Full Text

Исследование напряженного состояния вокруг одиночных выработок в горном или грунтовом массиве является одной из актуальных задач геомеханики, что следует из работ П.М. Цимбаревича [1], В.Т. Глушко [2], Н.С. Булычева [3], И.А. Турчанинова [1-4], при этом особый интерес представляет собой задача распределения напряжений на контурах выработок, поскольку ее решение связано с проблемой обеспечения прочности последних. Форма поперечного сечения выработки определяется численными значениями действительных коэффициентов той или иной функции комплексного переменного, осуществляющей конформное отображение одной из канонических областей, чаще всего внутренности или внешности единичного круга, на внешность бесконечной односвязной области с отверстиями различной конфигурации. В качестве отображающих функций рационально использовать достаточно простые и хорошо изученные функции, в частности, полиномы, что показано в работах Л.В. Канторовича, П.Ф. Фильчакова, Г.Н. Савина [5-7]. Для решения ряда актуальных задач геомеханики проф. В.К. Цветковым [8; 9] предложена отображающая функция вида (1) где действительные числа, совершающая конформное отображение внутренности единичного круга на бесконечную односвязную область, границей которой является семейство простых замкнутых кривых. Рассмотрим подземную горизонтальную выработку, форма поперечного сечения которой определяется отображающей функцией (1). Будем полагать, что данная выработка расположена на достаточно большой глубине, причем по контуру выработки действует всестороннее равномерное давление, что позволяет рассматривать ее как подземное хранилище, например газообразных углеводородов. В работе [10] приведена формула для определения напряжений в точках контуров одиночных горизонтальных подземных выработок с заданной формой поперечного сечения, расположенных на конкретной глубине, причем контуры подвержены равномерному всестороннему давлению. В качестве примера, иллюстрирующего полученные результаты, приведено решение задачи о распределении напряжений на контуре выработки, имеющей форму поперечного сечения в виде трапеции. Другой важной задачей является задача определения допустимых значений глубин заложения выработок при заданных значениях равномерного давления и величины коэффициента бокового распора вмещающей породы. Решению этой задачи посвящены работы [11-15]. В статье [16] рассматривается решение задачи об определении допустимой величины равномерного давления, приложенного в точках контуров выработок, при заданных значениях глубины заложения и коэффициента бокового распора. В упомянутых выше работах рассмотрены выработки, имеющие трапециевидную, треугольную и иные формы поперечного сечения, кроме эллиптической. Вместе с тем выработки с поперечным сечением в виде эллипса и, как частный случай, круга на практике встречаются гораздо чаще, и поэтому задачи, связанные с исследованием напряженного состояния в точках контура таких выработок, а также изучение вопросов их прочности представляют значительный интерес. Целью данной статьи является исследование напряженного состояния в точках контура выработок, имеющих поперечное сечение в виде эллипса с фиксированным значением его большой полуоси, и определение допустимых значений глубины заложения и интенсивности равномерного давления при заданных значениях коэффициента бокового распора. Следуя [10], в качестве критерия прочности (устойчивости) используем условие , (2) согласно которому прочность контура выработки будет обеспечена, если на нем отсутствуют точки, в которых нормальные тангенциальные напряжения превосходят пределы прочности вмещающего грунта (горной породы) при растяжении и сжатии. Согласно [15] заметим, что формула, описывающая напряженное состояние в точках контура выработки, конфигурация которого определяется при помощи отображающей функции (1) при условии всестороннего равномерного давления заданной интенсивности, приложенного к контуру, имеет вид (3) где , (4) , , (5) ; , (6) где объемный вес пород; коэффициент бокового распора; глубина заложения выработки,величина равномерного давления, приложенного к контуру отверстия. Согласно [3] примем, что при контур выработки испытывает сжатие постоянной величины , а при растяжение той же интенсивности. Следуя [1], будем полагать, что (7) где наибольший линейный размер сечения выработки. Нахождение нулевых значений нормальных тангенциальных напряжений сводится к решению уравнения (8) где , , а определение экстремальных значений нормальных тангенциальных напряжений сводится к решению уравнений (9) где (10) Уравнение дает значения и ; уравнение (10) может быть решено на отрезке приближенно с нужной для практики степенью точности. Сформулируем следующие задачи. Задача А. Исследовать напряженное состояние в точках контуров выработок с эллиптической формой поперечного сечения, находящихся под действием всестороннего равномерного давления при заданных значениях коэффициента бокового распора горной породы. Задача Б. Определить величины допустимых глубин заложения подземных горизонтальных выработок с эллиптической формой поперечного сечения при заданных значениях коэффициента бокового распора горной породы и величины всестороннего равномерного давления, действующего по периметру контура ее поперечного сечения. Задача В. Определить величины допустимых значений всестороннего равномерного давления, действующего по периметру контура поперечного сечения подземной горизонтальной выработки эллиптической формы поперечного сечения, при заданных значениях глубин ее заложения и коэффициента бокового распора горной породы. Для решения этих задач предварительно положим, что (11) Тогда отображающая функция (1) примет вид (12) Функция (12) совершает конформное отображение внутренности единичного круга на бесконечную плоскость с эллиптическим отверстием, большая полуось которого неизменна и равна , а меньшая полуось может принимать значения . Понятно, что при увеличении значений параметра от нуля до единицы эллипс изменяет свою форму от прямолинейной щели длины до окружности радиуса . Подставляя значения коэффициентов (11) в формулы (4)-(6), а затем в формулу (3), получаем (13) Проводя аналогичные вычисления по формуле (8), получаем уравнение для нахождения значения углов, при которых тангенциальные нормальные напряжения равны 0 в виде (14) Подставляя значения коэффициентов (11) в соотношения (10) при помощи (4)-(6), убеждаемся в том, что уравнение (9) для нахождения точек с экстремальными значениями тангенциальных нормальных напряжений принимает вид Следовательно, экстремальные значения нормальных тангенциальных напряжений на отрезке достигаются в точках (15) При решении задач будем использовать два значения величины коэффициента бокового распора: и . Первое из них соответствует величине коэффициента Пуассона, которая в среднем для горных пород равна [1], а второе соответствует величине коэффициента Пуассона и предполагает гидростатическое распределение напряжений в породном массиве, которое задается при определении напряжений на больших глубинах [4]. Будем изучать распределение напряжений в точках контура поперечного сечения выработок, варьируя значения глубин их заложения Н, м, и интенсивности величин равномерного давления , т/м2, для чего положим: , , , , , (16) , , , (17) Назовем параметром эллипса действительное число , являющееся отношением малой полуоси эллипса к его большой полуоси. Согласно [11] . Рассмотрим семейство эллипсов, параметр которых принимает значения (18) Таким образом, согласно (18) будем рассматривать эллипсы с фиксированным значением большой полуоси при увеличивающихся значениях малой полуоси; полагая , получим выработку круглого сечения радиуса . Решение задачи А Пусть наибольший линейный размер эллипса, т.е. величина его большей полуоси, Тогда и согласно условию (7) . Следовательно, т/. Случай Воспользовавшись уравнением (14), вычислим значения углов , при которых тангенциальные нормальные напряжения равны 0 при различных заданных значениях интенсивности давления (16). Результаты вычислений представлены в табл. 1. Таблица 1 Значения углов q при различных значениях интенсивности давления Table 1 Angle values q at different values of pressure intensity р, т/м2 Окончание табл. 1 р, т/м2 Нет Нет Проведенные вычисления позволяют выделить участки, на которых при заданных значениях равномерного давления (16) и параметра эллипса (18) действуют растягивающие напряжения, а именно: при и т/м2 имеем и т/м2 имеем и т/м2 имеем и т/м2 имеем и т/м2 имеем и т/м2 имеем при и т/м2 имеем и т/м2 имеем и т/м2 имеем и т/м2 имеем и т/м2 имеем и т/м2 имеем при и т/м2 имеем и т/м2 имеем и т/м2 имеем и т/м2 имеем и т/м2 имеем и т/м2 имеем На остальных участках интервала действуют сжимающие напряжения. Эпюры нормальных тангенциальных напряжений для выработки эллиптической формы сечения при заданных значениях равномерного давления и значениях параметра эллипса и в случае приведены на рис. 1-3. Рис. 1. Эпюры тангенциальных нормальных напряжений при n1 = 0,2 и давлениях: а - p0, б - p2, в - p4 Fig. 1. Plots of tangential normal stresses at n1 = 0.2 at pressure a - p0, б - p2, в - p4 Рис. 2. Эпюры тангенциальных нормальных напряжений при n2 = 0,5 и давлениях: а - p0, б - p2, в - p4 Fig. 2. Plots of tangential normal stresses at n2 = 0.5 at pressure a - p0, б - p2, в - p4 Рис. 3. Эпюры тангенциальных нормальных напряжений при n3 = 0,8 и давлениях: