Прикладная математика и вопросы управления

Разработка компьютерных моделей ортопедических изделий позволяет добавить в арсенал травматолога-ортопеда цифровой инструментарий, позволяющий рассчитать биомеханические последствия выбранной тактики реконструктивно-восстановительного лечения. Так, при использовании метода наружной чрескостной фиксации с помощью цифрового двойника аппарата Илизарова модификации Багирова оперирующий хирург на предоперационном этапе может оценить влияние выбора компоновки аппарата на риск возможной дестабилизации взаимоотношений костных фрагментов.Клиническими показаниями к использованию аппарата Илизарова модификации Багирова являются переломы костей голени, которые составляют до 45 % случаев от всех переломов длинных костей скелета человека. Сращение переломов сопровождается большим числом осложнений, поэтому проблема улучшения результатов лечения пациентов с указанной травмой по-прежнему актуальна для современной травматологии и ортопедии. Использование аппаратов наружной фиксации позволяет также обеспечить стабильно-функциональную фиксацию костных фрагментов для устранения сложных деформаций костей конечностей. Применение компрессионно-дистракционных аппаратов позволяет расширить потенциальное использование аппаратов наружной фиксации для решения задач дистракционного остеогенеза. Биомеханические взаимоотношения в системе «кость – аппарат» являются значимым фактором, позволяющим объективизировать компоновку аппарата и режим двигательной реабилитации в раннем послеоперационном периоде.В рамках проведенного исследования была построена математическая модель аппарата Илизарова модификации Багирова и с помощью метода конечных элементов рассчитано напряженно-деформированное состояние компонент конструкции аппарата при модельных нагрузках. Для валидации построенной компьютерной модели был проведен натурный эксперимент на универсальной испытательной машине Walter+Bai AG LFM-50. Исследуемая конструкция была подвергнута осевому сжатию нагрузкой до 1000 Н. В результате проведенного сравнительного анализа резистентности аппарата осевому сжатию, выявлено, что результаты расчета методом конечных элементов с достаточной точностью описывают результаты эксперимента. Сопоставление результатов расчетов с экспериментальными данными позволяет утверждать, что предложенная компьютерная модель корректно описывает механическое поведение исследованного медицинского изделия и может быть использована при проведении вычислительных экспериментов для оценки функциональности различных компоновок аппарата.

Метод наименьших модулей представляет собой одну из наиболее распространенных альтернатив методу наименьших квадратов в регрессионном анализе. Он позволяет получать устойчивые оценки коэффициентов, когда плотность вероятности случайных ошибок имеет более вытянутые хвосты по сравнению с нормальным распределением. Однако при сочетании нескольких нарушений условий Гаусса – Маркова, например, при одностороннем характере выбросов и наличии корреляции между объясняющими переменными и случайными ошибками, метод наименьших модулей также не позволяет обеспечить приемлемую точность оценивания регрессионных зависимостей. Одним из перспективных путей решения данной проблемы может оказаться взвешенный метод наименьших модулей.Рассмотрена задача определения параметров линейных регрессионных моделей на основе взвешенного метода наименьших модулей. Описаны точные алгоритмы ее решения. Исследована вычислительная эффективность точных алгоритмов решения задачи взвешенного метода наименьших модулей. Доказано, что добавление весовых коэффициентов в алгоритмы покоординатного и модифицированного градиентного спусков не вызвало изменений в плане вычислительной сложности и точности решения. Тем не менее зафиксирован малый рост времени выполнения вычислительных экспериментов в связи с добавлением дополнительной операции в алгоритмы спуска. Данная зависимость более заметно проявляется в покоординатном варианте, что связано с тем, это значение целевой функции в нем определяется на каждой узловой точке узловой прямой вплоть до нахождения минимума, в то время как у градиентного спуска оно определяется только в точке экстремума.В результате проведения сравнительного анализа с методом проектирования градиента и решениями прямой и двойственной задач линейного программирования при помощи симплекс-метода установлено, что они более чем на порядок уступают градиентному спуску по узловым прямым в плане времени вычислений. Показано, что метод проектирования градиента не гарантирует нахождение точного решения задачи.

