Аннотация

Аннотация

Изучается граничная задача оптимального управления, описываемая системой гиперболических уравнений второго порядка с краевыми условиями Гурса. Установлено необходимое условие оптимальности типа принципа максимума Понтрягина при обычных условиях гладкости на данные задачи. Для его обоснования применяется схема доказательства, аналогичная предложенной в работе [8].

Полный текст

Введение В работах [1-3] А.И. Егоров при помощи аналога метода приращений впервые получил необходимое условие оптимальности типа принципа Понтрягина в задачах оптимального управления системами Гурса - Дарбу. При этом, как и в случае оптимального управления обыкновенными дифференциальными уравнениями, сопряженное уравнение имело классический вид линейного дифференциального уравнения с частными производными второго порядка, дополненного краевыми условиями в классе кусочно-непрерывных управлений. Но во многих случаях подобные сопряженные уравнения не всегда имеют корректный вид без дополнительных очень жестких условий гладкости на данные задачи. В дальнейшем в работах В.И. Плотникова и В.И. Сумина [4], В.И. Сумина [5], С.С. Ахиева [6], С.С. Ахиева и К.Т. Ахмедова [7] и др. были введены сопряженные уравнения в виде операторного или двумерного интегрального уравнения типа Вольтерра с одномерными слагаемыми, носящие корректный характер и имеющие измеримое ограниченное решение в классе измеримых ограниченных управляющих функций. В работе [8] С.С. Ахиев для задачи оптимального управления системами Гурса - Дарбу ввел новое сопряженное уравнение при помощи метода, получившего название «метод разделения множителя Лагранжа на слагаемые». Отметим, что в [8] рассматривался случай распределенного управления. В настоящей работе (на основе модифицированной методики из [8]) изучается граничная задача оптимального управления системами Гурса - Дарбу и доказывается аналог принципа максимума Понтрягина. 1. Постановка задачи Рассмотрим задачу о минимуме функционала (1) при ограничениях (2) (3) (4) (5) (6) где - заданные n-мерная вектор-функция и скалярная функция соответственно, непрерывные по совокупности переменных вместе с частными производными по - заданные измеримые и ограниченные матричные функции; - заданная -мерная абсолютно непрерывная вектор-функция; - заданные числа; - заданный постоянный вектор; - заданная -мерная вектор-функция, непрерывная по совокупности переменных вместе с частными производными по и - заданные непрерывно дифференцируемые скалярные функции; - заданное непустое и ограниченное множество; - измеримая и ограниченная r-мерная управляющая вектор-функция. Каждую управляющую функцию с вышеприведенными свойствами назовем допустимым управлением. Предполагается, что при заданном допустимом управлении задача Коши (5)-(6) и задача Гурса (3)-(4) имеют единственное абсолютно непрерывное решение (в смысле [4, 9-11]) и соответственно. Допустимое управление , доставляющее минимум функционалу (1) при ограничениях (2)-(6), назовем оптимальным управлением, а соответствующий процесс - оптимальным процессом. Целью данной работы является дать новое доказательство принципа максимума Понтрягина в рассматриваемой задаче с помощью введения нетрадиционного сопряженного уравнения. 2. Формула приращения критерия качества Считая фиксированным допустимым процессом, через обозначим произвольный допустимый процесс и запишем приращение критерия качества: С другой стороны, ясно, что (7) , , , , (8) Пусть - некоторая -мерная вектор-функция из , такая, что ее можно представить в виде суммы двух -мерных вектор-функций и из . Кроме того, абсолютно непрерывна по на при почти всех , абсолютно непрерывна по на при почти всех , причем и абсолютно непрерывны соответственно по на и по на а - пока неизвестная -мерная вектор-функция. Умножая обе части соотношения (7) слева скалярно на (и соответственно (8) на ), а затем, интегрируя полученные равенства по (по получаем: , или, в обозначениях: , (9) Для упрощения записи обозначим: , ; , ; , ; . Используя формулу Тейлора и учитывая введенные обозначения, формулу (9) можно представить в следующем виде: (10) Здесь и в дальнейшем полагаем, что а величины определяются из соответствующих разложений: , , . Далее, применяя аналог формулы интегрирования по частям в определенном интеграле, получаем: (11) Учитывая (11), в формуле приращения (10) имеем: (12) Предположим, что существуют измеримые и ограниченные -мерные вектор-функции и , такие, что абсолютно непрерывна по в при почти всех , а абсолютно непрерывна по в при почти всех Тогда нетрудно убедиться в справедливости следующих тождеств: (13) . (14) Учитывая формулы (13) и (14) в (12), получаем: Далее, предположим, что для выполняются следующие соотношения: , , (15) , (16) , , (17) . Тогда формулу приращения (12) функционала качества (1) можно преобразовать к виду . (18) Задачу (15)-(17) назовем сопряженной системой для задачи (1)-(6). 3. Необходимое условие оптимальности Считая , оптимальным управлением в рассматриваемой задаче (1)-(6), его специальное приращение определим по формуле (19) где - достаточно малое число, - произвольная правильная точка (точка Лебега (см., например, [5, 11])) управления , . Через обозначим специальное приращение вектора состояния , отвечающее приращению (19) управления. Из оценок, приведенных, например, в работах [4, 9-11], следует, что , , , значит, , а из разложения (18) на основе теоремы о среднем получаем , откуда, в силу малости , имеем . Таким образом, мы доказали следующее утверждение. Теорема 1. Для оптимальности допустимого управления в задаче (1)-(6) необходимо, чтобы выполнялось условие максимума . 4. О сопряженном уравнении Перепишем задачу (15)-(17) в следующем эквивалентном виде: , , , (20) , , , , , , (21) , где , , - произвольные функции, - произвольный вектор. Совокупность этих параметров обозначим . При каждом фиксированном задача (20)-(21) является задачей Коши и имеет для каждого единственное решение . Все решения задачи (20)-(21) обладают важным свойством, которое отражено в следующей теореме. Теорема 2. Для всех решений задачи (20)-(21) сумма инвариантна, т.е. не меняется при изменении и является единственным в классе решением системы интегральных уравнений типа Вольтерра: Доказательство. Из системы (20) получаем: , , , . Отсюда с учетом условия (21) имеем: ,, (22) (23) Суммируя соотношения (22) и (23), получаем: Теорема полностью доказана. Заключение Рассматривается одна граничная задача оптимального управления, описываемая системой гиперболических уравнений с краевыми условиями Гурса. Используя аналог метода разделения множителя Лагранжа на слагаемые и модифицируя метод приращений, удалось построить новую формулу приращения функционала качества и доказать на ее основе необходимое условие оптимальности типа принципа максимума Понтрягина.