# Abstract

The formula for normal tangential stresses for single underground workings of different cross-sectional shapes, located at a given depth, with all-round tensile uniform pressure applied at the points of the contours of the workings, is derived. As a mapping function is considered a function of complex variable, which is a polynomial of natural degree n with a pole of first order in zero, allowing the construction of various families of simple closed curves, simulating configurations of the contours of underground workings. Examples are given of contours whose cross-section has the form of a straight and inverse trapezoid, triangle, vaults with vertical and sloping walls, rhombus, rectangle, square and ellipse. Based on the method proposed by the author, the coefficients of the polynomial of the seventh degree, which performs conformal mapping of the interior of a unit circle on a plane with a trapezoidal hole of a given dimensions, are calculated. The stress state of constructed workings at the points of its contour at different depths of laying, the values of the all-round tensile uniform pressure at two fixed values of the lateral expansion coefficient of the rock is investigated. The graphical representations of the stress acting on the contour of the working in question are given. The obtained results can be used to solve problems of determining the permissible depths of mine workings and calculating the values of permissible values of uniform pressure in the points of their contours. The criterion for determining the values of these values is the condition of absence of points on the contours of workings, in which the normal tangential stresses exceeding the limits of tensile and compressive strength of the host rock.

# Full Text

Введение Добыча полезных ископаемых и производство подземного строительства приводят к необходимости изучения напряженного состояния горного массива, ослабленного подземными выработками. В предположении однородности и изотропности массива горных пород, заметим, что для исследования напряженного состояния подземных горизонтальных выработок, имеющих неограниченную длину, можно применить методы двумерной линейной теории упругости [1-5], использующие аппарат комплексного анализа [5-9]. Для получения сечения выработки необходимо найти функцию комплексного переменного, осуществляющую конформное отображение внутренности или внешности единичного круга на интересующую нас область. Однако построение отображающей функции представляет собой довольно трудную задачу. Даже если эта функция известна, она, как правило, представляется сложным аналитическим выражением, которое приводит на практике к большим вычислительным трудностям. Поэтому приходится заменять эти функции на более удобные выражения, состоящие из простых и хорошо изученных функций. К таким функциям прежде всего, безусловно, следует отнести полиномы. Данное обстоятельство способствовало созданию приближенных методов построения отображающих функций [10-12]. Методы и средства При решении задач было бы желательно использовать достаточно простые функции, при помощи которых можно было бы получить довольно широкий класс контуров, имитирующих различные формы сечений подземных выработок. В качестве такой функции рассмотрим полином натуральной степени с простым полюсом в нуле, т.е. функцию вида (1) где действительные коэффициенты, осуществляющую отображение внутренности единичного круга на бесконечную односвязную область, граница которой представляет собой семейство простых замкнутых кривых. В зависимости от значений коэффициентов отображающей функции (1) возможно построение кривых различных конфигураций, имитирующих соответствующие формы сечений подземных горных выработок. Частные случаи функции (1) были использованы в работах [13-20] для решения ряда задач геомеханики. Рассмотрим подземную горизонтальную выработку, форма сечения которой определяется при помощи отображающей функции (1). Допустим, что данная выработка расположена на достаточно большой глубине Н, причем по ее контуру действует внутреннее равномерное давление интенсивности р, что позволяет рассматривать горную выработку как подземное