Abstract

Abstract

Periodic boundary value problem for a system of two ordinary differential equation is consider. Sufficient conditions for existence of solutions of the problem are obtained.

Full Text

Рассмотрим периодическую краевую задачу для системы двух обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) первого порядка: (1) (2) где - искомые функции; функции удовлетворяют условиям Каратеодори. Исследованию задачи (1), (2) уделяется значительное внимание в классической теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Литература, посвященная исследованию задачи (1), (2) и ее частных случаев, весьма обширна, и ее обзор в пределах статьи не представляется возможным. Отметим только, что в последние десятилетия для исследования периодических краевых задач применяется подход, основанный на использовании теорем существования для квазилинейных операторных уравнений в случае резонанса ([1]). Такая же схема применяется в данной работе, а именно: задача (1), (2) рассматривается как одно операторное уравнение (3) с фредгольмовым линейным ограниченным оператором и вполне непрерывным оператором ; - действительные банаховы пространства. Используемая в работе теорема существования для операторного уравнения (3) сформулирована в п. 1. Основное утверждение работы (теорема 2) доказано в п. 3. Отметим следующую особенность полученного результата: условия, иногда называемые «знаковыми», на функции , как правило, неизбежно присутствующие в теоремах существования такого вида, имеют несколько иной вид (см. условия 1, 3 теоремы 2). 1. Квазилинейные операторные уравнения Пусть - действительные банаховы пространства. Рассмотрим квазилинейное операторное уравнение с линейным ограниченным оператором и непрерывным, вообще говоря, нелинейным оператором . Всюду в работе предполагается, что оператор фредгольмов. Определение 1. Если оператор необратим, то уравнение (3) называется резонансным [1], [2]. Приведем необходимые определения конструкции, а также теорему о существовании хотя бы одного решения для уравнения (3). Через и будем обозначать ядро и образ оператора Проекторы на ядро и образ обозначим и соответственно, и пусть - дополнительный проектор, т.е. . Рассмотрим соответствующие этим проекторам разложения пространств в прямые суммы замкнутых подпространств где и . В силу фредгольмовости оператора подпространства и изоморфны. Далее будем пользоваться конкретным изоморфизмом, который обозначим через . Определим оператор (сужение проектора ) равенством Ввиду различных трактовок понятия обобщенно обратного оператора далее будем придерживаться следующего определения ([3]). Определение 2. Оператор удовлетворяющий условиям: 1) для любого ; 2) ; 3) будем называть обобщенно обратным к оператору , ассоциированному с проектором Будем рассматривать ядро оператора L как гильбертово пространство со скалярным произведением таким, что порождаемая скалярным произведением норма удовлетворяет оценке , . Сформулируем в удобной форме теорему существования решения для уравнения (3) в резонансном случае, т.е. без предположения об обратимости оператора Теорема 1. ([4]). Пусть выполнены условия: 1) существует такая константа , что для всех и для любых пар справедливо неравенство ; 2) существуют константы такие, что для всех выполнено неравенство ; 3) . Тогда уравнение (3) имеет хотя бы одно решение. 2. Пространство решений. Вспомогательные утверждения Определим следующие функциональные банаховы пространства: - пространство функций, суммируемых по Лебегу с квадратом на отрезке , с нормой ; - пространство абсолютно непрерывных функций таких, что , с нормой . Пусть с нормой , с нормой . Пространства и с указанными нормами будем рассматривать и как гильбертовы с соответствующими скалярными произведениями. Символом обозначим подпространство пространства такое, что . Под решением задачи (1), (2) будем понимать пару функций , которые удовлетворяют почти всюду на уравнениям системы (1) и периодическим краевым условиям (2) (или, что то же самое, пара функций , удовлетворяющих уравнениям системы (1)). Операторы определим равенствами Оператор является линейным ограниченным фредгольмовым оператором с ядром и образом соответственно: Ограниченные проекторы на ядро и образ оператора определим равенствами , , , . Соответствующие этим проекторам разложения пространств в прямые топологические суммы имеют вид где Оператор определим равенством а изоморфизм - равенством , Тогда оператор имеет вид Лемма 1. Для нормы оператора справедлива оценка . Доказательство. Действительно, Поэтому . Лемма доказана. Лемма 2. Обобщенно обратный к L оператор , ассоциированный с проектором , имеет вид и его норма Доказательство. Непосредственная проверка условий определения обобщенно обратного оператора показывает, что оператор является обобщенно обратным к L. Имеем . Отсюда и следует равенство . Лемма доказана. 3. Теорема существования Теорема 2. Пусть существуют положительные константы такие, что функции для любых и почти для всех удовлетворяют условиям: Если выполнены неравенства (4) (5) где , то задача (1), (2) имеет хотя бы одно решение. Доказательство. В условиях теоремы для произвольно фиксированного и произвольных справедлива оценка Таким образом, условие 1 теоремы 1 выполняется с константой . Оператор является вполне непрерывным. Имеем где . Следовательно, неравенство выполнено. Если справедливы неравенства (4), (5), то справедливо условие 3 теоремы 1, применение которой завершает доказательство. Теорема доказана. В качестве примера применения теоремы 2 рассмотрим периодическую краевую задачу для следующей системы ОДУ первого порядка: (6) где - константы. Следствие. Если выполнены неравенства: 1) то система (6) имеет хотя бы одно решение. Доказательство этого следствия состоит в непосредственной проверке теоремы 2 в условиях данного следствия.