Предложена модель процесса тестирования в нотации раскрашенных сетей Петри. Перед началом моделирования исследованы информационные потоки процесса освоения студентами кафедры прикладных информационных технологий ИОН РАНХиГС дисциплины «Информатика» в нотации IDEF3. В процессе построения модели решалась следующая задача: пусть дана сеть Петри, состоящая из множества позиций P = {p1, p2, ..., pn} и множества переходов T = {t1, t2, ..., tm}. Сеть моделирует процесс тестирования. Тогда существуют такие состояния позиций P, что для каждого перехода T в сети выполнены следующие условия:1. ∀ti ∈ T: (∀pi' ∈ Pred(tj): pi'(pj) = 1) → T(P) = 1, где Pred(tj) – множество всех предшествующих позиций перехода ti.2. ∀tj ∈ T: tj(pj) = 1 → (∀p' ∈ Succ(tj): pj'(pj) = 1), где Succ(tj) – множество всех следующих позиций перехода tj. То есть, необходимо формализовать учебный процесс с использованием раскрашенной сети Петри. Найти такую маркировку, которая может быть достигнута в данной раскрашенной сети Петри, удовлетворяющую следующему условию: существует такая последовательность переходов (транзакций), начиная с начальной маркировки, что каждая последующая маркировка получается применением соответствующего перехода к предыдущей маркировке. То есть: ∃ M0: (начальная маркировка) → M*, где → M* обозначает рефлексивное и транзитивное замыкание отношения переходов в сети Петри.Решение задачи достижимости маркировки сети дало понятие оптимального сценария проведения контроля освоения компетенций по дисциплине: некоторые задания и вопросы не обязательно включать в тестирование. Приведены различные сценарии контроля успеваемости обучающегося на примере тестирования по дисциплине. Например, один из вариантов сценария тестирования предполагал наличие общего ресурса с вопросами и заданиями по исследуемым пяти темам. В базе находилось 50 вопросов. Ответ на каждый вопрос может быть оценен от нуля до 10 баллов. Тест считается пройденным, если обучающийся набрал не меньше 41 балла. Также фиксировались номера выполненных заданий и вопросы с правильным ответом.Другой вариант тестирования: по каждой теме 10 вопросов, и фиксировалось время ответа на вопрос (задание).Проведен матричный анализ модели. Вектор начальной маркировки μ(pi) = {47, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0} и μk = {30, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 41} на момент окончания тестирования. Анализ достижимости маркировки μk позволил получить одну из последовательностей срабатывания переходов U k-1 = (t1, t3, t4, t3, t3, t4), где переходы t1 – t4 фиксируют начало и окончание элементарного процесса (например, начало тестирования – окончание тестирования).Анализ модели позволил исследовать динамику изучения тем дисциплины «Информатика»: сколько раз обучающийся возвращался к повторному прочтению материалов модуля, сколько раз обращался к дополнительному материалу. Мониторы, прикрепленные к переходам, позволили определить время на выполнение каждой операции и составить протоколы изучения дисциплины.

Рассматривается применение методов нечеткого моделирования для анализа эффективности инвестиционных инструментов. При выборе финансовой стратегии в ситуации неопределенности такой анализ помогает оценивать и принимать решение. Поскольку параметры финансовой системы в условиях неопределенности бывает невозможно установить точно, то возникают задачи, которые описываются рядом характеристик, имеющих нечеткую природу. В работе была задана система показателей для оценки инвестиционной стратегии. Значимость каждого показателя устанавливается с помощью весовых коэффициентов, для определения которых используется метод парных сравнений и шкала Саати. Для описания финансовых инструментов введены специальные лингвистические переменные, для каждой из которых были заданы терм-множества. Каждый терм представляет собой нечеткое число трапециевидного типа. После фиксации текущих значений, характеризующих финансовую систему, производится процедура фаззификации, то есть введения нечеткости. Затем определенным образом выполняется операция свертки по всем уровням показателей модели с учетом весовых коэффициентов значимости. В результате получаем общую агрегированную характеристику инвестиционного инструмента, по которой возможно сделать вывод относительно уровня его эффективности. На примерах продемонстрировано применение полученных результатов.