хранилище, например, углеводородов. Целью настоящей статьи является исследование напряженного состояния в точках контуров подземных горизонтальных выработок заданных конфигураций и размеров при действии на контуры изнутри выработки всестороннего равномерного давления, проиллюстрированное на примере выработки, форма поперечного сечения которой представляет собой трапецию, при различных значениях глубины ее заложения и величины внутреннего равномерного давления. Для решения поставленной задачи необходимо прежде всего провести построение области, имитирующей выработку заданной конфигурации, для чего могут быть привлечены различные способы [10-12, 14], направленные на нахождение коэффициентов отображающей функции (1). В частности, для построения отображающих функций односвязных областей, ограниченных многоугольниками, можно использовать интеграл Кристоффеля - Шварца. На рис. 1 приведены примеры построения областей, ограниченных контурами заданной конфигурации, полученных на основе способа, предложенного в работе [21], при помощи отображающей функции (1). Для исследования напряженного состояния в точках контуров выработок необходима формула, позволяющая получать значения нормальных тангенциальных напряжений. Полагая в выражении (1) , и, отделяя действительную часть от мнимой, получим уравнения контуров отверстий в параметрическом виде: (2) Рис. 1. Формы поперечного сечения выработок (отверстий): а - трапециевидная форма (прямая); б - трапециевидная форма (обратная); в - треугольная форма; г - свод с вертикальными стенками; д - свод с наклонными стенками; е - подковообразная форма; ж - подковообразная форма; з - ромбовидная форма; и - прямоугольная форма; к - квадратная форма; л - эллиптическая форма; м - круглая форма Fig. 1. Cross-sectional shapes of workings (holes): а - trapezoidal shape (straight); б - trapezoidal shape (reverse); в - triangular shape; г - vault with vertical walls; д - a vault with sloping walls; е - horseshoe shape; ж - horseshoe shape; з - diamond shape; и - rectangular shape; к - square shape; л - elliptical shape; м - round shape Рассмотрим подземную горизонтальную выработку неограниченной длины и сечения, конфигурация которого определяется при помощи отображающей функции (1) и задается параметрическим уравнением (2). Пусть выработка находится на глубине Н, а ее контур подвержен равномерному давлению р. Тогда напряженное состояние в горном массиве, ослабленном выработкой, имеет вид (3) где коэффициент бокового распора, а р - постоянная величина, причем, согласно [22], будем полагать, что при контур выработки испытывает равномерное сжатие постоянной величины р, а при равномерное растяжение той же интенсивности. Рассмотрим функцию комплексного переменного (4) где соответствует напряженному состоянию в ненарушенном выработкой массиве горных пород, а определяет дополнительную компоненту напряжения, вызванную наличием выработки. Согласно [12], с учетом (3) имеем (5) Перейдем к получению выражения для . Для этого рассмотрим граничное условие [12, с. 60], т.е. (6) где единичный круг , , а - приведенное контурное условие для функции . Так как функция голоморфна в круге , то примем , (7) тогда при . Далее Вычислим интеграл в котором функция имеет вид (7). Имеем (8) где . Теперь перейдем к вычислению интеграла, стоящего в правой части граничного условия (6). Согласно [12] заметим, что Тогда (9) Подставляя значения интегралов (8), (9) в граничное условие (6) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях , получим систему линейных уравнений вида (10) Пусть решением системы (10) являются числа , , (11) где и действительные числа, зависящие от коэффициентов отображающей функции (1) и коэффициента бокового распора горной породы m, связанного с коэффициентом Пуассона соотношением . Тогда, с учетом решения (11) системы линейных уравнений (10), формула (7) принимает вид (12) Компонента напряжения описывается формулой (5). Для нахождения формулы нормальных тангенциальных напряжений воспользуемся известным соотношением [6] (13) где (14) Подставляя в правую часть равенства (13) выражения для производных функций (1) и (4) и учитывая соотношения (5) и (12), получим (15) (16) Тогда Положим . Введем