Full Text

Введение Рассмотрим стационарную задачу о плоской деформации образца из трабекулярной костной ткани как задачу линейной теории упругости анизотропного тела, дополненную кинетическими уравнениями, описывающими перестройку костной ткани. Математическая постановка задачи состоит из 21 скалярного уравнения [3]: уравнения равновесия: (1) определяющего и геометрического соотношений: , (2.1) , (2.2) эволюционного уравнения, описывающего изменение ориентации трабекул в рассматриваемой области: , (3) эволюционного уравнения, описывающего изменение плотности губчатой костной ткани в рассматриваемой области: , (4) граничных условий: (5) начальных условий: (6) где - константы [3, 4], сут-1; - константы [8, 9], ГПа; - девиатор тензора структуры (отвечает за направление трабекул); - изменение доли твердого объема (отвечает за пористость). Интересно посмотреть на поведение трабекулярной костной ткани под нагрузкой в момент времени, когда ее структура находится в состоянии равновесия. Для примера кость моделируется как прямоугольная пластина, нагруженная с одного торца растягивающей нагрузкой, а с другого конца пластина жестко закреплена (рис. 1). Рис. 1. Схематичное представление модели В зависимости от того, какие данные заданы и какие нужно найти, можно выделить три типа задач: 1. Даны найти 2. Даны , найти 3. Даны найти Решение стационарных задач Определение напряженно-деформированного состояния Решение первой задачи является ответом на вопрос: какое напряженно-деформированное состояние реализуется в кости определенной микроструктуры под заданной нагрузкой? Определяющее соотношение (2.1) представляет собой форму записи обобщенного закона Гука , в котором тензор упругих констант является симметричным тензором четвертого ранга, зависящим от структуры материала следующим образом (используется нотация Фойгта): , , , (7) В ANSYS уравнения (7) записываются в таблицу свойств материала командой TBDATA. Напряженно-деформированное состояние определяется в результате решения задачи методом конечных элементов с учетом внешних сил и ограничений на перемещения (рис. 2). Для решения задачи в ANSYS используем конечный элемент Plane182. Аналитическое решение задачи требует индивидуального подхода к получению тензоров напряжений и деформации. Решение задачи на рис. 1 аналитическим методом можно получить, сделав следующие предположения. Допустим, что реализуется плоское напряженное состояние (). Тогда благодаря принципу Сен-Венана можно заменить влияние заделки неким напряжением действующим на поперечное сечение (см. рис 1). Из уравнения равновесия для оси находится Так как касательные и нормальные напряжения, действующие на площадках, перпендикулярных оси отсутствуют, то Рис. 2. Компоненты тензора напряжений и деформации для сечения в ANSYS Оставшиеся 4 неизвестных () находятся из четырех уравнений закона Гука (8) Тогда , . (9) Тот же результат получается из четырех уравнений, записанных через матрицу податливости, (10) С учетом (1) и (2.1), а также зная, что компоненты тензора равны нулю при получаются следующие значения: , , . (11) Аналитическое решение (11) совпадает с численным с точностью Связь компонент тензора малой деформации с перемещениями определяется формулами Коши: (12) а б в г д е Рис. 3. Осевые перемещения (а, в, д) и относительная погрешность (б, г, е) численного решения в сечении (м), Определяя перемещения путем интегрирования, получим (13) Постоянные определяются из условий закрепления . (14) Удовлетворяя им, получим (15) а б в Рис. 4. Изолинии перемещений по оси при: а - б - ; в - Рассмотрим перемещения в поперечном сечении с координатой (рис. 3). На всех трех графиках относительная погрешность меньше 1%. Несмотря на то что нагрузка равномерно распределена по краю, перемещение балки вдоль этой оси происходит по параболе с максимальным отклонением от прямой линии, на три порядка отличающимся от величины самого перемещения (см. рис. 3, график ), поэтому на рис. 4, а, б небольшое скругление сечений видно только вблизи заделки. Рассмотрим контурные графики перемещений при задании различных компонент девиатора тензора структуры, в частности при его повороте на угол (см. рис. 4, в). а б в г д е Рис. 5. Осевые перемещения (а, в, д) и относительная погрешность (б, г, е) численного решения в сечении (м), Аналитическое решение (15) говорит о том, что в общем случае анизотропии при растяжении стержень не только удлиняется в направлении силы и сокращается в поперечных направлениях, но еще и испытывает сдвиги во всех плоскостях, параллельных координатным [5]. Однако используемые в [5] формулы для деформации и перемещений в случае растяжения анизотропного стержня нельзя применять в данной задаче из-за сделанных изначально предположений (в частности, из-за предположения о плоском напряженном состоянии). Рассмотрим поперечные сечения при анизотропии . В качестве аналитического решения используем соотношение (15). Из графиков на рис. 5 видно, что перемещения в значительной степени зависят от значений компонент тензора поэтому в случае анизотропии соотношение применять неверно. Отыскание параметров структуры Решение второй задачи является ответом на вопрос: какой микроструктурой обладает кость, находящаяся в заданном напряженно-деформированным состоянии? Исходные данные возьмем из решения предыдущей задачи, а именно значения компонент тензора напряжений и деформации. Требуется доказать, что при и Для этого определяющее соотношение (2.1) преобразуется в систему , (16) где . . .. Тогда Точность решения Отыскание механических свойств материала Задание в определенном виде определяет тип упругой симметрии, реализуемый в материале. Когда используя физическое соотношение для изотропного тела, можно найти технические константы (17) Тогда модуль Юнга и коэффициент Пуассона находятся по формулам (18) Заключение Опираясь на кинетические уравнения феноменологической теории адаптивной упругости, предложенные S. Cowin для описания перестройки архитектуры трабекулярной костной ткани, вызванной выходом локальной деформации кости за пределы lazy zone (диапазон деформаций, внутри которого не происходит изменений в структуре), авторы предложили уравнения, позволяющие анализировать костную ткань (напряженно-деформированное состояние, структуру и пористость, упругие свойства материала) в гомеостазе. Сравнение аналитических решений с результатами расчета в ANSYS показало работоспособность математической модели.

About the authors

T. N Chikova

A. A Kichenko

V. M Tverier

Y. I Nyashin

References

Statistics

Views

Abstract - 51

PDF (Russian) - 39

Refbacks

• There are currently no refbacks.