3. – С. 155–159.
  3. Ивлев В.В., Кривошей Е.А. Системы линейных дифференциальных уравнений. Интегрируемые комбинации (продолжение) // Математическое образование. – 2018. – № 1 (85). – С. 47–51.
  4. Градштейн И.С. О поведении решений системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, вырождающихся в пределе // Известия Российской академии наук. Серия математическая. – 1949. – Т. 13, № 3. – С. 253–280.
  5. Рыбаков М.А. Решение систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами с помощью преобразования Лапласа // Вестник российских университетов. Математика. – 2009. – Т. 14, № 4. – С. 791–792.
  6. Бударгин О.М., Мисриханов М.Ш., Рябченко В.Н. Новые эффективные критерии управляемости и наблюдаемости для систем большой размерности // Проблемы управления. – 2012. – № 1. – С. 21–25.
  7. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. – М.: Физматгиз, 2010. – 560 с.
  8. Пантелеев А.В., Якимова А.С., Рыбаков К.А. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Практикум. – М.: Инфра-М, 2016. – 432 с.
  9. Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. – М.: Физматгиз, 1965. – 332 с.
  10. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. – М.: Физматгиз, 1961. – 100 с.
  11. Мухамеджанова У.М. Жорданова форма матрицы и решения линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами // Ученые записки Худжандского государственного университета им. академика Б. Гафурова. Серия: Естественные и экономические науки. – 2017. – № 1. – С. 20–26.
  12. Балоев А.А. Матрично-алгебраическая форма решения системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами // Сибирский журнал индустриальной математики. – 2014. – Т. 17, № 3. – С. 3–12.

Statistics

Views

Abstract - 124

PDF (Russian) - 136

Refbacks

  • There are currently no refbacks.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies