Full Text

Введение Для решения задачи многокритериального выбора применяются самые различные механизмы комплексного оценивания, описывающие правило выбора лица, принимающего решения, под которым традиционно понимается целенаправленный индивид или коллектив, объединенный общей целью. Объекты, в отношении которых осуществляется выбор в многокритериальной задаче, описываются вектором свойств, по каждому из которых определяется критерий эффективности состояния объекта. Сложность решения многокритериальной задачи выбора объясняется не только тем, что свойства объекта могут быть гетерогенными по отношению друг другу, но и тем, что некоторые свойства могут быть свойствами нечисловой природы, т.е. не количественно измеримыми, а качественно описываемыми, что определяет необходимость использования экспертных методов [1] оценивания их состояния. 1. Обзор существующих методов и подходов, применяющихся для решения задачи многокритериального выбора В обзоре [2] представлен список применяющихся за рубежом подходов и методов для решения задачи многокритериального выбора на примере задачи выбора подрядчика. По словам авторов [2], наиболее часто встречаются решения, основанные на использовании метода анализа иерархий, метода анализа сетей, теории нечетких множеств, нейронных сетей, генетических алгоритмов и SMART-технологий, а также их различных комбинаций. Данные методы и подходы не только получили известность за рубежом, но и активно используются в российской практике. Однако к перечисленным подходам следует добавить популярные в нашей стране теории, не попавшие в обзор зарубежных исследователей и имеющие специальные инструменты комплексного оценивания. К таким теориям относятся квалиметрия [3], теория важности критериев [4], теория активных систем [5] и теория управления организационными системами [6]. В рамках последних двух теорий для решения задачи многокритериального выбора применяются матричные механизмы комплексного оценивания [7, 8], которые разрабатывались начиная с 70-х гг. XX в. и активно совершенствуются в настоящее время [9-13] разными исследователями. Преимущество матричных механизмов комплексного оценивания заключается в том, что с использованием простых категорических суждений эксперта, оценивающего состояние каждого свойства многопараметрического объекта, формируются составные правила вывода: «если i-е свойство … и j-е свойство …, то объект, по мнению эксперта, имеет … состояние». Например, если i-е свойство плохое и j-е свойство хорошее, то объект, по мнению эксперта, имеет удовлетворительное состояние. Набор таких правил удобно представлять в матричном виде, что и определило название данного метода. Эти правила составляют базис для ранжирования любых объектов, описываемых набором учтенных экспертом свойств. Учесть модальные суждения экспертов, усиливающие или ослабляющие свойства конкретных оцениваемых объектов выбора, позволила теория нечетких множеств [14], что нашло отражение в процедуре нечеткого комплексного оценивания, предложенной Д.А. Новиковым и его коллегами в работе [9]. Исследование нечеткой процедуры комплексного оценивания подробно описано в работах В.А. Харитонова (см., например, [11]). В обычном случае, без использования нечеткого комплексного оценивания, из-за дискретности шкал для точного ранжирования многопараметрических объектов необходимо увеличение делений этих шкал, что приводит к осложнению процедуры конструирования логических матриц свертки. В работе [13] показано, что, применив в процедуре нечеткого комплексного оценивания аддитивно-мультипликативный подход, удалось сделать матричную свертку на непрерывной области определения аргументов монотонной, и гладкой для стандартных функций свертки, и кусочно-гладкой на всем множестве определения аргументов свертки, что позволяет расширить применяемый набор инструментов исследования в задачах многокритериального выбора, оптимизации, а также управления. 2. Цель работы Целью данной работы является исследование возможности применения в процедуре нечеткого комплексного оценивания многопараметрических объектов управления, альтернативных [15] по отношению к традиционными максминным и вероятностным, в том числе аддитивно-мультипликативным, подходам к теоретико-множественным операциям над нечеткими множествами. 3. Нечеткая процедура комплексного оценивания Для осуществления нечеткой процедуры комплексного оценивания, обобщенный алгоритм которой представлен в [12], необходимы значения параметров, описывающих каждое свойство многопараметрического объекта, принадлежащее множеству действительных чисел, представить в виде нечетких чисел, т.