Abstract

Abstract

Представлено решение уравнений нестационарного воздухораспределения в рудничных вентиляционных сетях в стационарном случае. Оценена погрешность применения классических законов расчета вентиляционных сетей на учет влияния неоднородного поля давлений на сжимаемость воздушной среды.

Full Text

Расчет стационарного воздухораспределения в рудничной вентиляционной сети сводится к применению законов Кирхгофа и закона для падения давления на участке сети и последующему решению полученной системы уравнений. Но, как это будет показано ниже, данные законы в том виде, в котором они используются для расчета стационарного воздухораспределения, носят приближенный характер и могут вносить погрешности в проводимые расчеты. Целью данной работы является исследование вида реальных законов и оценка степени справедливости приближений при современных расчетах. Как известно, реальные законы воздухораспределения, учитывающие как стационарные, так и нестационарные процессы, имеют вид следующей системы уравнений [1]: (1) где P - давление в некоторый момент времени в точке с координатой x; r - удельное аэродинамическое сопротивление; S - площадь сечения выработки; v - осредненная по сечению скорость движения воздушной среды; ρ - плотность воздуха; K - модуль упругости воздуха. В случае стационарного воздухораспределения данная система упрощается за счет обнуления производных по времени и принимает вид (2) Если принять воздух несжимаемой средой (это утверждение эквивалентно условию ), то решение данной системы будет иметь вид ; (3) . (4) Выражение (3) есть известный закон депрессии для участка сети сопротивлением R [2]. Выражение (4) по сути представляет собой первый закон Кирхгофа [2], так как после интегрирования и домножения на S его можно привести к виду (5) Причем уравнение (5) должно выполняться на каждом участке вентиляционной сети. Очевидно, что применение к узлу сети даст первый закон Кирхгофа в явном виде: (6) где суммирование производится по всем ветвям, входящим в узел. Полученные известные законы получаются, как это видно, с тем условием, что воздух принимается несжимаемой средой. Для оценки справедливости применения данных законов при расчете воздухораспределения в сети решим исходную систему (2) с учетом того, что воздух является сжимаемой средой. В итоге получим следующие выражения: (7) (8) где - скорость звука в воздухе. Чтобы получить точное выражение для депрессии на участке ветви, необходимо знать зависимость скорости от координаты, а затем с ее учетом вычислить интеграл в выражении. Данная зависимость неявно дается выражением (8), из которого выразить ее явно не представляется возможным (7). Однако, даже используя выражения (7) и (8), можно провести некоторый анализ. Начнем с анализа выражения (8). Его можно представить в виде графика, приведенного на рисунке. Рис. Зависимость осредненной скорости от продольной координаты движения Применительно к рудничной вентиляции интерес представляют области, когда скорость v много меньше скорости звука c. В этой области график монотонно возрастает и, как это видно, с ростом координаты происходит увеличение скорости. Это вызвано тем, что воздух движется в сторону меньшего давления. А раз при решении задачи воздух принимали сжимаемой средой, то в области меньших давлений (больших координат) выделенная масса воздуха начинает занимать больший объем, а значит, объемный расход не сохраняется по координате. Для количественной оценки необходимо вычислить следующий определенный интеграл, считая верхнюю границу интегрирования по скорости x неизвестной: . (9) Получим следующее трансцендентое уравнение относительно неизвестной x: . (10) Разница покажет погрешность использования первого закона Кирхгофа. Оценим скорость изменения объемного расхода по выработке при помощи полученного выражения (8). Для этого продифференцируем правую и левую часть данного выражения по координате x и выразим из полученного выражения продольный градиент скорости: . (11) Для анализа примем средние характеристики параметров, входящих в формулу r = 0,002 кмюрг/м, S = 25 м2, v = 15 м/с, ρ = 1,23 кг/м3, K = 126 кПа. Подстановка значений в выражение (11) дает значение для поправки порядка ~0,03, т.е. около 3 %. Естественно, на практике решения вентиляционных задач такой погрешностью можно пренебречь. Теперь проанализируем уравнение (7) для депрессии на участке ветви. Как уже отмечалось, проинтегрировать его и получить зависимость в явном виде не представляется возможным, поэтому сразу перейдем к количественной оценке погрешности. Как было показано ниже, изменение скорости с координатой происходит весьма незначительно, поэтому можно принять скорость независящей от координаты. Тогда интегрирование выражения становится тривиальным и дает следующий закон для депрессии ветви длиной l: (12) При сравнении данного выражения с существующим выражением (3) очевидно, что поправку вносит множитель . Приняв скорость звука в воздухе 320 м/с, а скорость воздуха в рудничной вентиляционной сети 15 м/с, получим, что данный множитель равен ~0,998, что эквивалентно погрешности в 0,002 %. Естественно, такой погрешностью на практике можно пренебречь. Таким образом, можно сделать вывод, что использование классических законов Кирхгофа и формулы для депрессии на вентиляционном участке вносит несущественную погрешность при расчете сетей, поэтому на практике решения вентиляционных задач наличие неоднородного поля давлений и его влияние на сжимаемую воздушную среду крайне незначительно.