а - p0, б - p2, в - p4 Fig. 3. Plots of tangential normal stresses at n3 = 0.8 at pressure a - p0, б - p2, в - p4 Заметим, что при для значений равномерного давления, изменяющегося в диапазоне т/м2, в точках контура действуют сжимающие напряжения; при других значениях давления на контуре существуют участки, на которых действуют как сжимающие, так и растягивающие напряжения. При и и значениях давления, превышающих величины и соответственно т/м2, в точках контура будут действовать только растягивающие напряжения. Теперь пусть подземные горизонтальные выработки, конфигурация которых определяется значениями параметра n (18), помещены на глубины, определяемые значениями (17). Вычислим, используя уравнение (14), нули нормальных тангенциальных напряжений, полагая интенсивность давления р в точках контуров выработок равной т/м2. Результаты проведенных вычислений приведены в табл. 2. Таблица 2 Значения углов q при различных значениях глубины заложения Table 2 Angle values q at different depths Н, м Выделим участки контуров, на которых при заданных значениях глубин заложения (17) и параметров эллипса (18) действуют растягивающие напряжения. Имеем: при имеем при имеем при имеем при имеем; при имеем при имеем при имеем при имеем; при имеем при имеем при имеем при имеем На остальных участках интервала действуют сжимающие напряжения. Проведенное исследование показывает, что при увеличении глубин заложения выработок в пределах одних и тех же значений параметра существенной перестройки эпюр нормальных тангенциальных напряжений не происходит. В качестве примера построим эпюры этих напряжений при глубине заложения выработки H2 = 500 м и параметрах эллипса, принимающих значения (18). Результат приведен на рис. 4. Рис. 4. Эпюры тангенциальных нормальных напряжений при H2 = 500 м и а - , б - , в - Fig. 4. Plots of tangential normal stresses at H2 = 500 m and а - , б - , в - Случай Подставляя данное значение коэффициента бокового распора в формулы (13) и (14), получим , (19) (20) Подстановкой значений (18) параметра в уравнения (19), (20) и принятой глубины заложения нетрудно убедиться в том, что при т/м2 соответственно для значений параметров на контурах выработок будут только сжимающие напряжения. Рассматривая значения давлений (16), можно выделить участки, на которых действуют растягивающие напряжения. Итак, при и т/м2 имеем и т/м2 имеем при и т/м2 имеем Эпюры нормальных тангенциальных напряжений, соответствующие выделенным участкам, представлены на рис. 5. Рис. 5. Эпюры нормальных тангенциальных напряжений при: а -и ; б - и ; в -и Fig. 5. Plots of normal tangential stresses at: а -и ; б - и ; в - и Заметим, что при всех рассматриваемых значениях глубин заложения (17) и параметра эллипса (18), при величине равномерного растягивающего давления, равной т/м2, получаем во всех точках контуров только сжимающие напряжения. Теперь положим , т.е. будем рассматривать выработку круглого сечения. Формула нормальных тангенциальных напряжений и уравнение для углов , при которых нормальные тангенциальные напряжения равны 0, принимают вид (21) (22) Случай Воспользовавшись уравнением (22), вычислим значения углов при которых тангенциальные нормальные напряжения равны 0 при условии, что заданное значение интенсивности давления (16) т/м2 и глубина заложения (17) Результаты вычислений представлены в табл. 3, 4. Проведенные вычисления позволяют выделить участки, на которых при заданных значениях равномерного давления (16) и глубин заложения (17) действуют растягивающие напряжения, а именно: при т/м2 имеем при т/м2 имеем при т/м2 имеем при т/м2 имеем при т/м2 имеем при т/м2 имеем при имеем при имеем при имеем при имеем; Таблица 3 Значения углов q при различных значениях интенсивности давления для выработок круглого сечения Table 3 Angle values q at different values of pressure intensity for circular workings р, т/м2 Таблица 4 Значения углов q при различных значениях глубины заложения для выработок круглого сечения Table 4 Angle values q at different depths for circular excavations Н, м Эпюры нормальных тангенциальных напряжений для выработки круглой формы сечения при заданных значениях равномерного давления в случае приведены на рис. 6. Рис. 6. Эпюры тангенциальных нормальных напряжений выработки круглой формы при = 0,25 и давлениях: а - p0, б - p2, в - p4 Fig. 6. Diagrams of tangential normal stresses of round-shaped production at = 0.25 at pressure a - p0, б - p2, в - p4 Решение задачи Б Рассмотрим в качестве вмещающей породы гранит с объемным весом т/м2 и пределами прочности при растяжении т/м2 и сжатии т/м2. В качестве величин напряжения, приложенных к контурам выработок, рассмотрим значения (16) при значениях (18) параметра эллипса n. Аргументы, в которых нормальные тангенциальные напряжения принимают экстремальные значения, согласно (15), равны . Замечая, что минимум на отрезке достигается в точках и , будем рассматривать лишь два значения аргумента - и Пусть и примем . Подставляя значения аргументов в формулу (13) с учетом значений (18), принимаемых параметром эллипса, имеем при при при при Используя результаты работы [11], получим при при при при где и - допустимые значения глубин заложения выработок, получаемых из условия (2) с учетом величин пределов прочности горной породы при растяжении и сжатии Выбирая наименьшее из значений и т.