обозначения Тогда соотношения (15) и (16) принимают вид (15՛) (16՛) Умножая числители и знаменатели дробей, стоящие в правых частях соотношений (15՛) и (16՛) на и выделяя действительные части, получим причем (17) где . (18) Далее, с учетом полученных выше выражений соотношение (13) принимает вид (19) где (20) где . Подставляя соотношения (17) и (20) в формулу (19), получим (21) где (22) Поскольку к контуру отверстия приложено давление интенсивности р, формула для определения нормальных тангенциальных напряжений (21) принимает вид (23) Нетрудно видеть, что функция определена при любых значениях аргумента q. Действительно, из равенства (17) следует, что знаменатель дроби (23) неотрицателен при всех значениях аргумента q. Поскольку, согласно (8), коэффициент отображающей функции (1) не может быть равен нулю, а из (18) следует, что вместе с этим, и положителен, то заключаем, что знаменатель дроби (23) не обращается в нуль ни при каких значениях аргумента q. Заметим, что формула (23) получена в предположении, что глубина заложения выработки значительна, и согласно [23] будем полагать, что (24) где наибольший линейный размер сечения выработки. Приравнивая к нулю выражение (23), получаем при заданном значении n тригонометрическое уравнение степени n + 1, при помощи которого можно определить аргументы точек контуров выработок, дающие нулевые значения нормальных тангенциальных напряжений. Соответствующие уравнения для отображающей функции (1) при приведены, например, в работе [16], а при в работе [24]. Результаты Теперь применим приведенные выше соотношения для исследования напряженного состояния на границе подземной горизонтальной выработки трапециевидной формы поперечного сечения, в точках контура которой действует растягивающее всестороннее равномерное давление заданной интенсивности при заданных значениях коэффициента бокового распора. Для этого прежде всего необходимо построить выработку нужной конфигурации, предварительно задав размеры этой выработки. Полагая в (1) и (2) следуя [21], построим выработку, поперечное сечение которой представляет собой трапецию высоты нижнее основание которой а верхнее основание Проводя необходимые вычисления, получаем (25) Контур выработки приведен на рис. 1, а. Заметим, что отображающая функция (1) с коэффициентами (25) совершает конформное отображение внутренности единичного круга на полученную область. Для того, чтобы убедиться в этом, заметим, что отображающая функция не имеет в круге других особенностей, кроме простого полюса. Далее покажем, что производная не обращается в нуль в точках единичного круга, т.е. уравнение не имеет решений на рассматриваемом множестве. Для этого воспользуемся теоремой Руше [25]. Вычисляя производную функции (1) с коэффициентами (25) и приравнивая ее нулю, получим уравнение Положим и На окружности имеем , Итак, во всех точках окружности выполняется неравенство . Функция не имеет нулей внутри круга , а значит, по теореме Руше не имеет нулей и функция Теперь перейдем к исследованию напряженного состояния на контуре трапециевидной выработки в зависимости от глубины ее заложения, интенсивности растягивающего давления, приложенного к точкам ее границы при заданных значениях коэффициента бокового распора горной породы. Рассмотрим в качестве вмещающей породы гранит с объемным весом т/м3 и пределами прочности при растяжении 1735 т/м2 и сжатии 20 400 т/м2. Поскольку наибольший линейный размер трапециевидной выработки согласно ее построению составляет 5 м, то с учетом (24) положим При решении задачи используем два значения величины коэффициента бокового распора: и . Первое из них соответствует величине коэффициента Пуассона, которая в среднем для горных пород равна значению [23]. Второе соответствует величине коэффициента Пуассона и предполагает гидростатическое распределение напряжений в горном массиве, которое принимается при определении напряжений на достаточно больших глубинах [26]. Итак, рассмотрим выработку трапециевидного сечения (см. рис. 1, а), полученную при помощи отображающей функции (1) с коэффициентами (25). Случай Подставляя значения коэффициентов (25) отображающей функции (1) в формулы (18) и (22), с учетом соотношения (23) получим