Abstract

Abstract

We study a boundary problem of optimal control, described by a system of second-order hyperbolic equations with Goursat boundary conditions. A necessary optimality condition of the Pontryagin maximum principle type is established under the usual smoothness conditions for such problems. For the proof we use an analog of the scheme proposed in [8].

Full Text

Введение В работах [1-3] А.И. Егоров при помощи аналога метода приращений впервые получил необходимое условие оптимальности типа принципа Понтрягина в задачах оптимального управления системами Гурса - Дарбу. При этом, как и в случае оптимального управления обыкновенными дифференциальными уравнениями, сопряженное уравнение имело классический вид линейного дифференциального уравнения с частными производными второго порядка, дополненного краевыми условиями в классе кусочно-непрерывных управлений. Но во многих случаях подобные сопряженные уравнения не всегда имеют корректный вид без дополнительных очень жестких условий гладкости на данные задачи. В дальнейшем в работах В.И. Плотникова и В.И. Сумина [4], В.И. Сумина [5], С.С. Ахиева [6], С.С. Ахиева и К.Т. Ахмедова [7] и др. были введены сопряженные уравнения в виде операторного или двумерного интегрального уравнения типа Вольтерра с одномерными слагаемыми, носящие корректный характер и имеющие измеримое ограниченное решение в классе измеримых ограниченных управляющих функций. В работе [8] С.С. Ахиев для задачи оптимального управления системами Гурса - Дарбу ввел новое сопряженное уравнение при помощи метода, получившего название «метод разделения множителя Лагранжа на слагаемые». Отметим, что в [8] рассматривался случай распределенного управления. В настоящей работе (на основе модифицированной методики из [8]) изучается граничная задача оптимального управления системами Гурса - Дарбу и доказывается аналог принципа максимума Понтрягина. 1. Постановка задачи Рассмотрим задачу о минимуме функционала (1) при ограничениях (2) (3) (4) (5) (6) где - заданные n-мерная вектор-функция и скалярная функция соответственно, непрерывные по совокупности переменных вместе с частными производными по - заданные измеримые и ограниченные матричные функции; - заданная -мерная абсолютно непрерывная вектор-функция; - заданные числа; - заданный постоянный вектор; - заданная -мерная вектор-функция, непрерывная по совокупности переменных вместе с частными производными по и - заданные непрерывно дифференцируемые скалярные функции; - заданное непустое и ограниченное множество; - измеримая и ограниченная r-мерная управляющая вектор-функция. Каждую управляющую функцию с вышеприведенными свойствами назовем допустимым управлением. Предполагается, что при заданном допустимом управлении задача Коши (5)-(6) и задача Гурса (3)-(4) имеют единственное абсолютно непрерывное решение (в смысле [4, 9-11]) и соответственно. Допустимое управление , доставляющее минимум функционалу (1) при ограничениях (2)-(6), назовем оптимальным управлением, а соответствующий процесс - оптимальным процессом. Целью данной работы является дать новое доказательство принципа максимума Понтрягина в рассматриваемой задаче с помощью введения нетрадиционного сопряженного уравнения. 2. Формула приращения критерия качества Считая фиксированным допустимым процессом, через обозначим произвольный допустимый процесс и запишем приращение критерия качества: С другой стороны, ясно, что (7) , , , , (8) Пусть - некоторая -мерная вектор-функция из , такая, что ее можно представить в виде суммы двух -мерных вектор-функций и из . Кроме того, абсолютно непрерывна по на при почти всех , абсолютно непрерывна по на при почти всех , причем и абсолютно непрерывны соответственно по на и по на а - пока неизвестная -мерная вектор-функция. Умножая обе части соотношения (7) слева скалярно на (и соответственно (8) на ), а затем, интегрируя полученные равенства по (по получаем: , или, в обозначениях: , (9) Для упрощения записи обозначим: , ; , ; , ; . Используя формулу Тейлора и учитывая введенные обозначения, формулу (9) можно представить в следующем виде: (10) Здесь и в дальнейшем полагаем, что а величины определяются из соответствующих разложений: , , . Далее, применяя аналог формулы интегрирования по частям в определенном интеграле, получаем: (11) Учитывая (11), в формуле приращения (10) имеем: (12) Предположим, что существуют измеримые и ограниченные -мерные вектор-функции и , такие, что абсолютно непрерывна по в при почти всех , а абсолютно непрерывна по в при почти всех Тогда нетрудно убедиться в справедливости следующих тождеств: (13) . (14) Учитывая формулы (13) и (14) в (12), получаем: Далее, предположим, что для выполняются следующие соотношения: , , (15) , (16) , , (17) . Тогда формулу приращения (12) функционала качества (1) можно преобразовать к виду . (18) Задачу (15)-(17) назовем сопряженной системой для задачи (1)-(6). 3. Необходимое условие оптимальности Считая , оптимальным управлением в рассматриваемой задаче (1)-(6), его специальное приращение определим по формуле (19) где - достаточно малое число, - произвольная правильная точка (точка Лебега (см., например, [5, 11])) управления , . Через обозначим специальное приращение вектора состояния , отвечающее приращению (19) управления. Из оценок, приведенных, например, в работах [4, 9-11], следует, что , , , значит, , а из разложения (18) на основе теоремы о среднем получаем , откуда, в силу малости , имеем . Таким образом, мы доказали следующее утверждение. Теорема 1. Для оптимальности допустимого управления в задаче (1)-(6) необходимо, чтобы выполнялось условие максимума . 4. О сопряженном уравнении Перепишем задачу (15)-(17) в следующем эквивалентном виде: , , , (20) , , , , , , (21) , где , , - произвольные функции, - произвольный вектор. Совокупность этих параметров обозначим . При каждом фиксированном задача (20)-(21) является задачей Коши и имеет для каждого единственное решение . Все решения задачи (20)-(21) обладают важным свойством, которое отражено в следующей теореме. Теорема 2. Для всех решений задачи (20)-(21) сумма инвариантна, т.е. не меняется при изменении и является единственным в классе решением системы интегральных уравнений типа Вольтерра: Доказательство. Из системы (20) получаем: , , , . Отсюда с учетом условия (21) имеем: ,, (22) (23) Суммируя соотношения (22) и (23), получаем: Теорема полностью доказана. Заключение Рассматривается одна граничная задача оптимального управления, описываемая системой гиперболических уравнений с краевыми условиями Гурса. Используя аналог метода разделения множителя Лагранжа на слагаемые и модифицируя метод приращений, удалось построить новую формулу приращения функционала качества и доказать на ее основе необходимое условие оптимальности типа принципа максимума Понтрягина.