# Abstract

This paper proposes mathematical models of mechanical systems "pipeline - pressure sensor" designed to control the pressure of the working medium in the combustion chambers of engines. In such systems, to mitigate the impact of vibration accelerations and high temperatures, the sensor is connected to the engine using a pipeline and is located at some distance from it. The movement of the working medium is described by linear models of fluid and gas mechanics. To describe the dynamics of an elastic sensitive element, linear models of the mechanics of a solid deformable body are used. Based on linear differential equations with partial derivatives, mathematical formulations of problems are proposed that correspond to three-dimensional models of pressure measurement systems in gas-liquid media for some pipeline cross-sectional shapes, namely, for a pipeline with a rectangular cross-section, with a section in the form of a sector and in the form of a ring. By introducing integral characteristics, the solution of problems is reduced to studying one-dimensional models. Equations have been obtained that make it possible to determine the pressure of the working medium in the combustion chamber at each moment of time by the value of deformation of the sensitive element of the sensor. Analytical and numerical-analytical methods for solving the corresponding initial-boundary value problems for systems of differential equations are proposed. In the analytical approach, the solution of the problem is reduced to solving a differential equation with a deviating argument. The numerical-analytical study of the problem is based on the application of the Galerkin method. Also, a numerical experiment was carried out and examples of calculating the deformation of the sensitive element of the sensor in the case of rigid fastening when specifying specific values of the mechanical parameters of the system are presented, also during setting the law of change in the excess pressure of the working medium in the engine.

# Full Text

Первичным звеном приборного оборудования для измерения давления газожидкостной среды является датчик. Принципы работы датчиков давления, их технические характеристики, а также современное состояние гибких датчиков давления и их практическое применение описываются, например, в работах [1-11]. В частности, в работах [3,4] исследуется движение манометрической трубчатой пружины, совершающей колебания в плоскости кривизны центральной оси в вязкой среде. В работе [9] обобщены результаты исследования высокочувствительного датчика давления, изготовленного на основе микроэлектромеханических систем (МЭМС). Работы [10-11] посвящены математическому моделированию и исследованию диагностики распределения давления и импульсного сканирования по длине трехфазного пьезоэлектролюминесцентного оптоволоконного датчика. Для ослабления воздействий виброускорений и высоких температур датчик соединяется с рабочей камерой сгорания двигателя с помощью трубопровода. В связи с этим, при проектировании систем измерения давления возникает проблема исследования динамики и устойчивости совместных колебаний деформируемого элемента датчика и рабочей среды в трубопроводе. Подобный анализ особенно необходим для изучения поведения системы при нестационарном режиме работы двигателя (например, при взлете или посадке самолета, при возникновении пульсирующего режима работы двигателя и т.д.). В частности, задача состоит в получении и исследовании уравнений, связывающих закон изменения давления рабочей среды на входе в трубопровод (на выходе из камеры сгорания двигателя) и деформацию упругого элемента датчика, и предназначенных по величине деформации чувствительного элемента рассчитать давление в двигателе. Исследованию динамики и устойчивости трубопроводов и их элементов при движении внутри них жидкости или газа посвящены работы [12-16] и многие другие. В работе [17] проведено исследование математической модели системы «трубопровод-датчик давления» для осесимметричной трубы в случае несжимаемости рабочей среды. Математическое моделирование совместной динамики чувствительного элемента датчика давления и сжимаемой рабочей среды в трубопроводе на основе одномерной и плоской двумерной моделей проводилось в работах [18,19]. В настоящей работе исследуется совместная динамика чувствительного элемента датчика давления и рабочей среды в трубопроводе на основе математических моделей, представляющих собой начально-краевые задачи для систем дифференциальных уравнений. Предполагается, что рабочая среда идеальная и сжимаемая. Предложены трехмерные модели с разными сечениями трубопровода: прямоугольник, сектор, кольцо. Использование трубопроводов с различными сечениями предназначено для обеспечения наибольшей эффективности охлаждения рабочей среды за счет увеличения площади поверхности контакта трубопровода с внешней охлаждающей средой (за счет увеличения периметра сечения трубопровода). Введение интегральных характеристик основных величин динамических систем позволило значительно упростить решение задач за счет сведения трехмерных задач к одномерным, исследование которых реализовано двумя способами: аналитическое исследование, приводящее к решению уравнения с отклоняющимся аргументом, и численно-аналитическое исследование на основе метода Галеркина. С помощью программного комплекса [20] проведены численные эксперименты и построены графики деформации чувствительного элемента датчика.