уравнение для определения нулевых значений тангенциальных нормальных напряжений в виде (26) Для нахождения нулей необходимо задать глубину заложения выработки и значение давления . Из условий задачи следует, что необходимо выбирать значения . Положим В качестве значений давления, приложенного к контуру выработки, примем р, т/м2: 0, 102, 408. (27) Подставляя значения давления (27) в уравнение (26), получим следующие значения нулей: при 0 при102 при 408 Проведенные вычисления позволяют выделить участки, на которых при заданных значениях равномерного давления действуют растягивающие напряжения, а именно: при 0 имеем при 102 имеем при 408 имеем На остальных участках интервала действуют сжимающие напряжения. Теперь рассмотрим выработку, положив (28) при принятых выше значениях давления (27). Прямые вычисления по формуле (26) дают: при имеем: при 102 при 408 при получим: при 102 при 408 На остальных участках интервала действуют сжимающие напряжения. Эпюры тангенциальных нормальных напряжений для данной выработки трапециевидной формы поперечного сечения при заданных значениях равномерного давления и в случае приведены на рис. 2. Рис. 2. Эпюры тангенциальных нормальных напряжений на контуре в виде трапеции при значениях р, т/м2: а - 0, б -102, в -408 Fig. 2. Plots of tangential normal stresses on the contours in the form of a trapezoid at р, t/m2: а -0, б - 102, в -408 Случай . Уравнение для определения нулевых значений тангенциальных нормальных напряжений будет иметь вид (29) Анализ напряженного состояния в точках контура рассматриваемой трапециевидной выработки при принятых в предыдущем случае значениях глубин заложения выработки и значениях интенсивности равномерного давления (27) показывает, что при во всех точках контура действуют лишь сжимающие напряжения; растягивающие напряжения возникают в точках контура при значения давления т/м2. При растягивающие напряжения возникают при значениях т/м2, а в случае аналогичная ситуация возможна при значениях т/м2. На рис. 3 проиллюстрировано распределение сжимающих и растягивающих напряжений в точках контура трапециевидной выработки, находящейся на глубине при возрастающей величине давления. Рис. 3. Эпюры тангенциальных нормальных напряжений на контуре в виде трапеции при значениях р, т/м2: а - 0, б - 415, в - 510 Fig 3. Plots of tangential normal stresses on the contours in the form of a trapezoid at р, t/m2: а - 0, б - 415, в - 510 Выводы 1. Приведенные в работе формулы для нахождения значений нормальных тангенциальных напряжений в точках контуров подземных горизонтальных выработок различных форм поперечного сечения позволяют проводить исследование напряженного состояния подземных горизонтальных выработок, находящихся на заданной глубине и испытывающих внутреннее всестороннее равномерное давление при известных значениях коэффициента бокового распора горной породы. 2. На примере выработки, поперечное сечение которой имеет форму трапеции, при заданных значениях коэффициента бокового распора, глубины заложения и равномерного давления выделены участки, на которых действуют растягивающие и сжимающие напряжения. 3. Проведенное при исследование показывает, что при увеличении интенсивности равномерного растягивающего давления в пределах фиксированной глубины заложения выработки значения сжимающих напряжений в точках контура выработки уменьшаются, а значения растягивающих напряжений увеличиваются. При увеличении глубины заложения выработки в пределах заданного значения равномерного давления сжимающие напряжения увеличиваются, а растягивающие - уменьшаются. При этом необходимо заметить, что при любой глубине заложения рассматриваемой выработки и сколь угодно большой интенсивности равномерного давления на контуре имеются участки со значениями напряжений обоих знаков; при на контуре имеются участки, на которых напряжения принимают значения одного знака. 4. Основываясь на соотношениях и результатах, приведенных в статье, можно рассмотреть задачи об определении допустимой глубины заложения выработки и об определении величин допустимого равномерного давления, приложенного в точках контуров выработок при заданных значениях физико-механических свойств горной породы.