е. полагая находим допустимую глубину заложения выработки. Например, при допустимая глубина заложения выработки Нетрудно видеть, что при данном значении параметра эллипса допустимая глубина заложения определяется из условия достижения предельного значения сжимающих напряжений на контуре. Отметим, что при значениях параметра эллипса допустимые глубины заложений выработок определяются из условия достижения предельного значения растягивающих напряжений в точках контуров. Пусть в точках контура выработки действует равномерное всестороннее растягивающее давление, интенсивность которого определяется значениями (16). Рассмотрим выражение (23) где предел прочности горной породы при растяжении или сжатии, как функцию глубины заложения выработки Дифференцируя функцию получим (24) Приравнивая выражение (24) к нулю, убеждаемся в том, что функция глубины заложения выработки достигает экстремума в точках со значениями аргументов (15). При величинах равномерного давления (16) результаты вычислений глубин заложения приведены в табл. 5. Таблица 5 Глубины заложений выработок Table 5 Excavation depths р, т/м2 Анализ данных, приведенных в табл. 5, показывает: 1) при допустимая глубина заложения выработки не зависит от интенсивности равномерного давления, прикладываемого к границе контура выработки; 2) при значениях параметра эллипса, меньших , глубина заложения выработки при увеличении значений давления возрастает, а при значениях параметра, больших , - убывает. Решение задачи В Теперь рассмотрим выражение (23) как функцию равномерного давления р. Дифференцируя ее и приравнивая получившуюся производную к нулю, получим (25) откуда следует, что экстремальные значения функции равномерного давления достигаются в точках с аргументами (15), причем . Проведенное исследование функции дает результаты, представленные в табл. 6. Нетрудно видеть, что при увеличении глубин заложения выработок величины растягивающего давления на контурах увеличиваются. Таблица 6 Значения функции Table 6 Function values H, м р, т/м2 Графики функции глубины заложения при т/м2 и функции растягивающего равномерного давления при приведены на рис. 7. Рис. 7. Графики функций глубины заложения: a - равномерного давления, б - при Fig. 7. Graphs of the functions of the depth of laying: a - uniform pressure, б - Выводы 1. В работе приведены формулы, на основании которых рассмотрена задача о распределении напряжений в точках контуров, поперечное сечение которых имеет форму эллипса с фиксированным значением большой полуоси. 2. При изменении интенсивности растягивающего равномерного давления, приложенного в точках контуров выработок эллиптической формы поперечного сечения, и заданных значениях параметра эллипса, глубины заложения выработки и величины коэффициента бокового распора вмещающей породы выделены участки контуров, на которых действуют растягивающие и сжимающие напряжения. 3. При изменении глубин заложения выработок эллиптической формы поперечного сечения выделены участки контуров, на которых действуют растягивающие и сжимающие напряжения при заданных значениях параметра эллипса, величины интенсивности растягивающего равномерного давления, приложенного к точкам контуров, и значениях коэффициента бокового распора горной породы. 4. На основании используемого в работе условия прочности вычислены значения допустимых глубин заложения выработок при изменяющихся величинах равномерного давления, приложенного в точках контуров выработок, и заданных значениях коэффициента бокового распора горной породы. 5. Приведены допустимые величины растягивающего равномерного давления в точках контуров эллиптической формы поперечного сечения при изменении глубин заложения, заданных значениях коэффициента бокового распора горной породы и параметра эллипса.

About the authors

A. N Bogomolov

Volgograd State Technical University

A. N Ushakov

Volgograd State Technical University

O. A Bogomolova

Volgograd State Technical University

References

Statistics

Views

Abstract - 134

PDF (Russian) - 140

Refbacks

• There are currently no refbacks.