е. фаззифицировать (от англ. fuzzy set - нечеткое множество). Фаззификация производится следующим образом: каждому дискретному значению шкалы комплексного оценивания, соответствующему критерию состояния параметра и имеющему некую интерпретацию, например: 1 - плохое, 2 - удовлетворительное, 3 - хорошее и 4 - отличное состояние критерия (в общем случае может быть любое число делений шкалы комплексного оценивания), строится нечеткое множество с треугольной функцией принадлежности (рис. 1). Тогда для любого значения, принадлежащего непрерывной шкале, определенной на шкале комплексного оценивания, можно вычислить значения функции принадлежности нечетких чисел, носителям которых принадлежит фаззифицируемое значение (см. рис. 1). Рис. 1. Фаззификация значения параметра, описывающего i-е свойство многопараметрического объекта (авторские результаты) Обратная задача - выбора представителя нечеткого числа - решается с помощью уравнения центра тяжести [11]: . (1) Фаззифицируя значения параметров, описывающих свойства оцениваемого объекта на непрерывной области определения (см. рис. 1), и используя процедуру нечеткого комплексного оценивания, определяем непрерывную функцию свертки. Для бинарной матрицы функцию свертки можно представить в виде трехмерной поверхности. В данной работе рассмотрим поверхности так называемых [11] стандартных функций, определенных на подмножествах матрицы свертки, образованных четырьмя соседними друг с другом элементами матрицы (таблица). Стандартные функции свертки (авторские результаты) № п/п Стандартная функция свертки Интерпретация стандартной функции свертки Заполнение четырех соседних элементов матрицы свертки 1 F0 Развитие частных критериев X1 и X2 не дает роста свертки mX(X1, X2) X1 m m x1+1 m m x1 X2 x2+1 x2 2 F1 Развитие обоих частных критериев X1 и X2 дает рост свертки m X (X1, X2) X1 m+1 m x1+1 m m x1 X2 x2+1 x2 3 F2 Развитие только второго критерия X2 дает рост свертки m X (X1, X2) X1 m+1 m x1+1 m+1 m x1 X2 x2+1 x2 4 F3 Развитие только первого критерия X1 дает рост свертки m X (X1, X2) X1 m+1 m+1 x1+1 m m x1 X2 x2+1 x2 5 F4 Развитие любого частного критерия (X1 или X2) дает рост свертки m X (X1, X2) X1 m+1 m+1 x1+1 m+1 m x1 X2 x2+1 x2 6 F5 Развитие любого частного критерия (X1 или X2) дает рост свертки m X (X1, X2), совместное развитие дает синергический эффект m + 2 X1 m+2 m+1 x1+1 m+1 m x1 X2 x2+1 x2 В данной работе ограничимся иллюстрацией F1, F2, F4 и F5. Не будем приводить стандартную функцию F0, так как очевидно, что образуется плоская поверхность и F3, ведь достаточно проиллюстрировать на примере стандартной функции F2, поскольку F3 = F2T (см. таблицу). Проекция этих поверхностей на область определения свертки образует набор кривых безразличия. 4. Исследование альтернативных подходов к операциям пересечения и объединения нечетких множеств Для операции пересечения к альтернативным [15] представлениям следует отнести: (2) (3) (4) для операции объединения: (5) (6) для . (7) Так, с использованием операций (2) и (5) были получены результаты, представленные на рис. 2. а б в г Рис. 2. Топологическое представление стандартных функций: а - F1; б - F2; в - F4; г - F5, полученное с использованием операций объединения (5) и пересечения (2) (авторские результаты) Как видно из рис. 2, первый, приведенный по порядку альтернативный подход к операциям пересечения и объединения нечетких множеств не применим к нечеткой процедуре комплексного оценивания. Это можно заключить из рис. 2, б, так как если задавать аргумент в нечетком виде, то для стандартной функции F2 должна получаться плоская поверхность. Второй из приведенных альтернативных подходов к операциям объединения (6) и пересечения (3) нечетких множеств также не применим, так как в результате объединения значения функции принадлежности свертки обнуляются везде, кроме границ подматрицы, на которой определена стандартная функция (рис. 3). Рис. 3. Топологическое представление стандартной функции F1, полученное с использованием операций объединения (6) и пересечения (3) (авторские результаты) Важно отметить, что результаты применения операций (4) и (7) зависят от неизвестного параметра p. Так, при p = 2 были получены результаты, представленные на рис. 4. а б в г Рис. 4. Топологическое представление стандартных функций: а - F1; б - F2; в - F4; г - F5, полученное с использованием операций объединения (7) и пересечения (4) (авторские результаты) При увеличении параметра p поверхности стандартных функций F2, F3 и F5 начинают сглаживаться, однако при этом стандартные функции F1 и F4 теряют монотонность (рис. 5). При стремлении p к бесконечности получим результат, близкий к результату, полученному с помощью максминного подхода, приведенного в [11]. а б Рис. 5. Проекция стандартной функции: а - F1; б - F4, полученная с использованием операций объединения (7) и пересечения (4) при параметре p = 10 (авторские результаты) Как видно из представленных рисунков (см. рис. 2-6), ни один из альтернативных подходов к операциям пересечения (2)-(4) и объединения (5)-(7) не делает матричную свертку монотонной, что будет приводить к погрешности процедуры комплексного оценивания и препятствовать ее практическому использованию. Заключение Среди подходов к теоретико-множественным операциям объединения и пересечения в данной работе рассматривались альтернативные по отношению к максминному, вероятностному и аддитивно-мультипликативному подходы, которые подробно были рассмотрены в [13]. Перечень исследуемых подходов может быть расширен, но полученные в данной работе результаты показывают, что матричная свертка не является монотонной. Это говорит о том, что при описанных подходах к фаззификации и дефаззификации единственным на данный момент подходом к теоретико-множественным операциям, делающим матричную свертку монотонной и кусочно-гладкой на всей области определения сворачиваемых аргументов, является аддитивно-мультипликативный [13].

About the authors

A. O. Alekseev

Perm National Research Polytechnic University

References

Statistics

Views

Abstract - 4

PDF (Russian) - 0

Refbacks

• There are currently no refbacks.