# References

1. Хан Х. Теория упругости. - М.: Мир, 1988. - 344 с.
2. Green A.E., Zerna W. Theoretical elasticity. - Oxford: Clareden Press, 1968. - 457 p.
3. Poulos H.G., Davis E.H. Elastic solutions for soil and rock mechanics. - New York: Wiley, 1974. - 411 p.
4. Каландия А.И. Математические методы двумерной упругости. - М.: Наука, 1973. - 304 с.
5. Партон В.З., Перлин П.И. Методы математической теории упругости. - М.: Наука, 1981. - 688 с.
6. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. - М.: Наука, 1966. - 708 с.
7. Jian-ke Lu.Complex variable methods in plane elasticity. - World Scientific, 1995. - 237 p.
8. Chau K.T. Analytical Methods in Geomechanics. - New York: CRC Press, 2012. - 424 p.
9. Schinzinger R., Laura P. Conformal mappings. Methods and applications. - Elsevier, 1991. - 581 p.
10. Канторович Л.В., Крылов В.И. Приближенные методы высшего анализа. - М.: Гос. изд-во техн.-теорет. лит-ры, 1962. - 709 с.
11. Фильчаков П.Ф. Приближенные методы конформных отображений. - Киев: Наукова думка, 1964. - 536 с.
12. Савин Г.Н. Распределение напряжений около отверстий. - Киев: Наукова думка, 1968. - 888 с.
13. Цветков В.К. Определение форм сечений горных выработок с заданными напряжениями на контурах // Физико-технические проблемы разработки полезных ископаемых. - 1986. - № 2. - С. 24-29.
14. Цветков В.К. Расчет рациональных параметров горных выработок. - М.: Недра, 1993. - 251 с.
15. Богомолов А.Н., Богомолова О.А., Ушаков А.Н. Определение глубины заложения горизонтальной выработки на основе анализа напряженного состояния вмещающего массива // Основания, фундаменты и механика грунтов. - 2017. - № 5. - С. 2-9.
16. Богомолов А.Н., Богомолова О.А., Ушаков А.Н. О напряжениях в контурных точках одиночных подземных выработок различного поперечного сечения, подверженных всестороннему равномерному давлению // Вестник ПНИПУ. Строительство и архитектура. - 2018. - Т. 9, № 3. - С. 54-70. doi: 10.15593/2224-9826/2018.3.06
17. Богомолов А.Н., Богомолова О.А., Ушаков А.Н. Об определении напряжений на контурах подземных горизонтальных выработок, подверженных всестороннему равномерному давлению // Вестник ПНИПУ. Строительство и архитектура. - 2019. - Т. 10, № 2. - С. 36-55. doi: 10.15593/2224-9826/2019.1.04
18. Богомолов А.Н., Богомолова О.А., Ушаков А.Н. Анализ напряженного состояния на контурах подземных горизонтальных выработок, подверженных равномерному давлению, и определение допустимой глубины их заложения // Основания, фундаменты и механика грунтов. - 2021. - № 6. - С. 15-18.
19. Bogomolov A.N., Bogomolova O.A., Ushakov A.N. Determination of an allowable value of internal uniform pressure on the underground horizontal working contour with a trapezoidal form of its cross-section // Journal of Physics: Conference Series. - 2021. - Vol. 1928. - P. 012059.
20. Богомолов А.Н., Богомолова О.А., Ушаков А.Н. О прочности подземных горизонтальных выработок эллиптической формы поперечного сечения, подверженных всестороннему равномерному давлению // Construction and Geotechnics. - 2022. - Т. 13, № 1. - С. 16-33. doi: 10.15593/2224-9826/2022.1.02
21. Ушаков А.Н. О построении контуров подземных горизонтальных выработок различных форм поперечного сечения // Вестник Волгоградского архитектурно-строительного университета. Серия: Строительство и архитектура. - 2020. - Вып. 4 (81). - С. 50-64.
22. Булычев Н.С. Механика подземных сооружений. - М.: Недра, 1989. - 270 с.
23. Цимбаревич П.М. Механика горных пород. - М.: Углетехиздат, 1948. - 184 с.
24. Ушаков А.Н. О напряженном состоянии на контурах подземных горизонтальных выработок различных форм поперечного сечения // Вестник Волгоградского государственного архитектурно-строительного университета. Серия: Строительство и архитектура. - 2021. - Вып. (4) 85. - С. 55-69.
25. Сидоров Ю.В., Федорюк М.В., Шабунин М.И. Лекции по теории функций комплексного переменного. - М.: Наука. 1989. - 480 с.
26. Турчанинов И.А., Иофис М.А., Каспарьян Э.В. Основы механики горных пород. - Л.: Недра, 1989. - 488 с.

# Statistics

#### Views

Abstract - 95

PDF (Russian) - 82

### Refbacks

• There are currently no refbacks.