### P. A Velmisov

Ulyanovsk State Technical University, Ulyanovsk, Russian Federation

### Yu. A Tamarova

Ulyanovsk State Technical University, Ulyanovsk, Russian Federation

# References

1. Проектирование упругих элементов нано- и микроэлектромеханических систем / Е. М. Белозубов [и др.] // Измерительная техника. – 2011. – №1. – С. 17-19
2. Казарян А.А., Грошев Г.П. Универсальный датчик давления // Измерительная техника. – 2008. – №3. – С. 26-30
3. Пирогов С.П. Манометрические трубчатые пружины. – С.Петербург: Недра, 2009. – 276 с
4. Пирогов С.П., Черенцов Д.А. Теоретические основы проектирования вибростойких манометров // Измерительная техника. – 2016. – №8. – С. 38-41
5. Эткин Л.Г. Виброчастотные датчики. Теория и практика. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2004. – 407 с
6. Chen, J. Flexible Pressure Sensors and Their Applications // Highlights in Science, Engineering and Technology. – 2023. – Vol. 44. – pp. 54–60. doi: 10.54097/hset.v44i.7193
7. Hou, Xing-Yu, Guo, Chuan-Fei. Sensing mechanisms and applications of flexible pressure sensors // Acta Physica Sinica. – 2020. – 69(17). – 178102. doi: 10.7498/aps.69.20200987
8. Huang Y, Fan X, Chen S, et al. Emerging Technologies of Flexible Pressure Sensors: Materials, Modeling, Devices, and Manufacturing // Advanced Functional Materials. – 2019. – Vol. 29, issue 12. – 1808509. doi: 10.1002/adfm.201808509
9. Basov, Mikhail, Prigodskiy, Denis. Investigation of sensitive element for pressure sensor based on bipolar piezotransistor. – 2021. doi: 10.21203/rs.3.rs-677129/v1
10. Паньков А.А. Математическое моделирование пьезоэлектролюминесцентного эффекта и диагностика распределения давления по длине оптоволоконного датчика // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. – 2016. - №4. – С. 289-302. doi: 10.15593/perm.mech/2016.4.17
11. Паньков А.А. Математическая модель импульсного сканирования давления по длине пьезоэлектролюминесцентного оптоволоконного датчика // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. – 2018. - №1. – С. 73-82. doi: 10.15593/perm.mech/2018.1.06
12. Paidoussis, Michael P. The canonical problem of the fluid-conveying pipe and radiation of the knowledge gained to other dynamics problems across applied mechanics // Journal of Sound and Vibration. – 2008. – No. 3 (310). – pp. 462–492
13. Kheiri M., Paidoussis M.P. Dynamics and stability of a flexible pinned-free cylinder in axial flow // Journal of Fluids and Structures. – 2015. – V. 55. – pp.204–217
14. Aulisa E., Ibragimov A., Kaya-Cekin E.Y. Fluid structure interaction problem with changing thickness beam and slightly compressible fluid // Discrete and Continuous Dynamical Systems, Ser. S. – 2014. – V. 7, no. 6. – pp. 1133–1148
15. Gatica, G.N., Heuer, N., Meddahi, S. (2014) Coupling of mixed finite element and stabilized boundary element methods for a fluid-solid interaction problem in 3D. // Numer. Methods Partial Differ. Equations 30. – 2014. – № 4. – pp. 1211-1233
16. Tian, Fang-Bao FSI modeling with the DSD/SST method for the fluid and finite difference method for the structure // Comput. Mech. – 2014. – 54, № 2. – pp. 581-589
17. Velmisov Petr and Pokladova Yu.V..(2019). Mathematical modelling of the "Pipeline – pressure sensor" system // Journal of Physics: Conference Series. – 2019. – 1353. 012085. doi: 10.1088/1742-6596/1353/1/012085
18. Velmisov P.A., Tamarova Y.A., Pokladova Y.V. Mathematical modeling of pressure monitoring systems in fluid and gaseous media // AIP Conference Proceedings. – 2021. – 2333. – 120004. doi: 10.1063/5.0041778
19. Velmisov P.A., Tamarova Y.A., Pokladova Y.V. Mathematical modeling of a class of aerohydroelastic systems // Journal of Mathematical Sciences (United States). – 2021. – 255(5). – pp. 587-594. doi: 10.1007/s10958-021-05395-2
20. Тамарова Ю. А., Вельмисов П. А., Анкилов А. В. Комплекс программ для математического моделирования механической системы «трубопровод – датчик давления», Свидетельство о регистрации программы для ЭВМ 2022615319, 30.03.2022, заявка №2022615014 от 28.03.2022

# Statistics

#### Views

Abstract - 35

PDF (Russian) - 15

#### PlumX

Copyright (c) 2024 Velmisov P.A., Tamarova Y.A.